뒤로 돌지만 뒤로 가지 않는다 — 움직이는 원통

탐구 주제

IYPT 2011 문제 14 ‘Moving cylinder’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2011 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(마찰력)·「운동과 에너지」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학 시스템)·과학탐구실험1(과학 탐구의 과정과 절차) / 물리학 「힘과 에너지」(운동량과 충격량) · 진로선택 「역학과 에너지」의 「시공간과 운동」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

운동 마찰력, 마찰 계수, 충격량, 돌림힘(토크), 관성 모멘트, 회전 관성, 각운동량, 접촉선에 대한 각운동량, 역회전(백스핀), 미끄러짐이 있는 구름 운동, 순수 구름 조건, 미끄럼–굴림 전이, 구름 저항

원리 살펴보기

종이를 빼내면 연필은 어느 쪽으로 굴러갈까? 종이가 미끄러지는 동안 연필의 바닥은 종이에 끌려 앞으로 밀린다. 그래서 연필의 중심은 종이가 빠져나가는 쪽으로 조금씩 따라가지만, 아래쪽만 앞으로 밀린 몸통은 굴러갈 때와는 반대로, 곧 뒤로 돈다(역회전). 이때 마찰력은 중심의 속도를 거스르기는커녕 같은 쪽을 향한다 — 마찰은 늘 운동을 방해한다는 상식이 통하지 않는 자리다.

종이가 빠지고 나면 마찰의 방향이 뒤집혀 병진을 늦추고 역회전을 지운다. 여기서 눈여겨볼 양은 접촉선에 대한 각운동량 L = Iω + mvR이다. 마찰은 바로 그 접촉선에서 작용하므로 이 값을 바꾸지 못한다. 원통은 가만히 있다 출발했으니 L은 처음부터 끝까지 0이고, 미끄러짐 없이 구르면서(v = ωR) L이 0인 상태는 v = 0뿐이다. 그러므로 미끄러짐이 사라지는 바로 그 순간이 원통이 멎는 순간이고, 시원하게 굴러가는 구간은 아예 생기지 않는다. 되돌아오지도 않는다. 되돌아오려면 역회전이 어떤 문턱을 넘어야 하는데, 종이가 줄 수 있는 역회전은 언제나 정확히 그 문턱값이다. 이 결론은 마찰 계수에도, 종이를 어떻게 뺐는지에도 기대지 않는다.

접촉면이 미끄러지는 구름은 바퀴가 있는 곳마다 나타난다. 자동차의 잠김 방지 제동(ABS)(바퀴와 노면의 미끄럼 비율이 제동력을 정한다), 당구·볼링의 회전 조절(역회전을 얼마나 주어야 공이 되돌아오는지가 같은 문턱으로 갈린다), 프린터·복사기의 급지 롤러(롤러와 종이가 미끄러지면 급지가 어긋난다), 컨베이어 위 원통형 부품의 이송(벨트가 갑자기 서면 부품이 얼마나 굴러가는지를 같은 셈법으로 따진다)이 그렇다.

실험 설계

준비물

둥근 연필, 지름 3~4 cm·길이 15~20 cm의 가벼운 나무 봉과 같은 지름의 벽 얇은 종이 관(A4 폭 안에 들어와야 한다), A4 복사지 여러 장, 30 cm 자와 모눈 배경지, 캘리퍼스, 0.1 g 단위 전자저울, 표시용 유성펜과 스티커, 240 fps 슬로모션이 되는 스마트폰과 삼각대, 수평계.

변인

독립변인은 실측한 종이 속도 u와 원통의 회전 관성(속이 찬 봉인지 벽이 얇은 관인지) 두 가지이며, 한 번에 하나씩만 바꾼다. 종속변인은 종이가 빠진 직후의 중심 속도 v와 각속도 ω, 그 비 ωR/v, 멈추기까지의 시간과 거리, 병진이 그친 시각과 회전이 그친 시각의 차이다. 통제변인은 원통 축과 당기는 방향이 이루는 각(직각), 종이 뒤쪽 가장자리에서 원통까지의 거리, 종이와 상판의 재질, 촬영 프레임률이다.

실험 순서

1. 봉·관·연필의 지름과 질량을 재고, 끝면에는 반지름 방향 선을 옆면에는 세로 줄을 그린다. 수평계로 상판의 기울기를 없앤다.

2. A4 종이를 놓고 뒤쪽 가장자리에서 15 cm 되는 자리에, 원통의 축이 당기는 방향과 직각이 되게 올린다. 모눈 배경지와 자가 함께 담기도록 옆에서 240 fps로 찍는다 — 원통은 종이가 빠진 뒤 0.1초 안팎에 멎으므로 30 fps로는 서너 프레임밖에 남지 않는다.

3. 종이 뒤쪽 가장자리에 1 cm 눈금을 굵게 그어 두고, 종이를 수평으로 천천히·보통·순간적으로 세 가지 세기로 빼며 조건마다 다섯 번 되풀이한다. 종이의 뒤쪽 가장자리가 원통을 지나간 프레임을 0으로 삼고, 같은 영상에서 눈금을 읽어 그 직전 종이의 속도 u와 걸린 시간을 수치로 남긴다 — ‘천천히·보통·순간적’은 이름표일 뿐 독립변인이 아니다.

4. 중심 위치와 표시점의 각도를 프레임마다 읽어 시간에 대해 직선을 맞춘 뒤 0프레임으로 외삽해 v와 ω를 구하고 ωR/v를 얻는다(한두 프레임만 직독하면 이동이 프레임당 1 mm도 안 돼 묻힌다). 회전은 지름 3~4 cm인 봉·관에서 읽는다 — 연필은 반지름이 작아 같은 속도에서 네댓 배 빨리 돌아, 240 fps로도 한 바퀴가 열 프레임 남짓밖에 잡히지 않는다.

5. 종이가 빠진 뒤의 이동 거리와 멈추기까지의 시간을 재고, 중심이 멎은 프레임과 회전이 멎은 프레임이 같은지 프레임 단위로 견준다.

6. 속이 찬 봉과 벽이 얇은 관으로 ③~⑤를 되풀이해, ωR/v는 서로 다른 값으로 갈리는데도 두 시각은 여전히 함께 0에 닿는지 확인한다.

안전 안내

연필심과 봉 끝으로 눈을 다치지 않게 눈높이 아래에서 다루고, 원통을 사람 쪽으로 겨누지 않는다. 무겁거나 깨지는 금속 관·유리병은 쓰지 않고 나무 봉·종이 관·연필만 쓰며, 어떤 원통도 300 g을 넘기지 않는다. 원통이 굴러 떨어지지 않도록 당기는 쪽으로 40 cm 이상 빈 상판을 두고, 그 아래에 발을 두지 않는다. 종이를 힘껏 당길 때 팔이 상판 모서리나 옆 사람에게 부딪히지 않도록 뒤쪽을 비우고, 종이 가장자리에 손이 베이지 않게 끝을 접어 쥔다. 삼각대는 넘어지지 않게 고정한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

종이를 빼내면 원통은 종이가 빠져나간 쪽으로 굴러갈까, 아니면 뒤로 돌던 회전 때문에 되돌아올까? 그리고 굴러가는 구간은 얼마나 이어질까?

자료 정리

측정마다 (실측한 종이 속도 u, 0프레임 직후의 v와 ω, ωR/v, 멈추기까지의 시간과 거리, 병진·회전이 그친 프레임의 차)를 한 줄로 적는다. v와 ωR를 부호까지 살려 시간에 대해 한 그래프에 겹쳐 그리면, 두 직선이 같은 시각에 0에 닿는지가 한눈에 드러난다. ωR/v는 가로축을 실측한 종이 속도 u로 하여 찍어, 값이 흩어지지 않고 한 수평선에 모이는지 본다. (수치는 실제 측정으로 채운다.)

결과의 의미

원통은 종이가 빠져나간 쪽으로만 조금 나아간 뒤 되돌아오지 않고, 중심 속도와 둘레 속도가 같은 시각에 0에 닿아 굴러가는 구간이 거의 없이 멎을 것으로 예상된다. 여기서 재는 거리는 종이가 완전히 빠진 뒤의 거리다 — 천천히 빼면 원통이 종이 위에서 뒤로 구르며 실려 가는데, 그 거리는 뒤 가장자리까지 거리의 k배(속 찬 봉은 절반, 얇은 관은 거의 전부)라서 총 변위만 재면 결론이 뒤집힌 것처럼 보인다.마찰이 접촉선에서만 작용하는 한 접촉선에 대한 각운동량은 0으로 묶여 있고, 그 값이 0인 채로 순수 구름과 양립하는 속도는 0뿐이기 때문이다. ωR/v는 빼는 빠르기와 상관없이 속이 찬 봉에서 2, 벽이 얇은 관에서 1 근처로 갈릴 것으로 예상되니, 이 비는 회전 관성을 재는 눈금이 된다. 그러므로 원통이 눈에 띄게 굴러간다면 그것은 오차가 아니라 이상 모형 밖의 무언가가 각운동량을 넣어 주었다는 증거다. 종이 두께만큼의 단차, 종이 가장자리가 접촉선보다 위를 밀어 준 것, 구름 저항, 단면이 완전한 원이 아닌 것이 후보다. 다만 종이가 빠진 뒤의 이동 거리 자체가 u에 대해 단조롭지 않아 가운데 빠르기에서 가장 크고 그보다 느리거나 빠르면 크게 줄어드니, 세 이름표가 그 봉우리의 어느 쪽에 놓였는지 모르면 흩어짐으로만 보인다. 그 몫을 갈라내는 일이 이 탐구의 알맹이다.

더 탐구하기

1. 원통의 축을 당기는 방향과 비스듬하게 놓아, 축을 따라 마찰이 고르지 않을 때 생기는 또 다른 회전 모드(축이 돌아가는 요잉)를 관찰해 보자.

2. 상판에 사포·유광 종이·천을 깔아 마찰 계수만 바꾸어, ωR/v 비는 그대로인데 멈추기까지의 거리만 달라지는지 확인해 보자.

3. 손으로 역회전을 세게 걸어 원통을 굴려 보내고, 되돌아오기 시작하는 문턱이 ωR = 2v(속이 찬 봉) 근처인지 재어 보자 — 종이가 만들어 주는 조합은 언제나 정확히 그 문턱값이다.

4. 종이를 수평이 아니라 상판 아래쪽으로 비스듬히 당겨 수직항력이 달라지게 해 보고, 그래도 같은 결론이 나오는지 확인해 보자.

연결 주제

IYPT 2020 문제 14 ‘무너지는 탑’ — 밑을 순간적으로 빼내는 손놀림이라는 얼개는 같으나, 그쪽 원반은 굴러가지 않고 제자리에 내려앉는 정지 문제이고 이쪽은 마찰 돌림힘이 회전을 걸어 미끄러지는 구름 운동을 만든다. IYPT 2001 문제 11 ‘굴러가는 두 공’ — 부딪친 뒤 운동 마찰이 회전과 병진을 다시 맞추는 미끄럼–굴림 전이가 같은 얼개이며, 이 원고는 그 전이가 끝나는 지점이 곧 정지인 특별한 경우다.

참고문헌

[학생] OpenStax 대학물리 1권 11.1 ‘Rolling Motion’의 Rolling Motion with Slipping(미끄러지면 v와 ωR가 어긋남을 정리) / 미국 아이오와대 강의시연 1Q40.60 ‘Cons. of Angular Momentum — Ball or Cylinder Paper Pull’ — 종이를 빼는 동안 물체가 미끄러지며 돌기 시작하지만, 종이에서 벗어나 상판에 닿으면 그 자리에서 곧바로 멎는다고 적었다 / 영상 검색어 “tablecloth pull ball slow motion” / [심화] Rod Cross, “Motion of a Ball on a Moving Surface,” The Physics Teacher 54(2), 76–79 (2016), doi:10.1119/1.4940168 — 식탁보 위의 그릇을 공으로 바꾸면 공이 식탁보 위에서 뒤로 구를 수 있다는 점을 짚고, 결과가 식탁보의 가속도에 달렸으며 성공의 요령은 마찰력을 줄이는 것이 아니라 마찰이 작용하는 시간을 줄여 수평 충격량을 작게 하는 데 있다고 정리 · A. Pinto, M. Fiolhais, “Rolling cylinder on a horizontal plane,” Physics Education 36(3), 250–254 (2001), doi:10.1088/0031-9120/36/3/312 — 마찰력이 질량중심의 속도와 같은 방향을 향하게 되는 조건을 세워, 마찰은 늘 운동을 거스른다는 통념이 깨질 수 있음을 보임 · Joe L. Ferguson, “Pulling the rug from under round objects,” The Physics Teacher 39(4), 224–225 (2001), doi:10.1119/1.1367791 — 위 강의시연 자료가 참고문헌으로 든 글이다(원문 미확인). ※ 둥근 물체 밑에서 깔개를 빼는 설정 자체는 문헌이 이미 다뤘다(퍼거슨 2001). 다만 실제 연필이 멎지 않고 얼마쯤 굴러간다면 그 몫이 종이 두께의 단차·종이 가장자리의 접촉·구름 저항 중 무엇에서 오는지는 이 탐구의 개방 지점이다.