2026년 9월 30일 · 용티IYPT 2014 · 문제 5 · 역학·진동, 강체·회전

스스로 뛰어오르는 바퀴 — 추달린굴렁쇠

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 2014 문제 5 ‘Loaded hoop’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2014 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(중력·마찰력) / 통합과학1 「시스템과 상호작용」 / 진로선택 「역학과 에너지」(원운동과 구심 가속도, 역학적 에너지 보존). 강체의 회전과 구름–미끄러짐 전이는 정규 교육과정을 넘어서는 심화 주제이므로 탐구로 다룬다 (2022 개정 교육과정).

핵심 개념

편심, 무게중심, 구름 운동(미끄러짐 없는 굴림), 미끄러짐, 마찰 계수, 수직항력, 구심 가속도, 관성 모멘트, 역학적 에너지 보존, 위상 그림, 자체 유발 도약, 무차원 각속도

원리 살펴보기

테 안쪽에 추를 붙이면 얌전하던 굴렁쇠가 전혀 다른 물건이 된다. 무게중심이 기하학적 중심에서 벗어나기 때문인데, 이 어긋남을 편심이라 하고 그 거리를 반지름으로 나눈 값 γ로 잰다. 추가 점이면 γ는 추 질량을 전체 질량으로 나눈 질량비지만, 부피가 있는 추는 무게중심이 테보다 안쪽에 놓여 γ가 질량비보다 작아진다. 추가 올라갈 때 느려지고 내려올 때 빨라져 뒤뚱거린다. 약하게 밀면 꼭대기를 넘기지 못해 되돌아오고, 조금 세게 밀면 겨우 넘겨 계속 구르며, 아주 세게 밀면 뛰어오른다 — 미는 세기 하나로 결말이 셋으로 갈린다.

도약은 왜 일어날까? 열쇠는 바닥은 밀 수만 있고 당길 수는 없다는 데 있다. 추가 꼭대기를 빠르게 돌 때 추를 궤도에 붙들 구심력이 아래로 필요한데, 중력이 모자라면 굴렁쇠가 추를 당기고 그 반작용으로 추가 굴렁쇠를 위로 당긴다. 이 힘이 굴렁쇠 무게를 이기면 N이 0이 되어 뛴다. Theron의 모형에서 N = 1 − γω²cos θ − γα sin θ 이고(θ는 회전각, ω·α는 무차원 각속도·각가속도), 추가 위쪽에 있고(cos θ > 0) 회전이 빠를수록 γω²cos θ 항이 커져 N을 0으로 끌어내린다. 그런데 왜 출발 직후(0°~90°)에는 안 뛸까? 살살 밀면 cos θ는 커도 ω²이 작기 때문이다. 추가 내려가며 ω가 커진 뒤 다시 올라와 cos θ가 커지는 270°~360°에서야 두 조건이 함께 충족된다. 그래서 딱딱한 굴렁쇠는 올라오는 길에서 뛴다.

편심을 만들면 무슨 일이 나는지 이 굴렁쇠가 보여 준다. 자동차 휠 밸런싱은 편심을 없애는 쪽이다 — 편심이 남은 바퀴는 고속에서 떨려 접지력을 잃으므로 균형추로 γ를 0에 가깝게 한다. 진동 다짐기·진동 체는 반대로 편심 질량을 돌려 흙을 다지고 알갱이를 거른다. 세탁기 탈수조도 빨래가 쏠리면 추 달린 굴렁쇠가 되어 요동친다. 구르고 뛰는 로봇도 추를 흔들어 구르다 장애물을 뛰어넘는다.

실험 설계

준비물

PVC 관으로 만든 단단한 링과 잘 휘는 훌라후프 각 1개, 테 안쪽에 볼트·너트로 고정할 질량이 다른 금속 추 여러 개, 전자저울, 자, 각도기, 옆면 표식 스티커, 스마트폰(고속 촬영), 모눈 배경판, 바닥면 여러 가지(고무·나무·아크릴), 영상 분석 프로그램(Tracker 등).

변인

독립변인은 처음 굴릴 때의 중심 속도 v₀이다(한 번에 이 값만 바꾼다). 영상에서 재어 무차원 각속도 ω₀ = v₀/√(gr)로 바꾼다. 종속변인은 결말 유형(되돌아옴·계속 구름·도약)과 도약이 시작되는 회전각 θ*이다. 통제변인은 굴렁쇠의 반지름·강성, 편심 γ, 바닥 재질(마찰 계수), 미는 방향과 지면 수평도이다. 편심 γ와 바닥 마찰의 효과는 따로 확인한다.

실험 순서

  1. 추를 테 안쪽에 볼트로 단단히 고정하고 추·굴렁쇠 질량을 잰다. 중심에서 추 무게중심까지 거리 OP를 재어 편심 γ = (m추 / m전체) × (OP / r)를 구한다(r은 반지름). 부피가 있는 추는 OP < r이라 γ가 질량비보다 작으니 이 보정이 문헌 비교에 필수다. 추 위치는 옆면에 표시한다.

  2. 추가 꼭대기에 오도록 세워 수평 바닥을 굴리며 고속 촬영한다. 미는 세기를 약하게부터 세게 바꿔 결말을 조건마다 여러 번 기록하고, 도약하는 첫 순간의 회전각 θ*를 읽는다. 초기 각속도 ω₀은 중심 속도 v₀에서 v₀ / √(gr)로 환산하는데, 이 환산은 미끄러지지 않고 구를 때만 맞으므로 출발 순간 옆면 표식이 미끄러지지 않았는지 영상에서 먼저 확인한다.

  3. 추 질량을 바꿔 γ를 올리며 각 γ에서 도약의 최소 초기 각속도와 θ*를 다시 잰다. 문헌이 검증한 구간은 γ ≈ 0.5~0.8인데, γ는 OP / r에 막혀 있으니 작고 조밀한 추를 안쪽에 최대한 붙여 OP를 키운다.

  4. 바닥을 고무 매트·나무판·아크릴판으로 바꿔 결말 변화를 비교하고, 같은 추를 붙인 단단한 PVC 링과 잘 휘는 훌라후프를 같은 세기로 굴려 θ*를 견준다.

안전 안내

⚠ 안전

빠르게 도는 굴렁쇠에서 추가 떨어져 나가면 날아가 큰 사고가 된다. 추는 반드시 볼트·너트로 조여 고정하고(테이프 금지) 매 시행 전 풀리지 않았는지 확인한다. 도약한 굴렁쇠는 어디로 튈지 모르므로 보안경을 쓰고 지나갈 앞·양옆에 사람이 없게 한다. 책상이 아니라 넓은 바닥에서 하고 굴러 떨어질 계단·경사가 없는 곳을 고른다. 무거운 추 달린 굴렁쇠가 쓰러질 때 발등·손가락이 깔리지 않게 한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

처음 미는 세기를 조금씩 키우면 굴렁쇠의 운동은 어떤 순서로 달라질까? 그리고 뛰어오르는 그 순간, 추는 꼭대기에서 얼마나 돌아간 자리에 있을까?

자료 정리

가로축 ω₀, 세로축 γ 평면에 시행마다 결말(멈춤·한 바퀴·도약)을 다른 기호로 찍어 세 영역의 경계를 그린다 — 문헌의 위상 그림을 우리 조건으로 바꿔 그린 것이다. θ*는 γ에 대해 따로 그리되 270°·360° 기준선을 넣어 측정점이 그 사이에 드는지 본다. 바닥 재질은 같은 ω₀에서 결말이 바뀌는지로 본다. (수치는 실제 측정으로.)

결과의 의미

미는 세기가 커질수록 결말은 멈춤 → 한 바퀴 → 도약으로 바뀌고, 그 경계가 ω₀–γ 평면에 곡선으로 드러날 것이다. 단단한 굴렁쇠의 도약은 추가 내려오는 길목이 아니라 다시 올라와 꼭대기에 가까워지는 270°~360°에서 나타날 것이다. 이 “늦은 도약”이 이 탐구의 핵심인데, 2026년 이론은 이를 실제 도약이 아닌 ‘준-도약’으로 보아 아직 쟁점이다. 다만 아주 세게 밀어 무차원 각속도가 1/√γ(γ = 0.555면 약 1.34)를 넘으면 단단한 굴렁쇠도 출발하자마자 뜨므로, 늦은 도약은 그보다 약하게 민 구간의 이야기다. Littlewood가 1953년에 적은 “추의 반지름이 수평이 될 때(90°) 뜬다”가 질량을 가진 강체 굴렁쇠에서는 성립하지 않기 때문이다(Taylor·Fehrs가 γ = 0.5~0.8에서 실측해 확인). 훌라후프처럼 잘 휘는 굴렁쇠에서 훨씬 이른 각도에 도약이 나온다면 측정 실패가 아니라 탄성이 만든 다른 현상이다. 초기 관찰이 하필 훌라후프여서 90°가 맞아 보였을 뿐이다.

더 탐구하기

  1. 추를 두 개 마주 보게 붙여 편심을 0에 가깝게 만든 뒤 뒤뚱거림과 도약이 사라지는지 보자 — 편심이 원인임을 보이는 대조 실험이다.

  2. 고속 영상에서 표면 표식을 추적해, 구름 구간과 미끄러지는 구간이 한 바퀴에 몇 번 교대하는지 세어 보자.

  3. 굴렁쇠를 기울어진 판에서 굴려, 경사각이 도약 시작 조건을 어디로 옮기는지 살펴보자.

  4. 훌라후프의 강성을 눌러 재어 보고, 강성이 다른 굴렁쇠들의 도약 각도를 강성에 대해 정리해 보자.

연결 주제

같은 해 문제 13 ‘회전안장’은 공이 안장에서 떨어지지 않을 조건을 찾는 문제여서, 도약 조건을 매개변수 평면의 경계로 그리는 이 탐구와 물음의 꼴이 같다. 문제 1 ‘혼돈회로’와는 기제가 다르지만 위상 공간 분석 도구를 공유한다.

참고문헌

[학생] 영상 검색어 “hopping hoop”, “loaded hoop physics” / S. Wang, W. Gao 엮음, 『International Young Physicists’ Tournament: Problems & Solutions 2014』(World Scientific, 2016, ISBN 9789814740333) — 공식 해설 모음 / [심화] W. F. D. Theron, 『Analysis of the Rolling Motion of Loaded Hoops』(Stellenbosch 대학교 박사학위논문, 2008; scholar.sun.ac.za에서 전문 공개) — 굴렁쇠 제원(209 g·바깥지름 251 mm, 강철 추 598 g, γ = 0.555)을 그대로 따라 만들 수 있고, 편심이 질량비와 다른 까닭·보정, 마찰 0.1에서 ω₀ < 0.6 멈춤·ω₀ > 1 도약, 운동 패턴 39가지 분류, N = 0이 도약의 필요조건일 뿐임을 담았다 · J. E. Littlewood, 『A Mathematician’s Miscellany』(Methuen, 1953); 개정판 『Littlewood’s Miscellany』(Cambridge University Press, 1986) 37쪽 (원조 문제) · W. F. D. Theron, Am. J. Phys. 68(9), 812–820 (2000), DOI 10.1119/1.1302324 (질량을 넣어 구름·스피닝·스키딩·도약 네 위상과 도약 조건 유도) · A. Taylor, M. Fehrs, Am. J. Phys. 78(5), 496–498 (2010), DOI 10.1119/1.3300613 (γ = 0.5~0.8에서 도약 각도를 실측해 Theron의 3π/2~2π 예측을 확인) · M. F. Maritz, W. F. D. Theron, Am. J. Phys. 80(7), 594–598 (2012), DOI 10.1119/1.3697837 (고속 카메라·프레임 분석 — 이 탐구의 측정법) · A. A. Aglaev, A. K. Kovaldji, Am. J. Phys. 94(5), 359–362 (2026), DOI 10.1119/5.0291968 (굴렁쇠는 풀어놓는 순간 뛰거나 아예 뛰지 않는다고 보고, N = 0 뒤 힘 없이 미끄러지는 skimming도 불가능하다고 반박). ※ N = 0 뒤 굴렁쇠가 실제로 뛰는지는 아직 합의되지 않았고, 학교에서 만든 굴렁쇠의 강성이 도약 각도를 어디까지 끌어당기는지가 이 탐구의 개방 지점이다.

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