가벼운 공이 멈춰 서는 자리 — 원뿔을 그리며 도는 관 속의 공

탐구 주제

IYPT 2017 문제 9 ‘Ball in a Tube’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2017 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(중력·부력)·「물질의 특성」(밀도) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(중력장 내의 운동) · 진로선택 「역학과 에너지」(원운동·등가 원리) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

회전 기준계, 원심력, 코리올리 힘, 강체 회전, 압력 구배, 원심 부력, 유효 중력, 안정 평형·불안정 평형, 점성, 스토크스 법칙, 종단 속도, 벽 효과, 에크만 수, 테일러 기둥, 원심 분리

원리 살펴보기

버스가 급히 커브를 돌면 승객은 바깥으로 쏠리는데, 같은 버스 안의 헬륨 풍선은 왜 안쪽으로 기울까? 공기도 함께 쏠려 바깥쪽이 더 눌리고, 그 압력 차가 가벼운 풍선을 안쪽으로 떠밀기 때문이다. 액체를 담고 도는 관 속도 같아, 액체가 관과 함께 강체처럼 돌면 회전축에서 멀수록 압력이 높다. 관과 함께 도는 눈으로 보면 중력에 원심 가속도를 더한 ‘유효 중력’이 새로운 아래쪽이 된다. 무거운 공은 그 방향으로, 가벼운 공은 정확히 그 반대로 밀린다.

관의 아래끝이 회전축 위 원뿔의 꼭짓점이라, 관을 따라 위로 갈수록 회전축에서 멀어진다. 아래끝에서 잰 거리를 s, 관과 회전축이 이루는 각을 θ라 하면 회전 반지름은 s sinθ, 관 방향 유효 중력 성분은 Ω²s sin²θ − g cosθ이다. 원심 몫은 공을 위끝으로, 중력 몫은 아래끝으로 당기며, 둘이 같아지는 지점 s = g cosθ /(Ω² sin²θ)가 갈림길이다. 액체보다 무거운 공은 이보다 위에서 놓으면 위끝으로, 아래면 아래끝으로 달아난다(불안정 평형). 가벼운 공은 힘의 부호가 뒤집혀, 어느 쪽으로 밀려나든 그 지점으로 되돌아와 멈춰 선다(안정 평형). 밀도차의 부호가 힘의 방향을 뒤집는 것은 원심분리기와 같은 이치다(다만 여기서는 아래끝이 회전축 위라 무거운 공도 축 쪽으로 갈 수 있다). 이 자리는 공의 밀도·크기나 점성과 무관하다.

이 원리는 산업에서 밀도로 물질을 갈라낸다. 원심분리기(우유를 돌리면 밀도가 낮은 지방구는 축 쪽으로, 탈지유는 바깥으로 밀려 크림이 갈라진다), 사이클론 집진기(소용돌이로 먼지·톱밥은 바깥 벽에 떨구고 공기만 가운데로 뽑는다), 하이드로사이클론 선별(폐플라스틱·광석을 소용돌이로 돌려 밀도별로 나눈다)에 쓰인다.

실험 설계

준비물

투명 아크릴 또는 PET 관(길이 30 cm, 안지름 10 mm 안팎)과 나사식·고무 마개, 실리콘 실란트, 물과 글리세린 수용액, 가벼운 플라스틱 구슬(폴리프로필렌 등 지름 3~5 mm)과 무거운 구슬(유리·강철), 무단 변속 감속 모터(또는 무선 전동 드릴), 각도 조절 커플러, 스탠드·클램프, 눈금 띠, 스마트폰(고속 촬영), 반사 테이프와 비접촉 회전계, 투명 차폐판.

변인

독립변인은 관의 회전수와 회전축에 대한 기울기 각이며, 한 번에 하나씩만 바꾼다. 종속변인은 아래끝(원뿔의 꼭짓점)에서 관을 따라 잰 공의 평형 위치와 평형에 이르는 이동 속도이다. 통제변인은 관의 길이·안지름, 액체의 밀도·점성과 온도, 공의 지름과 밀도, 남은 기포의 양, 회전 뒤 기다리는 시간이다.

실험 순서

1. 관에 밀리미터 눈금 띠를 붙이고 가벼운 구슬을 넣은 뒤 액체를 채워 밀봉한다. 온도가 올라도 내압이 치솟지 않게 한쪽은 고무마개를 쓰고 작은 기포 하나만 남긴다(위치도 기록).

2. 아래끝을 각도 커플러로 모터 축에 고정해 회전축과 이루는 각을 45°로 맞추고, 원뿔의 반지름(30 cm×sin 45° ≈ 21 cm)보다 넉넉히 비운 뒤 차폐판을 세운다.

3. 회전수를 0에서 천천히 올리며 공이 위끝에서 떨어져 내려오기 시작하는 임계 회전수를 찾는다 — 이론값 √(g cos θ /(L sin²θ))는 30 cm·45°에서 6.8 rad/s, 곧 약 65 rpm이다.

4. 회전수를 단계적으로 올리며(70·90·110·130·150 rpm) 올린 순간부터 옆에서 고속 촬영해 공이 멈출 때까지 담고, 정지 구간에서 아래끝에서의 거리를 읽는다. 조건마다 3회 반복한다.

5. 회전축과 이루는 각을 30°와 60°로 바꿔 ③~④를 되풀이하되, 회전수 사다리는 각 각도에서 ③으로 찾은 임계 회전수의 1.1~1.9배 구간(안전 상한 200 rpm 안)으로 다시 잡는다(아래끝 10 cm에 세우려면 45°에서 약 113 rpm, 30°에서 176, 60°에서 77 rpm이다). 기울일수록 원뿔이 커지니 차폐판을 다시 세운다.

6. 같은 관에 강철 구슬(무거운 공)을 넣고 모터를 끈 채 관을 뒤집어 구슬을 위끝에 보낸 뒤 회전수를 올린다. 위끝에 머무는지 아래끝으로 달아나는지 갈리는 회전수를 찾아 ③과 비교한다.

안전 안내

회전하는 관은 머리카락과 옷을 말아 넣는다 — 긴 머리는 묶고 헐렁한 소매·끈·목걸이를 치우며, 모터와 관을 클램프로 고정하고 회전 반경 밖에 투명 차폐판을 세운 뒤 보안경을 쓴다. 관은 유리 대신 아크릴이나 PET을 쓴다(유리는 깨지면 회전 에너지에 실려 파편이 멀리 튄다). 액체를 채운 관은 마개에 큰 힘이 걸리므로, 실란트가 굳은 뒤 낮은 회전수에서 새는지 먼저 확인하고 200 rpm을 넘기지 않는다. 물기 있는 손과 바닥에서 콘센트를 다루지 말고 되도록 무선 공구나 저전압 모터를 쓴다. 회전 중에는 관을 손으로 잡거나 멈추려 하지 말고, 전원을 끄고 완전히 멈춘 뒤 다룬다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

회전을 두 배 빠르게 하면 가벼운 공이 멈춰 서는 자리는 위끝 쪽으로 올라갈까, 아래끝 쪽으로 내려갈까? 얼마나 옮겨 갈까?

자료 정리

회전수별 평형 위치를 가로·세로 모두 로그로 잡은 그래프에 얹어 기울기가 −2에 가까운지 본다. 기울기 각을 바꾼 자료는 가로축을 cos θ/sin²θ로 두면 원점을 지나는 직선이 되어야 한다. 평형에 이르는 과정은 영상의 위치–시간 곡선에서 속도를 평형에서 벗어난 거리에 대해 그려 항력 법칙을 살핀다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

가벼운 공은 관 중간 어느 자리로 스스로 되돌아와 멈추고, 그 자리는 회전수의 제곱에 반비례해 아래끝 쪽으로 당겨질 것이다. 구슬을 더 가벼운 것으로 바꾸거나 액체의 점성을 바꿔도 평형 위치가 그대로라면, 그 자리는 오직 힘의 균형이 정한다는 뜻 — 원심 부력이 유효 중력의 방향을 바꾸었다는 직접 증거다. 반면 다가가는 속도는 점성과 공 크기에 크게 달라진다. 물에서는 레이놀즈 수가 수백이라 스토크스 법칙이 안 서니 비교는 점성이 큰 글리세린에서 한다. 다만 글리세린은 에크만 수가 1보다 커서 테일러 기둥이 서지 못하는 쪽이니, 거기 남는 차이는 관 벽의 몫으로 읽고 테일러 기둥은 에크만 수가 작은 물 쪽에서 찾는다. 무거운 공이 놓는 위치에 따라 정반대 끝으로 달아나는 것까지 보면, 같은 임계점이 밀도차의 부호로 뒤집힘을 확인한 셈이다.

더 탐구하기

1. 액체를 물에서 진한 글리세린으로 바꿔 점성만 100배 올려, 평형 위치는 그대로인데 도달 시간만 길어지는지 보자. 지름 4 mm 공·110 rpm이면 에크만 수 ν/(Ωa²)가 물 0.02, 90 % 글리세린 약 4로 갈린다.

2. 모터를 끄고 관을 세워 벽 효과만의 기준 속도를 먼저 잡고, 공 지름을 관 안지름의 0.2~0.6배로 바꿔 가며 이 기준을 다시 재자 — 회전할 때의 속도를 같은 구동력으로 규격화해 이 기준과 견준 값이 회전이 더한 몫이다.

3. 위에서 내려다보며 찍어, 위끝으로 갈 때와 아래끝으로 갈 때 공이 붙는 벽이 반대인지 보자 — 코리올리 힘은 관을 따라 달리는 공을 옆으로 밀어낸다.

4. 남겨 둔 기포와 가벼운 구슬이 같은 자리에 서는지 비교해, 평형 위치가 밀도에 무관하다는 예측을 검증해 보자.

연결 주제

2017년 문제 7 ‘나선 파동’ — 원심력이 유체를 밀고 점성·코리올리 힘이 되받는 같은 힘 목록을 쓴다. 2022년 문제 15 ‘보이콧 효과’(기울인 용기 속 침강)와는 밀도차 부력·점성 항력·종단 속도의 언어를, 2020년 문제 12 ‘다각형 와류’와는 강체 회전이 만드는 원심 압력 구배를 공유한다.

참고문헌

[학생] Tetra Pak 『Dairy Processing Handbook』 “Centrifugal separators and milk standardisation”(지방구는 회전축 쪽으로, 탈지유는 바깥으로) / 영상 검색어 “ball in a tube IYPT” / [심화] X. Fu, “An analysis in the non-inertial frame: ball in a rotating tube and the Taylor column,” European Journal of Physics 41(4), 045806, 2020, DOI 10.1088/1361-6404/ab8069 (이 문제의 논문 — 무거운 공은 놓는 위치에 따라 양 끝 중 하나로, 가벼운 공은 평형 위치로 가고, 회전수·기울기를 키우면 그 위치가 아래끝 쪽으로 간다. 스토크스를 크게 벗어난 항력의 원인으로 테일러 기둥을 지목) · G. L. Wick, P. F. Tooby, “Centrifugal buoyancy forces,” American Journal of Physics 45(11), 1074–1076, 1977, DOI 10.1119/1.10725 (회전 유체의 압력 구배로 원심 부력) · G. I. Taylor, “The motion of a sphere in a rotating liquid,” Proceedings of the Royal Society A 102(715), 180–189, 1922, DOI 10.1098/rspa.1922.0079 · V. Fidleris, R. L. Whitmore, “Experimental determination of the wall effect for spheres falling axially in cylindrical vessels,” British Journal of Applied Physics 12(9), 490–494, 1961, DOI 10.1088/0508-3443/12/9/311. ※ 학교 규모(안지름 10 mm·수십 rpm)에서 테일러 기둥이 실제로 생기는지, 벽 효과와 테일러 기둥 중 어느 쪽이 항력을 지배하는지는 정리된 자료가 없다 — 그 구분이 개방 지점이다.