원판은 도는데 무늬는 멈춰 있다 — 나선파

탐구 주제

IYPT 2017 문제 7 ‘Spiral Waves’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2017 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」·「빛과 파동」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(중력장 내의 운동)·과학탐구실험1(영상 분석) / 진로선택 「역학과 에너지」(원운동) — 코리올리 힘과 박막 유동 불안정은 교육과정 밖 심화 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

원심력, 코리올리 힘, 회전 좌표계, 관성력, 점성, 동점성 계수, 표면장력, 얇은 액체 막, 뉘셀(Nusselt) 막 두께, 유동 불안정, 나선파, 동심원파, 마루, 에크만 수

원리 살펴보기

돌아가는 원판 한가운데에 물을 떨어뜨리면, 물은 밖으로 퍼지며 종잇장보다 얇은 막이 된다. 원판과 함께 도는 좌표계에서 이 막을 밀어내는 것은 원심력이다. 원판이 수평이어도 막에게는 바깥쪽이 곧 ‘아래’여서, 벽을 타고 흘러내리는 물줄기와 똑같은 처지가 된다 — 중력 g 자리에 원심 가속도를 넣으면 두 문제의 식이 겹친다. 그래서 흘러내리는 물막에 잔물결이 돋듯, 회전판 위 막에도 파도가 돋는다. 유량 Q와 각속도 ω가 정해지면 매끈한 막의 두께 h는 3νQ /(2πω²r²)의 세제곱근으로 예측되고(ν는 동점성 계수), 바깥으로 갈수록 반지름의 2/3제곱에 반비례해 얇아진다.

파도를 만드는 힘과, 그 파도를 나선으로 비트는 힘은 서로 다르다. 막을 불안정하게 만들어 파도를 돋게 하는 것은 원심력이 키운 관성이고(회전이 빠를수록 불안정해진다), 그 마루선을 원둘레 방향에서 비스듬히 기울여 나선으로 만드는 것은 코리올리 힘이다 — 동심원 파가 먼저 생겼다가 휘는 것이 아니라 처음부터 나선으로 돋는다. 바깥으로 달리는 액체가 코리올리 힘에 밀려 원판보다 뒤처지고, 그 어긋남이 마루선을 회전 방향으로 풀려 나가게 한다. 기울기는 점성과 코리올리 힘의 비인 에크만 수로 정해져, 안쪽에서 크게 누웠던 마루선이 바깥으로 갈수록 눕는 각이 줄어 동심원에 가까워진다. 놀라운 것은 이 나선이 실험실에서 보면 제자리에 멈춰 있다는 점이다 — 원판은 초당 열 바퀴를 도는데 무늬는 정지해 있어, 적어도 나선 구간은 고속 카메라 없이 사진 한 장에 담긴다. 더 바깥에서는 마루가 무너져 3차원 조각파로 흩어지며, 그 조각들은 실험실에서도 움직인다.

이 흐름은 산업에서 이미 일하고 있다. 회전 원판 반응기(spinning disk reactor)(막에 돋은 파도가 액체를 뒤섞어 혼합과 물질 전달을 끌어올리는 공정 강화 장치), 스핀 코팅(반도체 포토레지스트와 광학 박막 — 막 두께가 회전수와 점성으로 정해진다는 같은 원심–점성 균형이 공정의 출발점이다), 원심 분무(가장자리에서 막이 찢겨 액적이 되는 분무 건조기와 도장용 회전 벨), 회전 박막 증발기(열에 약한 액체를 얇게 펴 짧게 가열한다)가 모두 같은 원심 박막 흐름 위에 서 있다.

실험 설계

준비물

지름 15 cm 안팎의 매끈한 원판(검은 아크릴 또는 알루미늄)과 중심 허브, 변속 충전식 전동 드릴과 스탠드(또는 저전압 DC 모터), 뚜껑에 급수관·회전축 구멍을 내고 옆면에 배수구를 낸 투명 정리함, 배수 호스와 받이통, 물통과 조절 클램프가 달린 급수관, 계량컵, 스톱워치, 스마트폰, 스탠드 조명, 흰 스티커, 눈금 스티커.

변인

독립변인은 원판의 회전수와 공급 유량이며, 한 번에 하나만 바꾼다. 종속변인은 나선 마루선이 원둘레 방향과 이루는 감김 각, 이웃한 마루 사이의 간격, 나선 무늬가 시작되는 반지름이다. 통제변인은 액체의 종류와 온도(점성·표면장력), 원판의 지름·재질·표면 상태, 급수관 끝의 위치와 높이, 조명과 촬영 각도이다.

실험 순서

1. 원판을 드릴 축에 수평으로 물려 투명 정리함 안에 넣고 뚜껑을 덮는다. 드릴은 정리함 밖 위쪽에 두어 물과 떼어 놓고, 급수관 끝은 스탠드로 고정해 원판 중심 바로 위를 겨눈다.

2. 물을 300 mL/min 안팎으로 흘리며(배출구에서 30초간 받은 물의 부피로 확인) 회전수를 300 rpm부터 천천히 올린다. 조명을 낮은 각도로 비추면 얇은 막의 마루가 밝고 어두운 줄무늬로 드러난다.

3. 회전수를 300·600·900·1200 rpm으로 바꾸며 위에서 사진을 찍는다. 회전수는 원판 가장자리의 흰 스티커를 240 fps 슬로 모션으로 찍어 한 바퀴에 걸린 프레임 수로 환산한다.

4. 회전수를 한 값에 고정하고 유량을 100·200·400 mL/min으로 바꾸며 촬영을 반복한다. 각 사진에서 매끈한 구간, 나선 구간, 마루가 끊어지는 구간의 경계 반지름을 표시한다.

5. 길이를 아는 눈금 스티커를 함께 찍어 두고, 사진을 확대해 영상 분석 도구(ImageJ·Tracker)로 여러 반지름의 감김 각과 마루 간격을 읽는다 — 마루 간격이 mm 단위라 눈으로는 어렵다. 드릴을 멈추고 배터리를 뺀 뒤에만 정리함을 연다.

안전 안내

회전체 말림이 가장 큰 위험이다 — 긴 머리는 묶고 소매·끈·목걸이를 정리하며, 장갑은 축에 감기므로 끼지 않는다. 원판이 도는 동안에는 정리함 뚜껑을 열거나 손·자·휴대폰을 안에 넣지 않는다. 1200 rpm·지름 15 cm이면 가장자리 속력이 약 9 m/s여서 물이 사방으로 튄다. 반드시 원판을 투명 정리함 안에 두고 밖에서 관찰·촬영하며 보안경을 쓴다. 물과 전기가 가까워지지 않도록 충전식 드릴이나 저전압 DC 모터만 쓰고, 조명과 콘센트는 물이 닿지 않는 곳에 둔다. 원판은 금이 없는 것을 흔들림 없이 물리고, 낮은 회전수부터 올리며 떨림이 느껴지면 즉시 멈춘다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

회전수를 두 배로 올리면 나선은 더 깊게 감길까, 더 풀릴까? 그리고 무늬는 원판을 따라 돌아갈까, 제자리에 멈춰 있을까?

자료 정리

회전수·유량별 사진을 한 판에 늘어놓고 매끈한 구간·나선 구간·조각파 구간의 경계 반지름을 표로 정리하고, 감김 각과 마루 간격은 반지름을 가로축으로 한 그래프로 그린다. 심화 과정에서는 반지름마다 막 두께 h와 에크만 수(ν를 ωh²으로 나눈 값)를 계산해, 가로축을 에크만 수로 바꾼 감김 각 그래프가 회전수·유량이 달라도 한 곡선으로 모이는지 본다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

회전수를 올릴수록 파도는 더 잘 생기고, 무늬가 시작되는 반지름은 안쪽으로 당겨질 것으로 예상된다. 다만 같은 반지름에서 회전수를 올리면 막이 얇아져 에크만 수가 커지므로 감김 각은 조금 작아진다. 감김 각은 안쪽에서 크고 바깥으로 갈수록 작아지며, 더 바깥에서는 마루가 끊어져 조각파로 흩어질 것이다. 무엇보다 나선 무늬 자체는 실험실 좌표계에서 멈춰 있을 것으로 예상된다 — 원판은 도는데 무늬는 정지해 있다는 사실이, 이 파동이 흐름을 타고 나아가면서도 실험실에서는 제자리인 패턴임을 말해 준다(정상파와는 다르다). 회전수와 유량이 달라도 감김 각이 에크만 수 하나로 모이면 코리올리 가설과 앞뒤가 맞지만, 원인을 못 박으려면 회전 방향을 뒤집어 나선이 감기는 쪽도 함께 뒤집히는지 보아야 한다(「한 발 더 나아가기」 ①). 막이 수십 μm뿐인데도 무늬가 또렷한 것은 두께가 아니라 표면의 기울기를 빛으로 읽기 때문이다.

더 탐구하기

1. 드릴을 역회전으로 돌려 나선이 감기는 쪽이 통째로 뒤집히는지 보고, 이어 급수관 끝의 높이·정렬만 바꿔 무늬가 남는지 보자 — 문헌은 나선의 기원을 코리올리로 보는 쪽과 입구 교란으로 보는 쪽이 갈려 있어, 이 두 대조가 그 갈림을 가른다.

2. 글리세린으로 점성을 올린 조건과 세제 한 방울로 표면장력을 낮춘 조건을 비교해, 두 물성의 역할을 갈라 보자.

3. 회전수를 레코드 플레이어 수준(33·45 rpm)까지 낮춰 무늬가 사라지는지 보고(레코드 플레이어 자체는 쓰지 않는다 — 물과 전기가 가까워진다), 왜 수백 rpm이 필요한지 막 두께 식과 에크만 수로 설명해 보자.

연결 주제

같은 해 문제 5 ‘라이덴프로스트 별’ — 얇은 액체 표면이 스스로 규칙적 무늬로 진동하는 같은 계열로, 낮은 각도 조명과 영상 분석 기법을 공유한다. IYPT 2020 문제 12 ‘다각형 와류’ — 회전하는 원판이 액체 표면에 규칙적인 패턴을 만드는 문제로, 회전 좌표계와 무차원 수로 조건을 정리하는 분석이 그대로 이어진다.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘Spin coating’·‘Coriolis force’ / 영상 검색어 “spiral waves rotating disk” / [심화] A. F. Charwat, R. E. Kelly, C. Gazley, “The flow and stability of thin liquid films on a rotating disk,” Journal of Fluid Mechanics 53(2), 227–255, 1972, DOI 10.1017/S0022112072000138 (1~150 μm 막에서 매끈·동심원·나선·불규칙 패턴의 경계를 유량·회전수·물성으로 지도화하고, 코리올리가 중요해지는 에크만 수 ~1에서 나선파가 생긴다고 보았다) · G. Leneweit, K. G. Roesner, R. Koehler, “Surface instabilities of thin liquid film flow on a rotating disk,” Experiments in Fluids 26(1–2), 75–85, 1999, DOI 10.1007/s003480050266 (나선이 실험실 좌표계에서 정지해 있음을 보이고, 파의 발생이 급수 입구 조건에 매우 민감함을 밝혔다) · J. Stafford 외, “Thin film flow over a spinning disk: Experiments and direct numerical simulations,” Physical Review Fluids 10(2), 024805, 2025, DOI 10.1103/PhysRevFluids.10.024805 (고속 촬영과 직접 수치모사로 무파–2차원 나선–3차원 조각파의 상도를 만들고, 나선을 만드는 것이 코리올리 효과이며 동심원파가 먼저 있을 필요는 없음을 보였다) · A. G. Emslie, F. T. Bonner, L. G. Peck, “Flow of a viscous liquid on a rotating disk,” Journal of Applied Physics 29(5), 858–862, 1958, DOI 10.1063/1.1723300 (스핀 코팅의 뿌리가 된 회전 원판 박막 흐름의 고전). ※ 위 결과는 모두 연구실 규모(정밀 노즐·고속 카메라)의 것이다. 학교 장비의 저유량·저회전에서 상도의 경계가 어디인지, 감김 각이 에크만 수 하나로 정리되는지가 이 탐구의 개방 지점이다.