너무 느려도, 너무 빨라도 떨어진다 — 부양 팽이

탐구 주제

IYPT 2011 문제 12 ‘Levitating spinner’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2011 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「전기와 자기」(자기력·자기장) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학 시스템)·과학탐구실험1(과학 탐구의 과정과 절차) / 물리학 「전기와 자기」(자기력·자기 쌍극자) / 진로선택 「역학과 에너지」(시공간과 운동)·「전자기와 양자」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

언쇼 정리, 자기 모멘트, 반평행 정렬, 자기장 세기의 극소점, 자이로스코프 세차, 각운동량, 단열 조건, 잠자는 팽이, 회전수의 상한과 하한, 퍼텐셜 우물, 포획 부피, 질량 트리밍, 자석의 온도계수

원리 살펴보기

가만히 있는 자석은 자석만으로 공중에 붙잡아 둘 수 없다. 중력과 자기 위치 에너지를 더한 값은 어느 지점에서도 사방이 오르막인 골짜기가 되지 못하고, 한 방향으로 오르면 다른 방향으로는 내려가는 안장점만 만들기 때문이다(언쇼 정리, 1842). 위아래로 안정하면 옆으로 불안정하고, 그 반대도 마찬가지다. 그런데 팽이를 돌리면 빠져나갈 구멍이 생긴다. 자기 모멘트가 받침의 자기장과 반대 방향(반평행)으로 놓인 팽이는, 옆으로 밀려날 때마다 스핀축이 그 자리의 자기력선 쪽으로 세차하며 천천히 따라 돈다.

축이 자기력선을 따라가는 동안 팽이가 느끼는 에너지는 자기장의 z성분이 아니라 자기장의 크기에만 의존하게 되고, 자기장의 크기는 안장점과 달리 극소점을 가질 수 있다 — 회전이 언쇼의 금지를 우회하는 지점이다. 대신 회전수에 문이 양쪽으로 달린다. 너무 느리면 팽이가 기울어져 자기장 기울기가 더는 떠받치지 못해 떨어지고, 너무 빠르면 세차가 오히려 느려져 축이 국소 자기장 방향을 따라가지 못하고 옆으로 미끄러져 나간다. 세차의 빠르기가 회전수에 반비례하기 때문이다. 게다가 이 우물은 20 g짜리 팽이에게 깊이 0.05 mm의 옴폭한 자리에 해당할 만큼 얕아, 무게를 0.2 g 안쪽으로 맞춰 주어야 한다.

언쇼의 금지를 비껴가는 길은 여럿이다. 중성 원자·중성자의 자기 트랩(자기장 세기의 극소점에 반평행 스핀을 가두는 이 팽이의 미시판), 되먹임 제어 자기 베어링(센서로 위치를 재어 전자석 전류를 실시간으로 고쳐 잡는다 — 정지된 자석만으로는 안 되니 능동 제어를 더한 것), 초전도 부상(초전도체의 반자성과 자속 고정으로 회전 없이도 안정하다), 맴돌이 전류 부상(상대 운동이 만든 유도 전류가 떠받친다)이 저마다 다른 방식으로 금지를 피한다.

실험 설계

준비물

자기 부양 팽이 완구 한 벌(팽이·받침 자석판·리프터 판·조절용 와셔), 0.01 g 단위 전자저울(정격 200 g 이상), 0.05 g 안팎의 작은 와셔와 오링, 반사 스티커와 광학식 회전계(상한 5,000 rpm 이상·1 rpm 분해능) 또는 스트로보스코프, 수평계, 밀리미터 자와 모눈 배경지, 스톱워치, 0.1 °C 단위 온도계, 삼각대와 스마트폰, 나무 상판의 책상.

변인

독립변인은 팽이를 놓아 줄 때의 회전수와 팽이의 총질량 두 가지이며, 한 번에 하나씩만 바꾼다. 종속변인은 부양 성공 여부, 부양이 유지된 시간, 떨어지는 순간의 회전수, 부양 높이이다. 통제변인은 받침 자석판의 수평과 방향, 실온, 책상 상판의 재질, 팽이를 놓는 방법과 리프터 판을 올리는 속도이다.

실험 순서

1. 받침 자석판을 나무 상판 위에 놓고 수평계로 수평을 맞춘다 — 철판이나 철제 책상 위에 두면 자기장의 세기와 모양이 달라져 부양 지점과 필요한 무게가 함께 바뀐다.

2. 팽이를 리프터 판 위에서 돌린 뒤 판을 아주 천천히 들어 올린다. 뜨지 않으면 와셔를 0.05 g 단위로 더하고 빼며 뜨는 총질량을 찾고, 그 질량과 실온을 0.01 g·0.1 °C 단위로 적는다.

3. 성공한 질량에서 무게를 조금씩 바꿔 성공과 실패를 갈라 뜨는 질량의 범위를 정하고, 모눈 배경지를 뒤에 두고 확대 촬영해 부양 높이를 0.5 mm까지 읽는다.

4. 팽이에 반사 스티커를 붙여 회전계로 재며, 놓아 준 순간과 떨어지는 순간의 회전수, 부양이 유지된 시간을 조건마다 다섯 번 이상 적는다.

5. 축에 끈을 감아 당기는 방식으로 손보다 빠르게 돌려 놓아 보되, 이 단계의 느린 조건까지 포함해 ⑤의 모든 시행을 같은 끈 방식·같은 해제 높이로 맞춘다 — 발사법이 회전수와 함께 바뀌면 상한을 가려낼 수 없다. 부양이 걸리는 골이 얕아 옆방향 속도가 3 cm/s만 되어도 빠져나가니, 옆으로 벗어난 시행은 놓는 순간의 흔들림을 영상으로 확인한 뒤에만 회전수 상한으로 센다.

6. 실패 장면을 영상으로 되돌려, 흔들림이 커지다 아래로 떨어졌는지(회전수 하한), 나선을 그리며 옆으로 벗어났는지(회전수 상한), 아예 눌러앉거나 튀어 올랐는지(질량 어긋남)로 갈라 적는다.

안전 안내

강한 영구자석을 다룬다. 자석끼리 순식간에 달라붙어 손가락이 끼거나 깨진 파편이 튈 수 있으니 늘 두 손으로 천천히 다루고, 다른 자석이나 철판에 가까이 가져갈 때는 보안경을 쓴다. 작은 자석과 와셔는 절대 입에 넣지 않고(삼키면 장을 뚫을 수 있다) 어린아이 손이 닿지 않게 둔다. 심장 박동기나 인공와우를 쓰는 사람은 실험대에 다가오지 않는다. 카드·외장 하드디스크·기계식 시계는 다른 자리에 치우고, 스마트폰은 20 cm 이상 떨어뜨려 삼각대에 고정한다 — 가까이 대면 나침반 센서와 카메라 손떨림 보정이 상할 수 있다. 팽이는 손이나 끈으로만 돌리고 드릴·모터에 물리지 않는다. 스트로보스코프는 깜박임에 예민한 사람이 없는지 확인하고 쓴다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

팽이를 빠르게 돌릴수록 더 오래, 더 안정하게 뜰까? 그리고 팽이를 조금 무겁게 하면 뜨는 높이는 올라갈까, 내려갈까?

자료 정리

측정마다 (총질량, 놓아 준 순간의 회전수, 떨어진 순간의 회전수, 부양 시간, 부양 높이, 실온, 실패 유형)을 한 줄로 적는다. 가로축 회전수·세로축 총질량 평면에 성공은 채운 점, 실패는 빈 점으로 찍으면 부양 가능한 영역이 창처럼 드러난다. 떨어진 순간의 회전수는 따로 모아 흩어짐까지 보고, 부양 높이는 총질량에 대해 그린다. 실온은 기호로 구분한다. (수치는 실제 측정으로 채운다.)

결과의 의미

부양이 가능한 영역은 회전수와 질량 두 축 모두에서 좁은 창으로 나타날 것으로 예상된다. 특히 떨어지는 순간의 회전수는 되풀이해도 비슷한 값으로 모일 것인데, 문헌은 그 값을 1,100~1,200 rpm 근처로 보고했고 팽이 무게에 따라 조금씩 달랐다. 흔들림이 커지다 아래로 떨어지는 장면이 회전수 하한의 증거다. 반대쪽 문은 눈으로 보기가 훨씬 어렵다. 손으로 돌리면 대개 20 Hz(1,200 rpm) 안팎이라 상한(문헌의 한 팽이에서 실측 2,779 rpm)에 닿지 못한다. 시작 회전수가 하한 바로 위라는 사실은 부양이 몇 분 만에 끝나는 까닭이기도 하다 — 닿지 못했다는 것 자체가 정직한 결과다. 무게 쪽은 무거울수록 낮은 자리에 뜰 것으로 예상된다. 위로 갈수록 기울기가 약해지는 구간에 떠 있어야 위아래로 안정하기 때문이다.

더 탐구하기

1. 받침 자석의 배치를 바꿔 보자 — 문헌은 고리 자석 대신 막대 자석 넷을 N극이 안쪽을 향하도록 정사각형으로, 또는 원통 자석을 N극이 위를 향하도록 정사각형이나 원으로 늘어놓아도 된다고 보고했다. 어느 쪽이든 자석끼리 밀어내 흩어지므로 강판에 붙이거나 접착해 고정해야 하며, 강판은 자기장 세기도 함께 키운다. 배치마다 부양 높이와 필요한 무게를 재 보자.

2. 팽이와 받침을 서늘한 곳에 두었다 꺼내거나 손으로 데운 뒤 같은 와셔로 뜨는지 보자. 세라믹 자석은 1 °C에 세기가 0.2 %쯤 달라져, 22 g 팽이라면 자석 한쪽만 따져도 필요한 무게가 1 °C마다 0.04 g씩 움직이는 셈이다.

3. 팽이가 통통 튀는 진동수와 축이 도는 세차 진동수를 영상에서 세어, 회전이 빨라질수록 세차가 정말 느려지는지 확인해 보자.

연결 주제

IYPT 2010 문제 14 ‘자기 용수철’ — 위아래로만 구속한 자석의 진동으로, 이 팽이의 상하 진동 모드와 같은 얼개이되 옆방향과 기울기를 기계로 붙잡아 둔 경우다. IYPT 2024 문제 8 ‘또 다른 자기 부양’ — 같은 부양이라도 기제가 다르다. 그쪽은 전도판의 맴돌이 전류가, 이쪽은 회전이 지켜 내는 단열 조건이 떠받친다.

참고문헌

[학생] 위키백과 “Levitron” / M. D. Simon의 해설(physics.ucla.edu/marty/levitron) / 영상 검색어 “Levitron levitation” / [심화] M. D. Simon, L. O. Heflinger, S. L. Ridgway, “Spin stabilized magnetic levitation,” American Journal of Physics 65(4), 286–292 (1997), doi:10.1119/1.18488 — 22 g 팽이가 받침 위 약 3.2 cm에서 2분 넘게 떠 있다 회전이 1,000 rpm 근처로 떨어지면 낙하. 허용 회전수 1,000~3,000 rpm, 한 팽이의 상한은 실측 2,779 rpm(선형 이론 3,065 rpm). 무게는 약 0.2 g 이내로 맞춰야 하고, 세라믹 자석의 가역 감자 온도계수 약 0.2 %/°C 탓에 자꾸 다시 맞춰야 한다 · M. V. Berry, “The Levitron™: an adiabatic trap for spins,” Proceedings of the Royal Society A 452(1948), 1207–1220 (1996), doi:10.1098/rspa.1996.0062 — 스핀·세차·팽이가 겪는 자기장 변화의 세 시간 척도가 갈라지는 회전수 구간에서만 부양하고, 훨씬 빨리 돌리면 단열 조건이 깨져 불안정해진다. 손 회전은 20 Hz 안팎 · T. B. Jones, M. Washizu, R. Gans, “Simple theory for the Levitron®,” Journal of Applied Physics 82(2), 883–888 (1997), doi:10.1063/1.365856 — 스트로보로 잰 낙하 순간의 회전수가 1,100~1,200 rpm으로 일관됐고, 질량을 약 1 % 바꾸면 안정한 높이 구간 약 4 mm를 훑는다. 6.35 mm 철판 위에 두면 부양 위치가 약 3 mm 내려가고 무게를 25 % 넘게 늘려야 했다. ※ 위 값들은 시판 완구와 그것을 본뜬 장치의 결과다. 손으로 돌려 상한에 닿을 수 있는지, 학교에서 꾸민 배치의 창 폭이 얼마인지는 이 탐구의 개방 지점이다.