컵이 흘리는 땀은 어디서 왔을까 — 컵에 맺힌 물방울

탐구 주제

IYPT 2007 문제 8 ‘Condensation’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2007 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「물질의 상태 변화」·「날씨와 기후변화」(포화 수증기량·상대 습도·이슬점) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(지구 시스템·물의 순환) · 과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」(변인 통제) / 진로선택 「역학과 에너지」(열과 에너지) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

포화 수증기압, 상대 습도, 이슬점, 과냉각도, 응결, 불균일 핵생성, 젖음성, 접촉각, 적하 응축과 막 응축, 병합(coalescence), 숨결 무늬(breath figures), 자기유사 성장, 피복률, 모세관 길이

원리 살펴보기

찬물을 부은 컵의 바깥면이 젖는데, 그 물은 어디서 새어 나온 것일까? 답은 컵 안이 아니라 둘레의 공기다. 공기가 품는 수증기에는 온도마다 한계가 있고 그 한계는 온도가 내려갈수록 빠르게 줄어드는데, 지금 품은 만큼이 딱 한계가 되는 온도가 이슬점이다. 바깥면이 그 이슬점보다 차가워지면, 유리에 닿아 식은 공기는 초과분을 물로 내려놓는다. 컵이 차가울수록, 공기가 습해 이슬점이 높을수록 응결은 빨라진다 — 재야 할 것은 물이 아니라 바깥면의 온도다. 컵 속 물의 온도와 바깥면의 온도는 같지 않고, 같은 컵에서도 물에 잠긴 아래쪽과 공기에 닿은 위쪽이 서로 다르다.

순수한 수증기라면 방울이 저 혼자 생기기 어렵다 — 20 ℃에서 포화된 수증기는 0 ℃ 부근까지 내려가야 응결한다. 유리 표면이 그 문턱을 낮추므로(불균일 핵생성) 이슬은 훨씬 이른 온도에 맺히고, 문턱은 접촉각이 정한다 — 아무것도 없는 공기 속에서는 물 분자가 우연히 크게 뭉쳐야 방울이 살아남지만, 표면에 기대면 훨씬 작은 뭉치로도 버틸 수 있기 때문이다. 방울은 자라다 이웃과 닿으면 합쳐지고, 합쳐진 방울은 위로 부풀며 바닥 넓이를 오히려 내놓아 그 빈자리에 새 방울이 돋는다. 두 방울이 하나가 되면 부피는 그대로여도 바닥에 닿는 넓이는 둘이 따로 덮던 넓이보다 작아지기 때문이다. 「성장 → 병합 → 빈자리 → 새 방울」이 되풀이되는 무늬가 숨결 무늬이고, 크기와 개수는 이 되먹임이 정한다. 그래서 표면이 덮인 비율은 한없이 커지지 않고 어떤 값 언저리를 오간다.

같은 곡선을 여러 분야가 읽는다. 결로 관리는 벽·창의 표면 온도를 실내 이슬점 위로 올려 곰팡이를 막고, 김서림 방지 코팅은 접촉각을 낮춰 방울 대신 투명한 막을 만든다. 산업용 응축기는 열을 잘 옮기는 적하 응축을 노리며, 이슬 수확·대기 수분 포집은 밤사이 식은 판의 물방울을 식수로 모은다.

실험 설계

준비물

같은 규격의 유리컵 여러 개, 얼음물부터 실온 물까지 만들 얼음과 물, 온습도계, 표면 온도계(접촉식 또는 검은 무광 테이프와 적외선), 스마트폰과 클립형 매크로 렌즈, 스마트폰 삼각대, 컵 거치대, 1 mm 눈금자, 스톱워치, 중성세제, 양초와 마른 헝겊, PTFE 테이프, 측면 조명, 방울의 지름과 개수를 세는 이미지 분석 프로그램.

변인

독립변인은 응결이 시작된 뒤 흐른 시간이고, 둘째 독립변인은 과냉각도(이슬점 − 바깥면 온도)와 접촉각이다. 종속변인은 정해진 넓이 안 방울의 평균 지름·개수 밀도와 그로부터 구한 피복률이다. 통제변인은 실내 온도와 상대 습도, 컵의 규격, 촬영 지점의 높이·배율·조명, 공기 흐름이다.

실험 순서

1. 실내 온도와 상대 습도로 이슬점을 구하고, 컵 바깥면에 온도계를 붙여 표면 온도를 잰다 — 응결을 정하는 것은 물이 아니라 바깥면 온도다.

2. 컵을 중성세제로 씻어 말린 뒤 옆면 한 지점을 촬영 기준틀로 삼고, 화면에 1 mm 눈금자를 넣어 배율을 정한다 — 그 지점의 높이와 배율은 끝까지 바꾸지 않는다.

3. 얼음물을 붓는 순간을 t = 0으로 삼아 그 지점을 30 s, 60 s, 120 s, 240 s, 480 s처럼 간격을 배로 늘려 가며 촬영한다 — 촬영 시각마다 바깥면 온도도 함께 적고, 기울기를 읽으려면 시간 범위가 넉넉해야 한다.

4. 사진마다 정해진 넓이 안의 방울 개수와 지름을 재어 평균 지름·개수 밀도·피복률을 구한다(3회 반복). 화면에서 지름이 다섯 화소에 못 미치는 방울은 분해능 아래이므로 세지 않고, 그 기준을 기록에 남긴다.

5. 씻은 유리와, 양초 왁스를 문질러 발라 접촉각을 키운 유리(또는 PTFE 테이프를 감은 면)로 ②~④를 되풀이한다(접촉각은 옆에서 찍은 사진으로 어림). 기름은 물 위로 퍼져 방울을 덮어 버리므로 이 비교에는 쓰지 않는다.

6. 얼음물부터 실온 물까지의 범위에서 물 온도를 바꿔 바깥면 온도를 여러 값으로 만들고, 이슬점보다 높은 표면에는 방울이 맺히지 않음을 확인한다(바깥면 온도는 조건마다 다시 잰다).

안전 안내

유리컵이 깨져 베이지 않도록 조심하고 뜨거운 물은 쓰지 않는다. 바닥의 물기는 곧바로 닦아 미끄러짐을 막고, 스마트폰과 온습도계는 물기에서 멀리 둔다. 왁스를 바른 컵은 미끄러우니 두 손으로 잡고, 양초 왁스는 문질러 바르기만 하고 불을 붙이지 않으며, 실험에 쓴 컵은 음료용으로 쓰지 않는다. 발수 스프레이는 흡입 위험이 있어 실내에 뿌리지 말고 환기되는 바깥에서 교사 감독 아래 쓴다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

컵을 더 차갑게 하면 방울은 더 커질까, 아니면 더 잘아지고 개수만 늘어날까? 시간이 두 배 지나면 평균 지름도 두 배가 될까?

자료 정리

시각별 평균 지름을 로그–로그 축에 찍어 직선 구간의 기울기에서 성장 지수를 읽고, 개수 밀도도 같은 축에 겹쳐 본다. 피복률은 시간에 대해 그려 일정한 값으로 수렴하는지 확인한다. 지름 분포는 가로축을 「지름 ÷ 그 시각의 평균 지름」으로 정규화해 여러 시각을 겹쳐 그린다 — 한 곡선으로 포개지면 자기유사하다는 뜻이다. 3회 반복한 값은 한 그래프에 함께 찍는다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

초기에는 방울들이 홀로 자라 평균 지름이 시간의 3분의 1제곱에 가깝게 늘고, 피복률이 대략 0.3을 넘으면 병합이 지배해 기울기가 1에 가깝게 꺾이며 피복률이 일정해질 것으로 예상된다. 문헌값은 접촉각 90°인 반구 방울에서 약 55 %이며, 접촉각이 작을수록 커진다 — 잘 씻은 유리는 방울이 촘촘하고 극단에서는 막 응축으로 넘어가는 반면, 왁스를 바른 유리에서는 굵고 성기게 맺힌다. 다만 문질러 바른 층은 접촉각만 아니라 거칠기·핵생성 자리도 함께 바꿀 수 있으니, 차이를 접촉각 하나에만 돌리지 말자. 피복률이 일정하다면 개수 밀도는 평균 지름의 제곱에 반비례해야 하니, 그 관계가 좋은 검산점이다. 다만 빈자리에 새 방울이 계속 돋아 실제 개수는 그보다 천천히 줄고, 지름이 몇 mm(상온 물의 모세관 길이 약 2.5~2.7 mm)에 이르면 방울이 흘러내려 — 연직인 컵 옆면에서는 그보다 작은 지름에서 이미 흘러내릴 수 있다 — 무늬가 다시 시작된다.

더 탐구하기

1. 바람의 속도를 바꿔, 습한 공기가 더 오는 효과와 바깥면이 데워지는 효과 중 어느 쪽이 이기는지 보자.

2. 양초 왁스나 발수 스프레이로 접촉각을 더 키워, 피복률이 더 낮아지는지 살펴보자.

3. 방울이 흘러내리기 시작하는 지름을 표면마다 재어 물의 모세관 길이(약 2.5~2.7 mm)와 견주어 보자.

4. 컵 옆면의 위쪽과 아래쪽에서 같은 시각의 무늬를 각각 재어, 벽면의 위아래 온도 차이가 성장 지수와 피복률에 나타나는지 살펴보자.

연결 주제

IYPT 1999 문제 9 「공기 건조기」 — 표면을 이슬점 아래로 내려 공기에서 물을 얻는 같은 원리여서 이슬점 계산과 표면 온도 측정법을 공유한다. IYPT 2003 문제 2 「유리창의 빗방울」 — 접촉각·병합을 다뤄 측정법이 그대로 이어진다.

참고문헌

[학생] OpenStax College Physics 2e 13.6(포화 수증기 밀도표·이슬점) / 검색어 “dropwise condensation” / [심화] D. Beysens, “Dew nucleation and growth,” Comptes Rendus Physique 7(9–10), 1082–1100, 2006, DOI 10.1016/j.crhy.2006.10.020 (이 원고의 뼈대 — 지름이 t^1/3로 늘다 피복률 0.3부터 병합 지배로 지수 1, 반구 방울 피복률 약 55 %, 접촉각 근사 1−0.005θ, 모세관 길이 약 2.5 mm) · R. N. Leach 외, “Dropwise condensation: Experiments and simulations of nucleation and growth of water drops in a cooling system,” Langmuir 22(21), 8864–8872, 2006, DOI 10.1021/la061901+ (접촉각 60°·100° 실측 — 피복률 75~80 %·약 60 %로 접촉각이 클수록 낮았고, 핵생성 밀도 차이는 유의하지 않았다) · J. Blaschke 외, “Breath Figures: Nucleation, Growth, Coalescence, and the Size Distribution of Droplets,” Phys. Rev. Lett. 109(6), 068701, 2012, DOI 10.1103/PhysRevLett.109.068701 (크기 분포 스케일링엔 성장 기제 명시 필요). ※ 위 값은 온도·습도가 일정한 실험실 조건의 것이다. 바깥면 온도가 오르고 벽면 위아래 온도가 다른 유리컵에서도 같은 지수가 나오는지는 이 탐구의 개방 지점이다.