위아래로만 흔들 수 없는 추 — 탄성 진자

탐구 주제

IYPT 2002 문제 16 ‘Elastic pendulum’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2002 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」·「운동과 에너지」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」 · 과학탐구실험1(측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」 · 진로선택 「역학과 에너지」 — 자동매개변수 공명은 교육과정 밖 심화 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

단순 조화 운동, 훅 법칙, 고유 진동수, 비선형 결합, 자동매개변수 공명, 2:1 내부 공명, 매개변수 불안정성, 맥동(에너지 교환), 계단식 세차, 혼돈

원리 살펴보기

용수철에 추를 매달고 아래로만 당겼다 놓아 보자. 위아래로만 오르내릴 것 같지만, 잠시 뒤 추는 저절로 옆으로 그네를 타고 위아래 진동은 거의 사라진다. 그러다 흔들림이 잦아들면 위아래 진동이 되살아난다. 실험실 용수철이 “말을 안 듣는다”는 오래된 하소연이 이것이다. 실에 매단 보통 진자에는 없는 일이다. 용수철은 늘어날 수 있어서 한 장치 안에 늘었다 줄었다 하는 그네와 좌우로 흔들리는 그네, 둘을 품기 때문이다.

두 그네를 잇는 것은 단순한 기하다. 추가 옆으로 흔들리면 매단 점에서 추까지의 전체 길이가 길어지고 그만큼 용수철이 더 늘어난다. 한 번 왕복에 이 늘어남이 두 번 일어나므로, 흔들림은 용수철을 제 박자의 두 배로 잡아당긴다. 그래서 위아래 진동수가 흔들림 진동수의 꼭 두 배일 때 그 잡아당김이 제때 밀어 주는 손이 되어, 에너지가 두 운동 사이를 오간다(2:1 자동매개변수 공명). 조건은 간단하다. 위아래 쪽은 √(용수철 상수÷질량), 흔들림 쪽은 √(중력가속도÷전체 길이)에 비례하므로(비만 쓰므로 2π는 상쇄된다) 둘의 비는 √(전체 길이÷늘어난 길이)뿐이다. 곧 정지 상태에서 늘어난 길이가 전체 길이의 4분의 1(자연 길이의 3분의 1)이면 저절로 2:1이 된다 — 어떤 용수철이든 질량만 맞추면 된다.

조건이 맞을 때만 에너지가 통째로 새는 이 문법은 여러 분야에 나타난다. 분자 진동 분광학(이산화탄소의 페르미 공명 — 이 진자의 출발점이었다), 수치 일기 예보(느린 대기 운동과 빠른 중력파의 균형을 본뜬다), 레이저·플라스마의 삼파 상호작용(진폭이 따르는 방정식이 똑같다), 미세 기계 공진기(MEMS)의 주파수 안정화(1:2 내부 공명으로 진폭에 따른 주파수 흔들림을 눌러 시계·센서를 안정시킨다)에 이어진다.

실험 설계

준비물

부드러운 나선 용수철(추보다 가벼운 것), 스탠드와 클램프, 추걸이와 슬롯 추(5 g 단위), 미세 조정용 점토, 자와 전자저울, 스마트폰 2대(정면·바로 위 슬로모션), 모눈 배경지, 초시계, 보안경.

변인

독립변인은 추의 질량이다 — 두 진동수의 비를 옮기는 손잡이이며, 처음 당기는 폭이 두 번째 독립변인이다. 종속변인은 두 진동의 주기, 흔들림이 가장 커졌을 때의 진폭, 에너지가 넘어갔다 되돌아오는 교환 주기이다. 통제변인은 용수철, 매단 점의 위치, 옆으로 밀지 않고 수직으로만 놓는 방식이다.

실험 순서

1. 용수철을 스탠드에 매달고 추를 5 g씩 늘려 가며 늘어난 길이를 재어, 힘–늘어남 그래프의 직선 구간 기울기로 용수철 상수를 구한다(촘촘히 감긴 용수철은 처음 얼마간 늘어나지 않으니 뺀다).

2. 필요한 질량은 「용수철 상수 × 자연 길이 ÷ (3 × 중력가속도)」이다. 다만 촘촘히 감긴 용수철은 처음 장력 때문에 이 값이 조금 커지므로, 최종 판정은 「자로 잰 전체 길이 = 4 × 무게 ÷ 용수철 상수」로 한다.

3. 두 주기를 직접 잰다 — 아래로만 2 cm 당겼다 놓아 위아래 진동 10회, 옆으로만 조금 밀어 흔들림 10회의 시간을 잰다. 흔들림 주기가 위아래 주기의 꼭 2배가 되도록 점토를 붙여 미세 조정한다(조율점). 이어 흔들림을 한 번 밀고 놓아 몇 번 만에 절반으로 잦아드는지 세어 두자 — 잦아듦이 느릴수록 매개 공명을 일으키는 데 필요한 최소 당김 폭이 작아진다.

4. 조율점에서 옆으로 밀지 않고 아래로만 당겼다 놓고 정면에서 슬로모션으로 60초 넘게 찍는다. 처음 당기는 폭을 1 cm·2 cm·3 cm로 바꿔 3회씩 반복한다.

5. 추의 질량을 ±10 %, ±20 % 바꿔 진동수 비를 2에서 벗어나게 하고 ③~④를 되풀이해, 얼마나 어긋나도 전환이 살아남는지 본다.

6. 조율점에서는 바로 위에서도 촬영해, 흔들림이 되살아날 때 흔들림 면이 얼마나 돌아갔는지 각도를 읽는다. 놓을 때 옆으로 밀어 주는 세기를 바꿔 각도가 달라지는지도 본다.

안전 안내

늘어난 용수철에서 추가 빠지면 튕겨 오르므로 걸이와 매듭을 실험 전마다 확인하고, 추 바로 아래에 발이나 유리 기구를 두지 않는다. 용수철에 적힌 최대 하중을 넘기지 않으며, 당기는 폭은 자연 길이의 6분의 1을 넘기지 않는다 — 그보다 크게 당기면 늘어난 길이가 자연 길이의 절반을 넘어 영구 변형되고, 더 키우면 위쪽에서 용수철이 느슨해져 추가 튄다. 스탠드는 바닥을 넓게 잡아 고정하고 보안경을 쓴다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

위아래로만 3 cm 당겼다 놓으면 옆으로 흔들리는 폭은 얼마까지 커질까? 처음 당기는 폭을 두 배로 키우면 에너지가 오가는 주기는 길어질까, 짧아질까?

자료 정리

질량별로 두 주기와 그 비, 흔들림 최대 진폭, 교환 주기를 표로 모은다. 가로축을 두 진동수의 비, 세로축을 「흔들림 최대 진폭 ÷ 처음 당긴 폭」으로 그려 2 근처에서 솟는 공명 곡선을 만들고, 처음 폭이 다른 곡선을 겹쳐 봉우리 넓이를 견준다. 교환 주기의 역수를 처음 폭에 대해 그려 직선이 되는지도 본다. 위에서 찍은 영상에서는 흔들림 면의 방위각을 시간에 따라 읽는다. (수치는 실측으로 채우고 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

조율이 맞으면 위아래 진동은 거의 멎고 흔들림이 자라며, 그 최대 폭은 처음 당긴 폭의 약 두 배 — 곧 두 진동수의 비만큼 — 까지 커질 것으로 예상된다(세로 진동이 가진 에너지가 전부 흔들림으로 넘어간 지점이다). 결정적인 결과는 교환 주기가 진폭에 반비례하리라는 것이다 — 크게 당길수록 에너지는 더 빨리 갈아탄다. 다만 진폭이 커지면 고차 비선형 이조 때문에 이 직선 관계가 어긋나기 시작한다(Rusbridge 1980). 진폭이 주기를 바꾸는 일은 선형 결합에서는 없으므로, 결합이 2차임을 말해 준다. 같은 이유로 공명 곡선의 봉우리도 진폭이 클수록 넓어진다. 포락선이 전체적으로 낮아지는 것은 감쇠 탓이다. 조율이 맞고 처음 당긴 폭이 감쇠를 이길 만큼 크면 위아래로만 진동하는 상태는 안정할 수 없다 — 그것이 이 문제의 답이다.

더 탐구하기

1. 원문이 말한 대로 용수철 대신 고무줄로 바꿔 보자 — 늘어난 쪽으로만 힘을 내고 이력 손실이 커서, 조율과 전환이 어떻게 달라지는지가 열린 물음이다.

2. 안전 상한 안에서 처음 폭을 키워, 규칙적 교환이 무너지고 궤적이 불규칙해지는 경계까지 가 보자.

3. 조율을 3:1이나 1:1로 옮겨 보고, 2:1에서만 강한 전환이 나타나는지 확인해 보자.

4. 스마트폰을 추 삼아 매달아 가속도 센서로 위아래 진동을, 영상으로 흔들림을 함께 기록해 보자 — 무게에 맞는 더 센 용수철(상수 ≈ 3 × 무게 ÷ 자연 길이)로 바꿔야 조율이 맞는다.

연결 주제

IYPT 2021 문제 12 ‘윌버포스 진자’ — 에너지가 두 진동을 오간다는 뼈대는 같지만 기제가 다르다. 그쪽은 상하와 비틀림을 1:1로 맞추는 선형 결합이라 교환 주기가 정규 모드 진동수의 차로 정해져 진폭과 무관한 반면, 탄성 진자는 2:1 비선형 결합이라 교환 주기가 진폭에 반비례한다. 같은 2:1인 IYPT 2018 문제 11 ‘방위-방사 진자’와는 역할을 나눈다 — 그쪽은 수평 두 방향의 전환, 여기서는 상하↔흔들림 전환과 계단식 세차다.

참고문헌

[학생] Peter Lynch, ‘Swinging Spring Home Page’(maths.ucd.ie/~plynch/SwingingSpring — 2:1 공명과 세차 해설. 애니메이션은 옛 Java 애플릿이라 지금은 실행되지 않는다) / 영상 검색어 “swinging spring 2:1 resonance” / [심화] R. Cross, Eur. J. Phys. 38(6), 065004 (2017), doi:10.1088/1361-6404/aa8649 — 세로 진동수가 흔들림의 두 배일 때 수평 진폭이 자랐다 줄기를 되풀이함을 실측 / T. E. Cayton, Am. J. Phys. 45(8), 723–732 (1977), doi:10.1119/1.11035 — 매개변수 불안정성으로 설명하고 최대 흔들림 진폭을 예측 / M. G. Rusbridge, Am. J. Phys. 48(2), 146–151 (1980), doi:10.1119/1.12190 — 진폭이 조금만 커져도 2차 이론이 어긋남(비선형 이조)과 감쇠의 영향 / B. A. Aničin 외, Eur. J. Phys. 14(3), 132–135 (1993), doi:10.1088/0143-0807/14/3/007 — 특정 진폭에서 불안정을 일으키는 질량 범위를 Ince–Strutt 도표로 정함 / D. D. Holm & P. Lynch, SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 1(1), 44–64 (2002), doi:10.1137/S1111111101388571 — 3차원 2:1:1 공명과 계단식 세차 / P. Lynch & C. Houghton, Physica D 190(1–2), 38–62 (2004), doi:10.1016/j.physd.2003.09.043 — 맥동 진동수가 진폭에 비례 / J. P. van der Weele & E. de Kleine, Physica A 228(1–4), 245–272 (1996), doi:10.1016/0378-4371(95)00426-2 — 진폭을 키울 때의 질서–혼돈 전이 / R. Bhattacharyya, J. Appl. Mech. 67(2), 332–337 (2000), doi:10.1115/1.1302304 — neo-Hookean 고무 용수철 진자의 마티외–힐 안정도와 자동매개변수 공명(단, 지지점을 흔드는 계). ※ 고무의 비선형 강성은 이렇게 다루어졌으나, 줄이 느슨해지는 일방향성과 이력 손실이 자유 2:1 교환의 조율과 전환에 미치는 영향은 개방 지점이다.