물이 뚜껑이 되는 순간 — 컵 드럼

탐구 주제

IYPT 2011 문제 7 ‘Cup drum’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2011 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「빛과 파동」(소리의 발생·진동수·반사) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」 · 과학탐구실험1(과학 탐구의 과정과 절차) / 진로선택 「역학과 에너지」(탄성파와 소리, 정상파·공명·고유 진동수, 매질의 경계와 반사) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

정상파, 기주 공명, 한쪽이 막힌 관(1/4파장), 양끝이 막힌 관(1/2파장), 끝단 보정, 음향 임피던스, 경계 조건, 판의 굽힘 진동, 고유 진동수, 부가 질량(질량 부하), 헬름홀츠 공명, 푸리에 변환(FFT)

원리 살펴보기

뒤집은 컵을 두드리면 사실 두 개의 소리가 한꺼번에 난다. 하나는 두드린 바닥판이 북 가죽처럼 떠는 굽힘 진동이고, 다른 하나는 컵 속 공기 기둥의 정상파다. 이 문제를 다룬 논문도 컵 드럼의 소리를 이 두 성분으로 나눠 분석했다. 컵은 위(바닥)가 막히고 아래(입)가 열린 관이라, 열린 끝에서는 압력이 풀리고 막힌 끝에서는 압력이 최대가 된다. 그래서 공기 기둥의 기본 진동은 1/4파장으로 잡히고 진동수는 대략 c/4L이 된다 (c는 음속, L은 컵 깊이).

이제 컵의 입을 수면에 댄다. 흔한 오해는 “물이 차올라 공기 기둥이 짧아진다”는 것이다. 그런데 갇힌 공기는 거의 눌리지 않는다 — 10 cm 잠겨도 대기압의 1 %가 더해질 뿐이라 기둥도 1 %쯤 짧아진다. 바뀌는 것은 길이가 아니라 경계다. 물의 음향 임피던스는 공기의 약 3,600배라, 공기 쪽에서 보면 수면은 부딪친 에너지의 99.9 %를 되돌려 보내는 딱딱한 벽이다. 열린 끝이 막힌 끝으로 바뀌니 관은 1/4파장에서 1/2파장 공명으로 갈아타고, 관 공명 봉우리는 한 옥타브 남짓 위로 뛴다. 반대로 컵이 젖고 잠길수록 벽과 바닥판은 물까지 함께 흔들어야 해서(질량 부하), 구조 진동 봉우리는 내려간다.

두 봉우리가 서로 반대쪽으로 갈라지니 “소리가 높아지나 낮아지나”는 애초에 잘못 던진 물음이다. 게다가 입이 막히면 갇힌 공기의 스프링과 입구 물의 관성이 맞물린 저역 진동(헬름홀츠 공명, 어림 30~45 Hz)까지 새로 돋는다. 이 원리는 초음파 진단과 비파괴 검사(임피던스가 크게 다르면 경계에서 거의 다 되튄다 — 젤을 바르는 이유), 수중 음향과 소나(잠긴 구조물은 부가 질량 탓에 공기 중보다 낮게 운다), 공기 방울 커튼(해상 공사 소음을 갇힌 공기의 공명으로 먹는다), 악기와 스피커 통 설계(통을 막느냐 여느냐가 낮은 음의 한계를 정한다)에 이어진다.

실험 설계

준비물

일회용 플라스틱 컵 여러 개(깊이·지름이 다른 것)와 종이컵, 깊이 25 cm 이상인 플라스틱 통이나 아크릴 수조, 상온의 물, 스탠드와 클램프(고무를 대어 문다), 스마트폰(48 kHz 녹음, 스펙트럼 앱), 실에 지우개를 매단 진자 타격기와 각도기, 자, 0.1 g 단위 저울, 점토, 온도계.

변인

독립변인은 컵 테두리(열린 끝)와 수면 사이의 연직 위치 h이다(수면 위를 +, 아래를 −로 잡는다). 종속변인은 스펙트럼에서 읽은 봉우리 진동수들과 상대 세기, 소리가 잦아드는 시간이다. 통제변인은 컵의 종류와 치수, 두드리는 지점과 세기(진자를 늘 20°에서 놓는다), 클램프로 무는 자리, 마이크와 컵의 거리, 물의 양과 온도, 실온(음속이 온도를 따라간다), 창 길이이다.

실험 순서

1. 컵의 깊이 L과 입 반지름 a, 바닥 두께를 재고 실온 T를 적는다. 음속을 c ≈ 331 + 0.6(T/°C) m/s로 잡아, 입이 열렸을 때의 c/4(L+0.6a)와 물이 막았을 때의 c/2L을 미리 계산해 둔다 — 실측과 맞댈 기준선이다. 다만 컵은 곧은 관이 아니라 입 쪽이 넓은 원뿔대라, 입이 열렸을 때의 실측은 이 기준선보다 10~20 % 높게 나오기 쉽다(막혔을 때는 거의 그대로다).

2. 컵 옆면을 고무를 대고 클램프로 물어(손으로 감싸 쥐지 않는다) 수면보다 10 cm 위에 두고, 스마트폰은 컵과 같은 지지대에 물려 수조 밖에서 컵 옆 10 cm를 늘 유지하도록(컵과 함께 오르내리도록) 고정한다 — 거리가 변하면 세기 비교가 무너진다. 진자 타격기를 20°에서 놓아 바닥 한가운데를 치고 48 kHz로 5회 녹음한다 — 물이 없는 기준값이다.

3. 컵을 1 cm씩 내리며 되풀이하되, 테두리가 수면에 닿는 자리(h = 0) 앞뒤 ±5 mm는 2 mm 간격으로 촘촘히 잡는다 — 소리가 가장 급하게 바뀌는 구간이다.

4. 잠긴 뒤에는 h = −1, −2, −5, −10 cm에서 되풀이하고, 깊이마다 컵 안 수면이 테두리보다 얼마나 올라왔는지 재어 갇힌 공기가 눌린 정도를 기록한다.

5. 봉우리에 이름표를 붙인다. 깊이만 다른 컵으로 되풀이하면 관 공명 봉우리만 자리를 옮기고, 바닥 한가운데에 점토 1 g을 붙이면 판 진동 봉우리만 내려간다.

6. 스펙트럼 창을 8,192점(48 kHz에서 약 170 ms, 분해능 약 5.9 Hz)으로 두고 다시 분석해 봉우리 자리가 창 길이에 흔들리지 않는지 본다. 소리가 수십 ms 만에 잦아들면 봉우리가 넓게 퍼지는데, 그 넓이가 곧 감쇠의 정보다.

안전 안내

유리컵과 유리 수조는 쓰지 않는다 — 물속에서 깨지면 위험하다(플라스틱·아크릴 통, 플라스틱·종이컵만 쓴다). 스마트폰과 충전기는 수조 밖 스탠드에 두어 물이 튀지 않게 하고, 젖은 손으로 전원 코드를 만지지 않는다(방수 주머니를 쓸 거면 고음이 깎이니 모든 조건에 똑같이 씌워 통제변인으로 묶는다). 뒤집힌 컵은 물속에서 떠오르려 하니(250 mL면 약 2.5 N) 클램프로 확실히 문다. 진자 타격기는 30°보다 크게 올리지 않는다. 물은 상온으로만 쓰고 데우지 않으며, 흘린 물은 곧바로 닦는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

컵의 입이 수면에 닿는 순간, 소리는 높아질까 낮아질까? 그리고 스펙트럼의 봉우리들은 모두 같은 쪽으로 움직일까?

자료 정리

가로축을 위치 h로 하고, ⑤에서 이름표를 붙인 봉우리 진동수들을 한 그래프에 그린다. ①에서 계산한 c/4(L+0.6a)와 c/2L을 가로 점선으로 얹으면 어느 봉우리가 관 공명인지 드러난다. h = 0 앞뒤의 촘촘한 점은 따로 확대해 변화가 계단처럼 뛰는지 완만한지 본다. 봉우리의 세기와 감쇠 시간도 같은 축에 얹는다. ④의 수위 상승은 보일 법칙의 어림값(깊이 10 cm당 약 1 %)과 맞대 본다. (수치는 실제 측정으로 채운다.)

결과의 의미

관 공명 봉우리는 입이 막히는 순간 위로 뛰고(끝단 보정이 사라지는 몫까지 더해 두 배보다 조금 크다), 컵이 깊이 잠길수록 판·벽의 구조 봉우리는 내려갈 것으로 예상된다. 두 봉우리가 서로 반대쪽으로 갈라진다는 것이 이 문제의 핵심이다. 그래서 “높아졌다/낮아졌다”는 한마디로는 답이 안 된다 — 귀는 가장 센 봉우리를 따라가므로, 관 공명이 위로 뛰어도 저역에 새 봉우리가 돋으면 전체 인상은 되레 낮게 들릴 수 있다. 깊이를 바꿔도 관 공명이 거의 제자리라면, 깊이가 하는 일은 공기 기둥을 짧게 만드는 것이 아니라 컵을 적셔 무겁게 만드는 것임을 확인한 셈이다.

더 탐구하기

1. 깊이는 같고 입 지름만 다른 컵으로 되풀이해 보자. 끝단 보정 0.6a는 입이 열렸을 때만 붙으므로, 지름을 키우면 물 위의 봉우리만 내려가고 물이 막았을 때의 봉우리는 제자리여야 한다.

2. 소금을 녹여 물의 밀도를 5 % 올려 보자(물 10 L에 소금 약 0.7 kg — 적지 않은 양이다). 부가 질량이 무거워져 구조 봉우리는 조금 더 내려가지만, 임피던스 차가 압도적이라 관 공명은 움직이지 않을 것으로 예상된다.

3. 입이 막힌 조건에서 100 Hz 아래를 살펴보자. 헬름홀츠 공명이 어림 30~45 Hz대(컵 크기에 따라)로 계산되고 젖은 판의 봉우리도 크게 내려앉아 이 대역에 겹칠 수 있는데, 스마트폰 마이크는 저역 감도가 떨어지니 기준 음원으로 저역 한계와 잡음 바닥부터 확인하고 판단한다. 물이 소리를 되돌려 보내는 바로 그 성질 때문에 잠긴 컵의 소리는 공기 중 마이크에 30 dB 가까이 약하게 닿는다는 점도 함께 감안한다.

4. 종이컵·두꺼운 플라스틱 컵으로 바꿔 벽의 뻣뻣함이 구조 봉우리를 얼마나 옮기는지 보고, 통제를 일부러 풀어 손으로 감싸 쥐었을 때와 클램프로 물었을 때의 여운을 물 밖에서 재어 보자.

연결 주제

IYPT 2025 문제 15 ‘우는 그릇’ — 두드린 그릇에 물의 질량 부하가 실려 진동수가 낮아지는 대목이 그대로 겹친다. 다만 그쪽은 그릇 안의 물이 벽을 적시고, 이 편은 컵 바깥의 물이 열린 입을 막아 경계 조건을 바꾸는 것이 주역이다. IYPT 2020 문제 3 ‘흔드는 소리 튜브’ — 관 공명·끝단 보정을 읽는 분석법은 같으나, 그쪽은 자려 발음이고 이 편은 두드림 한 번의 과도 응답이다.

참고문헌

[학생] Joe Wolfe(UNSW) “Flutes vs clarinets: open vs closed pipes”(phys.unsw.edu.au/jw/flutes.v.clarinets.html) — 한쪽만 막힌 관은 c/4L, 양끝 조건이 같은 관은 c/2L이고 열린 끝 보정이 반지름의 약 0.6배임을 정리 / phyphox ‘Audio Spectrum’ 문서 — 8,192점 블록이 약 170 ms이며 분해능은 녹음 길이가 정한다(절차 ⑥의 근거) / 영상 검색어 “resonance tube water level”. [심화] Kun ho Kim, “Sound analysis of a cup drum,” European Journal of Physics 33(6), S25–S43, 2012, DOI 10.1088/0143-0807/33/6/S25 — 이 문제를 정면으로 다룬 동료 심사 논문. 초록에 따르면 두드림 소리를 정상파와 판 진동 두 성분으로 나눠 대부분의 경우 진동수를 예측했고, 컵이 수면에 아주 가까울 때는 정성적 설명만 제시했으며 소리 크기의 거리 경향도 다뤘다(유료 논문이라 이 원고는 초록까지만 확인했다) · A. P. French, “In vino veritas: A study of wineglass acoustics,” American Journal of Physics 51(8), 688–694, 1983, DOI 10.1119/1.13147 — 함께 흔들리는 액체의 질량 부하로 진동수가 낮아짐. ※ 봉우리별 방향(관 공명 상승·구조 진동 하강)은 경계 조건과 질량 부하에서 나오는 예상이다. 귀에 들리는 음 높이가 실제로 어느 쪽으로 움직이는지, 테두리가 수면에 닿는 바로 그 자리에서 무슨 일이 벌어지는지는 위 논문마저 정성적 설명에 그친 이 탐구의 개방 지점이다.