2026년 9월 30일 · 용티IYPT 2011 · 문제 10 · 역학·진동, 유체역학

공기를 빼면 언덕도 사라진다 — 패러데이 더미

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 2011 문제 10 ‘Faraday heaping’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2011 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(마찰력·중력)·「운동과 에너지」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」·과학탐구실험1(과학 탐구의 과정과 절차) / 물리학 「힘과 에너지」(일과 역학적 에너지)·진로선택 「역학과 에너지」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

입상체(granular material), 무차원 가속도 Γ = Aω²/g, 진동 유동화, 간극 기체(공기), 압력 기울기, 등압선, 공기 항력, 항력–중력 비, 패러데이 순환, 표면 사태, 안식각, 조대화(coarsening)

원리 살펴보기

흔들면 평평해질 줄 알았는데 왜 언덕이 돋을까? 답의 절반은 흔드는 세기에, 나머지 절반은 알갱이 사이에 낀 공기에 있다. 용기의 최대 가속도를 중력 가속도로 나눈 무차원 가속도 Γ = Aω²/g가 1을 넘으면(A는 진폭, ω는 각진동수) 층은 매 주기 바닥에서 떨어져 자유 비행을 한다. 이때 벌어지는 층 아래 틈이 저압을 만들어, 공기가 층을 뚫고 빨려 든다. 진동수가 낮을수록 같은 Γ에 필요한 진폭이 제곱으로 커져, 1 Hz에서 Γ = 1이면 진폭이 25 cm나 된다.

층 위쪽은 압력이 거의 일정해 등압선이 표면을 따라 눕고, 공기는 그에 수직으로 — 곧 비스듬히 안쪽·아래로 — 층을 지나며 알갱이를 끌고 간다. 내려올 때는 반대 힘이 걸리지만, 착지 순간 층이 다져져 알갱이가 잠기는 바람에 그 되돌림이 실현되지 않는다 — 한 주기마다 안쪽 이동만 남는다(모사에서 0.43 mm). 표면에서는 거꾸로 사태가 흘러내려, 두 흐름이 맞물리는 각도에서 언덕이 멈춘다. 공기를 빼면 이 모든 것이 사라진다 — 모사에서 항력을 끄면 더미가 아예 생기지 않고, 이미 선 더미도 15주기 만에 무너진다. 1831년 패러데이가 지목한 공기의 몫이 확인된 셈이다.

알갱이와 공기의 겨룸은 공장에서 더 크게 일한다. 제약·식품의 분체 이송(진동 컨베이어에서 가루가 한쪽으로 쏠린다), 금속 적층 제조의 분말 도포(한 층씩 고르게 펴야 하는데 간극 공기가 무늬를 남긴다), 유동층 반응기(기체가 입자층을 지날 때의 압력 기울기를 같은 식으로 다룬다), 사막의 모래 수송(항력과 중력의 비가 모래 날림을 다루는 바그놀드 수와 짝이다)이 그렇다.

실험 설계

준비물

12 V 감속 직류 모터(600 rpm 안팎)와 PWM 속도 조절기, 편심 10 mm 크랭크, 수직 안내(환봉과 리니어 베어링 또는 서랍 레일), 클램프, 아크릴판 두 장에 8 mm 스페이서를 끼운 납작한 셀(가로 25 cm·높이 12 cm, 위는 열어 둔다), 세몰리나·고운 모래·겨자씨, 색 입힌 표시 알갱이, 캘리퍼스, 240 fps 스마트폰과 삼각대, 진공 전용 보관용기와 손펌프, 보안경, 방진 마스크, 받침 쟁반.

변인

독립변인은 무차원 가속도 Γ이다 — 편심을 10 mm로 고정하고 진동수만 바꿔 Γ = A(2πf)²/g로 계산한다. 종속변인은 더미의 경사각, 일정 시간 뒤 남은 더미의 개수, 첫 더미가 돋기까지 걸린 시간이다. 통제변인은 알갱이의 종류와 지름, 층 두께 2 cm, 셀의 폭과 안쪽 간격, 편심 진폭, 실온과 습도, 촬영 조건이다.

실험 순서

  1. 아크릴판 두 장 사이에 8 mm 스페이서를 끼워 납작한 셀을 만들고 세몰리나를 2 cm 깊이로 채운다. 셀을 수직 안내 위에 고정해 편심 10 mm 크랭크로 모터와 잇고, 전체를 작업대에 죈다.

  2. 편심을 캘리퍼스로 재고 240 fps 영상에서 한 주기의 프레임 수를 세어 진동수를 확인해 Γ를 계산한다. 편심 10 mm면 5 Hz에서 Γ ≈ 1.0, 6.25 Hz에서 1.6, 10 Hz에서 4.0이다.

  3. 층을 자로 평평하게 고른 뒤 3 Hz에서 10 Hz까지 0.5 Hz씩 올리며 조건마다 3분씩 촬영해, 더미가 처음 돋는 Γ와 다시 평평해지는 Γ를 3회씩 기록한다.

  4. Γ = 1.6(6.25 Hz)에 고정해 2분간 촬영하며 30초 간격으로 더미의 개수와 경사각을 센다. 색 입힌 알갱이를 심어 두면 표면은 바깥으로, 속은 안쪽으로 되도는 순환도 보인다.

  5. 알갱이를 고운 모래(0.5 mm 안팎)와 겨자씨(2 mm 안팎)로 바꿔 ③④를 되풀이한다. 지름은 스무 알 넘게 재어 평균 낸다 — 공기의 몫을 가늠하는 핵심 대조다. 편심은 세 알갱이 모두 10 mm로 묶는다 — 같은 Γ라도 진폭이 커지면 더미가 훨씬 빨리 쌓인다는 것이 문헌의 결과라, 겨자씨만 진폭을 키우면 크기 탓인지 진폭 탓인지 갈라낼 수 없다. 겨자씨에서 더미가 서지 않으면 그것을 결과로 적고, 진폭은 추가 실험 ②에서 따로 바꾼다.

  6. 같은 알갱이를 진공 전용 보관용기에 얕게 담아 받침대에 고정하고, 공기를 빼기 전과 손펌프로 뺀 뒤에 같은 Γ로 흔들어 더미 높이를 견준다. 손펌프의 감압은 문헌의 거의 진공에 못 미치니 사라짐이 아니라 낮아지는 경향을 본다.

안전 안내

⚠ 안전

회전하는 크랭크와 왕복 축은 끼임 위험이 크다. 구동부를 덮개로 감싸고 운전 중에는 셀과 구동부에 손대지 않으며, 긴 머리와 소매를 묶는다. 전원은 12 V 이하 저전압 직류만 쓴다. 진동수는 어떤 경우에도 10 Hz(편심 10 mm에서 Γ ≈ 4)를 넘기지 않고, 편심을 바꾸면 같은 진동수에서도 Γ가 커지므로 상한을 다시 계산해 Γ가 4를 넘지 않게 한다. 장치는 작업대에 죄어 받침 쟁반 위에 올리고, 튀는 알갱이에 보안경, 고운 가루에 방진 마스크를 쓰고 환기한다. 감압은 진공 전용 용기에만 한다 — 아크릴 셀이나 유리병은 함몰·파열 위험이 있다. 흘린 알갱이는 미끄러우니 바로 닦는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

더 세게 흔들수록 언덕은 더 높이 솟을까? 그리고 알갱이를 굵은 겨자씨로 바꾸면 언덕은 더 잘 생길까, 덜 생길까?

자료 정리

가로축 Γ, 세로축 경사각과 첫 더미가 돋기까지 걸린 시간으로 그래프를 그린다. 조대화는 시간과 더미 개수를 두 축 로그로 찍어 후반 기울기가 −1/2에 가까운지 본다. 알갱이를 바꾼 실험은 가로축을 지름 d로 잡되, 항력–중력 비가 d²에 반비례하니 1/d²로도 그려 견준다. 다만 지름을 바꾸면 그 비뿐 아니라 자유 비행 중 층이 성겨지는 정도까지 함께 달라지므로 1/d²만으로 곡선이 겹치지 않을 수 있다. (수치는 실제 측정으로 채운다.)

결과의 의미

Γ가 1을 넘는 곳에서 더미가 돋기 시작해 Γ ≈ 1.9 언저리에서 평평해지는 창이 예상된다. 더 세게 흔들수록 더 잘 쌓이는 것이 아니라는 점이 이 문제의 첫 반전이다 — 안쪽으로 미는 공기의 몫도 세기와 함께 커지지만, 착지 충격이 부르는 바깥쪽 사태가 더 빨리 커져 균형이 깨진다. 두 번째 반전은 알갱이를 바꿀 때 온다. 굵은 겨자씨에서 언덕이 약해지거나 사라진다면 실패가 아니라 공기 가설이 예측한 결과다 — 항력과 중력의 비가 지름의 제곱에 반비례하니, 지름을 네 배로 키우면 공기의 몫은 십육분의 일이 된다. 거꾸로 굵은 씨앗에서도 언덕이 선다면 벽면 마찰이 만드는 대류 같은 다른 기제를 의심해야 한다.

더 탐구하기

  1. 셀을 5°에서 15°까지 기울인 채 같은 Γ로 흔들어 보자 — 기울인 용기에서는 더미가 통째로 한쪽으로 옮겨 간다는 보고가 있다.

  2. 같은 Γ를 다른 진폭으로 만들어 보자. 편심을 22 mm로 바꾸면 4.2 Hz에서 Γ가 1.6 안팎이 된다 — 문헌은 같은 Γ라도 진폭이 큰 쪽에서 더미가 빨리 생긴다고 보고했다(22 mm에서 3초, 2.5 mm에서 20초). 편심을 키우면 진동수를 5 Hz 아래로 둔다.

  3. 납작한 셀 대신 넓고 얕은 쟁반에 알갱이를 펴고 위에서 찍어, 3차원에서는 더미가 줄무늬로 서는지 섬처럼 흩어지는지 보자.

연결 주제

IYPT 1996 문제 4 ‘가루더미’ — 같은 패러데이 더미이되 그쪽은 마이크로미터급 분말을 100 Hz로 흔들어 원뿔의 붕괴와 재출현을 묻고, 이 편은 밀리미터급 구를 1~10 Hz로 흔들어 평평하던 층이 스스로 갈라졌다 합쳐지는 과정을 묻는다. IYPT 2004 문제 15 ‘브라질너트 효과’ — 같은 진동 침대의 대류가 엔진이되, 그쪽은 세로 방향의 크기 분리를, 이 편은 표면이 가로로 갈라지는 모양을 묻는다.

참고문헌

[학생] 위키백과 “Granular material” / 영상 검색어 “Faraday heaping”. [심화] H. J. van Gerner, M. A. van der Hoef, D. van der Meer, K. van der Weele, Phys. Rev. E 76, 051305 (2007), doi:10.1103/PhysRevE.76.051305 — 0.5 mm 유리구슬을 6.25 Hz·10 mm(Γ = 1.6)로 흔든 모사. 층이 떠오를 때의 저압과 표면에 나란한 등압선이 공기를 안쪽·아래로 흐르게 하고, 착지 다짐이 되돌림을 막아 한 주기 0.43 mm가 남는다. 항력을 끄면 더미가 전혀 생기지 않고 이미 선 더미도 15주기 만에 사라진다. Γ ≈ 1.9 위에서는 사태가 이겨 더미가 무너지며, 같은 Γ라도 진폭이 큰 쪽이 훨씬 빨리 쌓인다. 항력과 중력의 비는 지름의 제곱에 반비례한다 · H. J. van Gerner 외, Phys. Rev. Lett. 103, 028001 (2009), doi:10.1103/PhysRevLett.103.028001 — 실험에서 평평한 층이 한 더미가 되기까지 약 2분, 더미는 서로 다가가 합쳐지며 개수는 후반에 대략 t^(−1/2)로 준다 · H. K. Pak, E. Van Doorn, R. P. Behringer, Phys. Rev. Lett. 74, 4643–4646 (1995), doi:10.1103/PhysRevLett.74.4643 — 주위 기체가 더미와 대류를 좌우함을 실험으로 보임 · M. Faraday, Phil. Trans. R. Soc. Lond. 121, 299–340 (1831), doi:10.1098/rstl.1831.0018 — 공기의 역할을 처음 지목 · G. Miao 외, Phys. Rev. E 74, 021304 (2006), doi:10.1103/PhysRevE.74.021304 — 기울인 용기에서 더미가 이동. ※ 위 문헌이 다룬 알갱이는 0.15~0.5 mm이고 패러데이가 쓴 가루는 그보다도 훨씬 곱다. 공기가 지배하는 경계를 문헌은 지름 1 mm 안팎으로 잡으므로(Behringer 외, Granular Matter 4, 9 (2002)), 원문이 지목한 겨자씨(2.04 mm — M. D. Mantle 외, Powder Technol. 179, 164 (2008))는 그 선 바깥이다. 그 크기에서는 벽면 마찰이 부르는 대류가 더미를 만든다는 설명도 있어, 이 탐구의 개방 지점은 “공기 영역인가”가 아니라 1~10 Hz의 겨자씨에서 두 기제 중 어느 쪽이 이기는가이다.

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