바닥이 오히려 끌어당긴다 — 자유낙하보다 빠른 사슬

탐구 주제

IYPT 2017 문제 6 ‘Fast Chain’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2017 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」·「운동과 에너지」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(운동량과 충격량) · 과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」 / 물리학 「힘과 에너지」 · 진로선택 「역학과 에너지」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

자유낙하, 중력 가속도, 운동량과 충격량, 각운동량 보존, 관성 모멘트, 지렛대, 장력, 수직항력, 비탄성 충돌, 변질량계, 역학적 에너지 보존과 소산, 고속 촬영, 프레임률

원리 살펴보기

바닥에 부딪히면 느려지는 것이 상식인데, 이 사슬은 왜 바닥에 닿을수록 더 빨라질까? 원문은 연직을 기준으로 말하지만 실험 논문은 같은 자세를 수평 기준 13°로 적는다 — 사다리 가로대처럼 거의 눕되 살짝 기운 상태다. 그런 막대를 떨어뜨리면 아래쪽 끝이 바닥에 걸리는 순간 그 점을 축으로 회전하고, 반대쪽 끝은 오히려 더 빠르게 내리꽂힌다. 균일한 막대라면 각운동량 보존에서 반대쪽 끝의 하강 속도가 v에서 3v/2로 뛴다(막대가 낙하 방향에 수직에 가까울 때) — 지렛대가 속도를 키운 것이다. 이 사슬의 블록 하나하나가 바로 그런 막대다: 한쪽 끝이 먼저 닿고 그 끝을 축으로 블록이 돌면서 반대쪽 끝이 더 빨리 내려간다. 그 끝에 묶인 실이 팽팽해지며 위쪽 사슬을 아래로 낚아채고(반대쪽 실은 늘어진다), 공중에 남은 부분은 중력만 받을 때보다 큰 가속도로 떨어진다.

그러면 위쪽 사슬이 얻은 에너지는 어디서 왔을까? 바닥은 아니다 — 열쇠는 바닥이 사슬에 일을 하지 않는다는 데 있다 — 닿는 지점은 정지해 있으므로 수직항력은 에너지를 넣지 못한다. 위쪽이 얻은 운동 에너지는 착지하는 블록의 운동 에너지가 실을 통해 옮겨 간 것이고, 사슬 전체로는 풀려난 중력 퍼텐셜 에너지가 짧아지는 공중 구간에 몰리는 것이다. 그래서 공중에 남은 길이 ℓ이 짧을수록 가속도는 커진다(이론값 a = g + v²/6ℓ). 무엇도 위반되지 않는다 — 외력은 중력(아래)과 수직항력(위)뿐이므로 사슬 전체 질량 중심의 가속도는 결코 g를 넘지 못하고, g를 넘는 것은 아직 공중에 남은 부분뿐이다.

“부딪히면 느려진다”가 조건부라는 이 사실은 여러 곳에서 실무가 된다. 구조물 붕괴 해석(아래층이 부딪힐 때 위층에 전해지는 힘의 부호가 붕괴를 늦추기도 재촉하기도 한다), 낙하 충격 설계(비스듬히 떨어진 기기는 첫 충돌 뒤 더 빠르게 두 번째 충돌을 겪는다), 계류 사슬·앵커 체인(사슬이 갑판이나 해저에 쌓일 때의 장력 예측), 로봇·기계의 충돌 시뮬레이션(접촉 순간 부품 사이의 힘을 0으로 놓는 관행이 언제 깨지는가)에 두루 걸린다.

실험 설계

준비물

나무 목봉(지름 1~1.5 cm, 길이 10 cm 안팎) 20~25개 두 벌, 잘 늘어나지 않는 가는 실(다이니마·낚싯줄), 두 사슬을 동시에 놓을 걸이(못 두 개와 잘라 낼 끈), 단단한 수평 판(합판·아크릴), 고속 촬영이 되는 스마트폰(240 fps)과 삼각대, 1 cm 눈금 배경천, 밝은 조명, 줄자.

변인

독립변인은 블록이 수평에 대해 기울어진 각도이다(다른 조건은 그대로 두고 이 값만 바꾼다). 종속변인은 같은 순간 두 사슬의 맨 위 블록 사이의 수직 거리, 곧 바닥으로 떨어지는 사슬이 앞선 거리이다. 통제변인은 블록의 재질·길이·지름·개수, 블록 중심 사이 간격, 실의 종류와 팽팽함, 놓는 높이와 동시 해제 방식, 바닥의 재질과 수평, 촬영 프레임률과 셔터 속도이다.

실험 순서

1. 목봉 양 끝에 구멍을 뚫고 실 두 가닥을 꿰어 잇자. 두 실의 매듭 간격은 같게 하고(원논문은 목봉 10.5 cm, 중심 간격 5.21 cm, 전체 1.251 m) 구멍 양옆을 매듭지어 고정한다. 사다리가 평행사변형으로 밀리므로 기울기는 임시 스페이서로 잡고, 실제 각도는 낙하 직전 프레임에서 재 적는다. 같은 사슬을 두 벌 만든다.

2. 두 사슬의 아래 끝이 판 위 1.5~2 m가 되게 나란히 건 뒤 걸이의 끈을 잘라 동시에(수 ms 이내) 놓는다. 한쪽 아래에만 단단한 판을 두되 바닥에서 사슬 길이보다 높은 곳(계단참·발코니 턱)에 놓고, 대조 사슬은 그 옆 빈 공간으로 떨어뜨린다 — 판 아래가 사슬 길이만큼 비어야 대조가 끝까지 자유낙하한다. 두 사슬을 똑같이 매달고 시행마다 판 위에 걸 사슬을 바꿔 걸자 — 그래야 공기 저항·실 수축은 물론 사슬 개체차까지 상쇄된다.

3. 눈금 배경천을 세우고 240 fps 이상으로 찍되, 낙하 후반 속도가 6 m/s이므로 셔터를 1/1000 s 이하로 고정해 흐림을 1 cm 아래로 줄인다. 기본 앱의 슬로모션은 셔터를 지정할 수 없어 흐림이 2~3 cm라 수동 카메라 앱과 밝은 조명이 필요하다.

4. 프레임마다 두 사슬의 맨 위 블록 높이를 읽되, 맨 아래 블록이 판에 닿기 직전 프레임에서 앞선 거리를 0으로 맞춘 뒤부터 읽자 — 해제 시각차가 쌓아 놓은 거리 차를 이렇게 지운다 — 남는 속도 차가 다시 벌리는 1 cm 남짓은 ②의 바꿔 걸기로 상쇄한다. 시간차 대신 같은 프레임 안의 거리 차를 재자 — 시간차는 10 ms 남짓이라 240 fps에서 두세 프레임뿐이지만 거리 차는 후반에 수 cm까지 벌어진다(원논문은 2.01 m 낙하에서 7.6 cm).

5. 기울기를 세 가지(예: 5°·13°·25°)로 바꾸어 ①~④를 반복하고 조건마다 3회 이상 찍는다.

6. 대조군으로 고리가 쉽게 벌어지는 쇠사슬을 같은 방식으로 떨어뜨려 앞선 거리가 사라지는지 보자.

안전 안내

1~2 m 높이에서 수백 g의 나무 사슬을 떨어뜨리는 실험이다. 낙하 지점 반경 1 m 안에 사람과 물건을 두지 말고 앞이 막힌 신발을 신는다. 착지 순간 블록이 튀거나 실이 끊겨 조각이 날아갈 수 있으니 보안경을 쓰고, 촬영자는 낙하선 정면이 아니라 옆에서 삼각대로 찍는다. 높은 곳에 거는 작업은 의자 대신 안정된 실험대나 사다리를 쓰고 반드시 두 사람이 함께 한다. 실을 손가락에 감은 채로 놓지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

바닥은 위로 밀 뿐인데 왜 더 빨리 떨어질까? 블록을 수평에 가깝게 눕히면 이 효과는 커질까, 사라질까?

자료 정리

프레임 번호를 시간으로 바꾼 뒤 가로축 시간·세로축 앞선 거리로 그린다. 같은 그림에 두 사슬 꼭대기의 낙하 거리–시간 곡선을 겹쳐 바닥 쪽 곡선이 자유낙하 곡선(½gt²)에서 언제 갈라지는지 표시하고, 기울기별 곡선을 한 장에 모아 낙하 후반의 앞선 거리를 각도에 대해 다시 그린다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

두 사슬은 맨 아래 블록이 판에 닿기 전까지 나란히 떨어지다가, 첫 접촉 이후 바닥 쪽이 앞서 나가고 그 차이는 후반으로 갈수록 급격히 벌어질 것으로 예상된다. 이는 바닥에 닿은 블록이 회전하며 실로 위쪽 사슬을 아래로 끌어당긴다는 뜻이다 — 바닥이 주는 압축이 실의 장력으로 뒤바뀌는 것이다. 기울기를 바꾸면 앞선 거리는 단조롭게 변하지 않을 것이다 — 각도를 키우면 지렛대 이득이 줄고 정확히 수평이면 양 끝이 동시에 닿아 회전이 사라지므로, 작지만 0이 아닌 각도에서 최대가 된다. 고리가 벌어지는 쇠사슬에서는 차이가 사라질 것이며(원논문에서도 없었다), 그 대조가 진짜 결론이다 — “떨어지는 사슬의 가속도는 g”라는 교과서 문장은 사슬 설계에 달린 조건부 가정이었던 셈이다.

더 탐구하기

1. 실을 잘 안 늘어나는 것(다이니마)과 잘 늘어나는 것(나일론)으로 바꿔 보자 — 원논문은 나일론 사슬이 놓는 순간 수축해 결과를 흐린다고 지적한다.

2. 바닥을 단단한 판에서 두꺼운 담요나 스티로폼으로 바꿔, 바닥이 에너지를 많이 흡수할수록 앞선 거리가 주는지 확인해 보자.

3. 블록 길이와 간격의 비를 바꾸며(예: 길이 10 cm에 간격 3·5·7 cm) 어떤 비에서 효과가 가장 큰지 찾아보자.

4. 부호가 반대인 사슬 분수(통에서 흘러나온 구슬 사슬이 통 위로 솟는 현상)를 같은 장비로 찍어 비교해 보자.

연결 주제

2017년 문제 1 ‘가장 작은 달걀 보호 장치’ — 낙하 충격과 충격량을 다루므로 동시 낙하 장치와 고속 촬영 절차를 옮겨 쓸 수 있다. IYPT 2020 문제 14 ‘무너지는 탑’ — 아래에서 위로 전해지는 충격이 위쪽의 운명을 가른다는 점에서 같은 자유물체도의 문제다.

참고문헌

[학생] 코넬대 Ruina 연구실 ‘Falling chains’ 자료실(실험 영상·논문 원문 공개, ruina.tam.cornell.edu/research/topics/fallingchains/) / 검색어 “falling chain sucked into table” / [심화] A. Grewal, P. Johnson, A. Ruina, “A chain that speeds up, rather than slows, due to collisions: How compression can cause tension,” American Journal of Physics 79(7), 723–729, 2011, DOI 10.1119/1.3583481 (1차 출처 — 수평에서 13° 기울인 목봉 25개로 만든 1.251 m 사슬 두 벌을 2.01 m에서 동시에 놓고 2000 fps로 촬영하니 바닥 쪽이 약 8 cm 앞섰다. 지렛대 효과로 v→3v/2, a = g + v²/6ℓ. 고리가 벌어지는 쇠사슬에서는 차이가 없었다) · E. Hamm, J.-C. Géminard, “The weight of a falling chain, revisited,” AJP 78(8), 828–833, 2010, DOI 10.1119/1.3429983 (구슬 사슬도 자유낙하보다 빨리 떨어지고 저울의 최대 힘은 고전 예측 3배가 아닌 약 5.5배 — 바닥 힘은 위인데도 아래로 당기는 장력이 생긴다) · J. S. Biggins, M. Warner, “Understanding the chain fountain,” Proceedings of the Royal Society A 470(2163), 20130689, 2014, DOI 10.1098/rspa.2013.0689 (부호가 반대인 사례 — 쌓인 더미가 사슬을 위로 밀어 올린다). ※ 문헌은 13° 한 각도만 다뤘다 — 기울기·블록 간격·실의 강성에 따라 앞선 거리가 어떻게 달라지는지는 개방 지점이다.