크기가 아니라 배율이 한계다 — 도미노 증폭기

탐구 주제

IYPT 2011 문제 8 ‘Domino amplifier’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2011 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」·「운동과 에너지」(역학적 에너지의 전환과 보존) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학 시스템) · 과학탐구실험1(과학 탐구의 과정과 절차) / 물리학 「힘과 에너지」(일과 에너지, 충돌) · 진로선택 역학과 에너지 「시공간과 운동」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

중력 위치 에너지, 무게중심, 전복 문턱, 역학적 에너지 전환, 완전 비탄성 충돌, 에너지 전달률, 증폭 배율, 종횡비, 간격비, 축척 법칙, 임계 조건, 모멘트 팔

원리 살펴보기

손끝으로 살짝 민 힘이 어떻게 몇 단계 만에 큰 판까지 넘어뜨릴까? 세워 둔 판은 이미 에너지를 품고 있다. 다만 꺼내 쓰려면 무게중심을 앞모서리 위로 들어 올리는 작은 언덕 하나를 넘겨야 한다. 표준 도미노 비율(두께가 높이의 0.15배)로 따지면 이 문턱은 그 판이 넘어지며 내놓는 에너지의 76분의 1밖에 되지 않는다. 그래서 앞 판은 방아쇠를 당길 뿐, 파동을 먹여 살리는 연료는 자리마다 선 판 자신이다. 남는 몫이 크니 다음 판을 조금 키워도 된다.

얼마나 키울 수 있을까. 크기를 r배 키우면 질량은 r³배, 들어 올릴 높이는 r배여서 연료도 문턱도 똑같이 r⁴배로 커진다. 1.5배씩 키우면 한 단계마다 에너지가 다섯 배씩 뛰어 열두 단계면 3억 배가 되지만, 여유가 76배이니 r⁴ ≤ 76, 곧 3배 가까운 값이 아무리 잘 전달해도 넘을 수 없는 가장 헐거운 상한이다. 실제로는 판들이 서로 기대어 함께 넘어지는 완전 비탄성 충돌이 에너지의 대부분을 삼켜 상한이 더 내려간다. 미끄러지지 않는 바닥을 가정한 이상적 계산은 꽉 찬 판에 1.9에 못 미치는 값, 속 빈 판에 2.2 언저리를 준다. 게다가 앞 판은 다음 판에 닿아야 하니 간격이 제 높이를 넘으면 전달이 끊기고, 겨우 닿는 간격에서는 아래쪽을 때려 모멘트 팔이 짧아지니 판은 넘어지는 대신 밀려난다. 흔히 도는 “1.5배”는 이 상한이 아니라 Whitehead가 시연에 쓴 배율이다.

한 단계의 배율이 임계값을 넘느냐로 전체가 갈리는 얼개는 여기저기서 되풀이된다. 원자로의 연쇄 반응(한 세대에 중성자가 몇 배로 느는지가 임계를 정한다), 집적회로의 버퍼 사슬(작은 게이트가 큰 부하를 몰려면 단마다 서너 배씩 키운 단을 거친다), 구조물의 연쇄 붕괴 방지 설계(하나가 무너져도 이웃으로 번지지 않게 배율을 1 아래로 눌러 둔다), 신경 축삭의 갈림목(굵기가 갑자기 커지는 분기에서 활동 전위가 전달에 실패하기도 한다)이 그렇다.

실험 설계

준비물

판지(1~3 mm)와 폼보드(5 mm), 목공풀, 커터와 커팅 매트, 자와 캘리퍼스, 전자저울 두 대(0.01 g 단위 소형과 1 g 단위 주방용), 큰 판의 속을 비울 빈 종이 상자, 사포나 고무 매트, 간격을 맞출 종이 게이지, 240 fps 슬로모션 스마트폰과 삼각대, 모눈 배경지.

변인

독립변인은 한 단계마다 판을 몇 배로 키우는지를 나타내는 증폭 배율 r이다. 종속변인은 연쇄가 끊기지 않고 이어진 단의 수이며, 배율을 바꿔 가며 얻은 이 값들로부터 임계 배율을 이끌어 낸다. 통제변인은 판의 종횡비(두께÷높이 0.15, 너비÷높이 0.5), 재질과 밀도, 앞 판 높이로 나눈 간격비, 바닥의 마찰, 첫 판을 넘어뜨리는 방식, 촬영 프레임률이다.

실험 순서

1. 판지와 폼보드를 겹쳐 붙여 두께가 높이의 0.15배·너비가 높이의 0.5배인 판을, 높이 2 cm에서 1.15배씩 커지도록 19장 만든다(가장 큰 것이 약 25 cm). 치수와 질량을 모두 재어 적고, 질량을 부피로 나눈 밀도도 함께 적는다(밀도는 통제하는 값이 아니라 재어서 기록하는 값이다) — 가장 작은 판은 1 g이 안 되니 0.01 g 저울로, 큰 판은 주방용 저울로 잰다. 작은 판은 판지가, 큰 판은 폼보드가 대부분이라 밀도가 저절로 내려가기 쉽다.

2. 이 한 벌에서 한 장씩 건너뛰며 세우면 배율 1.32, 두 장씩이면 1.52, 세 장씩이면 1.75인 줄이 된다 — 새로 만들지 않고 배율만 바꾸니 종횡비와 재질이 저절로 통제된다.

3. 사포나 고무 매트 위에 줄을 세운다 — 이론이 미끄러짐을 배제하므로 미끄럼을 먼저 없애야 비교가 된다. 간격은 쌍마다 앞 판 높이의 0.5배로 맞추고 종이 게이지로 재현한다.

4. 첫 판을 늘 같은 방식으로(자를 대고 살짝 밀어) 넘어뜨리며 옆에서 240 fps로 촬영한다. 배율 1.15·1.32·1.52·1.75를 차례로 걸어 몇 번째 판에서 멈추는지 조건마다 3회 기록한다.

5. 실패 장면은 영상을 되돌려 밀렸다 제자리로 돌아온 것(에너지 부족)인지, 바닥에서 밀려난 것(미끄러짐)인지, 앞 판이 못 닿은 것(간격 초과)인지 갈라 적는다.

6. 임계 배율보다 한 단계 낮은 배율에서 간격비를 0.3·0.5·0.7·0.9로 바꿔 되풀이하고, 각 판이 기울기 시작한 프레임을 세어 단계별 시간을 구한다.

안전 안내

가장 큰 판은 어떤 경우에도 높이 30 cm·질량 1 kg를 넘기지 않는다 — 사람 키만 한 판이나 벽돌·유리·도자기는 쓰지 않는다(판지·폼보드로 만들면 가장 큰 판도 1 kg에 한참 못 미친다. 속을 비운 상자는 밀도가 달라져 통제가 깨지므로 추가 실험 ①에서만 쓴다). 판이 넘어지는 길목에 발과 손을 두지 말고 촬영은 옆에서 하며, 줄은 통로·계단에서 떨어진 평평한 바닥에 놓는다. 커터는 커팅 매트 위에서 몸 바깥쪽으로 밀어 쓰고 자른 모서리에 베이지 않게 한다. 촬영이 끝날 때마다 흩어진 판을 치운다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

한 단계에 판을 몇 배까지 키워도 연쇄가 이어질까? 그 한계를 정하는 것은 넘어뜨릴 에너지가 모자라서일까, 다음 판을 제대로 때리지 못해서일까?

자료 정리

배율별로 (r, 이어진 단의 수, 쓸 수 있었던 최대 단의 수, 실패 유형)을 표로 모은다. 건너뛰기로 배율을 키우면 한 벌에서 쓸 수 있는 판이 19·10·7·5장으로 줄어들므로, 단의 수를 그대로 견주면 실패가 없어도 그래프가 내려간다 — 세로축은 성공·실패 또는 ‘쓸 수 있었던 단을 다 넘겼는가’로 잡아야 문턱이 드러난다. 간격 실험은 가로축 간격비·세로축 배율의 평면에 성공을 채운 점, 실패를 빈 점으로 찍어 경계를 그린다. 단계별 시간은 판 번호를 가로축, 시간을 로그 눈금에 찍어 한 단계마다 √r배로 길어지는지 본다(한 칸은 r배씩 늘므로 파동 자체는 갈수록 빨라진다). ①의 밀도도 판 높이에 대해 함께 그린다 — 밀도가 크기를 따라 내려갔다면 이 벌은 속이 꽉 찬 판이 아니라 속이 빈 판 쪽으로 기운 것이니, 견줄 이상값도 1.9가 아니라 2.2 쪽으로 옮겨 잡는다. (수치는 실제 측정으로 채운다.)

결과의 의미

배율을 키울수록 연쇄가 닿는 단이 짧아지다 어느 값에서 뚝 끊길 것으로 예상되며, 학교 재료라면 그 임계 배율이 문헌의 이상값(꽉 찬 판 1.9 미만)보다 낮게 나올 가능성이 크다. 중요한 것은 숫자 하나가 아니라 무엇이 한계를 정했는지다. 밀렸다 제자리로 돌아왔다면 에너지가, 바닥에서 밀려났다면 마찰이, 앞 판이 허공을 짚었다면 간격이 문제이며 대책도 서로 다르다. 답이 “얼마나 크게 만들 수 있나”가 아니라 “한 단계에 몇 배씩 키울 수 있나”라는 점이 이 문제의 핵심이다. 연료도 문턱도 크기의 네제곱으로 나란히 자라 이상적인 계산에는 절대 크기의 상한이 없다. 큰 판에 한계가 생기는 까닭은 재료와 바닥이 무게를 버티지 못하고, 속을 비우면 질량이 겉넓이를 따라가 전달 조건이 달라지기 때문이다.

더 탐구하기

1. 겉모양이 같되 속을 채운 판과 속을 비운 상자로 임계 배율을 견주어 보자 — 질량이 겉넓이를 따라가는 속 빈 판이 더 큰 배율을 견딘다는 계산이 있다(30 cm·1 kg 한도는 지킨다).

2. 두께 비를 0.15에서 0.075로 절반으로 줄인 벌을 더 만들어, 에너지 여유가 네 배쯤 늘어 허용 배율이 √2배 가까이 커지는지 확인해 보자.

3. 높이를 곱셈이 아니라 덧셈으로(매 단 4 mm씩) 키운 줄을 만들어, 뒤로 갈수록 배율이 1에 가까워지는 이 배열이 왜 멀리 가는지 설명해 보자.

4. 첫 판을 세게 밀어 초기 에너지를 크게 준 뒤 임계 배율이 올라가는지, 몇 단 뒤에 그 효과가 사라지는지 세어 보자 — 계가 초기 조건을 잊는 데 몇 단이 걸리는지가 숨은 질문이다.

연결 주제

IYPT 1993 문제 8 ‘도미노 파동’ — 크기가 일정한 줄에서 파동의 최대 속도를 재는 짝 문제다. 그쪽은 몇 단 뒤 속도가 일정해지지만, 이 줄에서는 한 단계의 시간이 √r배씩 늘고 한 칸은 r배씩 늘어 파동이 갈수록 빨라진다. 촬영·프레임 세기 기법도 그대로다. IYPT 2026 문제 15 ‘자석 뉴턴 진자’ — 운동량을 줄줄이 넘기는 같은 계열이되, 손실이 거의 없는 쪽과 대부분 잃는 쪽으로 갈린다.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘Domino toppling’ / 영상 검색어 “domino chain reaction amplification” / [심화] L. A. Whitehead, “Domino ‘‘chain reaction’’,” American Journal of Physics 51(2), 182 (1983), doi:10.1119/1.13456 — 배율 1.5로 커지는 줄로 작은 판이 훨씬 큰 판을 넘어뜨리는 시연. 널리 인용되는 “1.5배”의 출처이며 계산된 상한이 아니라 시연에 쓴 값이다 · J. M. J. van Leeuwen, “Domino Magnification,” arXiv:1301.0615 (2013) — 바닥에서는 미끄러지지 않되 판끼리는 마찰 없이 미끄러지고, 부딪친 뒤에는 서로 붙어 넘어진다고(완전 비탄성이 최대 손실원) 본 축척 불변 모형에서 최대 배율을 간격의 함수로 계산해, 간격을 최적으로 잡았을 때 꽉 찬 판은 1.9 미만, 속 빈 판은 2.2 언저리이며 최댓값은 앞 판이 겨우 닿는 간격에서 나온다고 보고. 학술지 게재본이 확인되지 않은 프리프린트다 · J. M. J. van Leeuwen, “The domino effect,” American Journal of Physics 78(7), 721–727 (2010), doi:10.1119/1.3406154 — 충돌과 마찰을 넣어 크기가 일정한 줄의 전파 속도를 계산한 모형 · IYPT 아카이브 학생 보고서(이란, 2011 문제 8, archive.iypt.org) — 동료 심사를 거치지 않은 대회 제출물. 1000 fps 촬영과 수치 모형으로 충돌마다 전달·잔류·손실을 나눠 한 예에서 전달률 약 17 %를 보고했고, 두께가 임계값을 넘으면 몇 단 만에 멈춘다고 밝혔다. 다만 두 판이 잠깐 떨어졌다 다시 닿는다고 관찰해 위 모형과 어긋난다. ※ Whitehead의 1.5를 어떤 간격·마찰에서 얻었는지는 공개돼 있지 않고, 학교 재료의 임계 배율과 실패 유형의 경계는 이 탐구의 개방 지점이다.