늘지 않는 실이 용수철이 된다 — 실팽이(실에 꿴 단추 회전자)

탐구 주제

IYPT 2007 문제 4 ‘Spring thread’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2007 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(탄성력)·「운동과 에너지」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」·과학탐구실험1 / 물리학 「힘과 에너지」·진로선택 「역학과 에너지」(돌림힘·관성 모멘트·비틀림 진동) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

탄성력, 훅 법칙, 복원력, 겉보기 탄성, 비틀림, 나선각, 유효 꼬임 반지름, 장력, 돌림힘, 관성 모멘트, 비틀림 진동, 겹꼬임(초나선)

원리 살펴보기

실은 늘어나지도 않는데, 왜 잡아당기면 용수철을 쥔 것처럼 튕기는 느낌이 들까? 답은 재질이 아니라 꼬임의 기하에 있다. 두 가닥이 서로 감기면 각 가닥은 직선이 아니라 나선을 그린다. 실 길이는 그대로인데 그 일부를 옆으로 감아 도는 데 쓰므로, 꼬일수록 양 끝 사이의 거리는 짧아진다 — 빗변은 그대로 두고 밑변만 줄어드는 직각삼각형과 같다. 실 한 가닥이 감아 도는 둘레를 그 삼각형의 높이로 놓으면, 빗변의 제곱은 밑변의 제곱과 높이의 제곱을 더한 값이 된다. 실이 늘어나지 않는 한 이 관계는 재질과 상관없이 성립한다.

그래서 양 끝을 벌리려면 꼬임이 풀려야 하고, 그 풀림이 곧 단추의 회전이다. 당기는 장력은 나선각을 지렛대 삼아 단추에 돌림힘으로 옮겨 간다. 꼬임이 다 풀리면 돌림힘은 0이 되지만 단추는 관성 모멘트 때문에 계속 돌아 반대 방향으로 실을 되감고, 되감기며 짧아진 실이 손을 안쪽으로 끌어당긴다 — 손이 느끼는 ‘탄성’의 정체다. 실이 전혀 늘어나지 않아도 이 되돌림은 남으므로, 실이 늘어나며 저장한 탄성 에너지가 아니라 장력이 꼬임의 기하를 통해 만든 겉보기 탄성이다 — 단추의 관성은 복원력이 아니라, 풀린 실을 반대로 되감아 되돌림을 이어 가는 플라이휠 몫이다. 게다가 이 계의 용수철 상수는 당기는 장력에 비례한다 — 세게 당길수록 더 단단해지는 점이 진짜 용수철과 결정적으로 다르다. 되돌아오는 빠르기를 정하는 나머지 한 몫은 단추의 관성 모멘트여서, 같은 장력이라도 무겁고 지름이 큰 단추일수록 느리게 오간다.

이 원리는 장난감을 넘어선다. 저비용 원심분리기는 종이 원판과 실만으로 분당 12만 5천 회까지 돌려 전기 없이 혈장을 분리한다. 비틀림 실 구동기는 모터의 회전을 꼬임 수축으로 바꿔 강한 직선 당김을 내는 로봇 인공 근육이다. 손 발전기·에너지 하베스팅은 실–원판계를 회전자로 삼아 왕복 운동에서 펄스 전류를 얻는다.

실험 설계

준비물

구멍 두 개짜리 큰 단추(또는 구멍 뚫은 원판·와셔) 여러 개, 굵기와 재질이 다른 실(무명실·나일론실·낚싯줄), 스탠드와 클램프, 추걸이와 50 g 단위의 추 세트, 자와 캘리퍼스, 전자저울, 감은 바퀴 수와 회전을 세기 쉽게 표시할 유성펜, 대비가 뚜렷한 모눈 배경판, 삼각대와 스마트폰(고속 촬영), 보안경.

변인

독립변인은 실을 팽팽히 유지하는 장력이며, 아래에 매단 추의 무게로 조절한다. 종속변인은 단추의 비틀림 진동 주기와, 감은 바퀴 수에 따라 짧아진 실의 양 끝 거리이다. 통제변인은 꼬이지 않은 실의 길이, 실의 재질과 굵기, 단추의 질량·지름·구멍 간격(즉 관성 모멘트), 초기 바퀴 수이다.

실험 순서

1. 단추 두 구멍에 실을 꿰어 고리를 만들고, 위쪽은 스탠드에 고정, 아래쪽에는 추걸이를 달아 수직으로 팽팽히 늘어뜨린다. 꼬이지 않은 실 길이와 단추 지름을 잰다. 두 구멍 사이 간격도 캘리퍼스로 재어 두면 뒤에 그래프에서 얻을 유효 꼬임 반지름과 견줄 수 있다.

2. 단추를 한 방향으로 감으며, 바퀴 수마다 위쪽 고정점과 단추 사이의 거리를 자로 읽는다(꼬일수록 짧아진다). 거리는 모눈 배경판을 대고 눈높이에서 읽는다. 겹꼬임이 시작되면 멈춘다.

3. 같은 초기 바퀴 수에서 손을 놓고, 단추의 비틀림 진동을 고속 촬영해 주기를 잰다(조건마다 3회 이상). 주기는 열 번 오간 시간을 재어 10으로 나누고, 단추 가장자리에 유성펜으로 표시해 두면 프레임에서 회전을 세기 쉽다.

4. 실·단추·실 길이는 그대로 두고 매단 추의 질량만 50 g에서 500 g까지 바꿔 가며 ③을 반복한다. 추를 바꿀 때마다 실을 완전히 풀어 남은 꼬임이 겹치지 않게 한다.

5. 추를 하나로 고정하고, 실 길이와 단추의 관성 모멘트(지름·두께가 다른 원판)를 각각 바꿔 ③을 반복한다.

6. 두 손으로 잡는 원래 완구 방식으로 돌아가, 약하게 당길 때와 세게 당길 때의 되돌림 세기를 촬영과 함께 비교한다.

안전 안내

보안경을 쓴다. 팽팽히 당긴 실은 끊어지면 튕겨 나오므로 얼굴을 가까이 두지 말고, 겹꼬임이 시작되면 더 감지 않는다. 매다는 추는 500 g을 넘기지 않고 발 아래에 쿠션을 깐다. 실을 손가락에 감아 조이지 않고, 도는 단추는 눈에서 멀리 두며, 가장자리가 날카로운 원반은 쓰지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

실을 두 배로 세게 당기면 손에 느껴지는 이 ‘용수철’의 단단함은 그대로일까, 더 세질까?

자료 정리

감은 바퀴 수와 그때의 양 끝 거리를 표로 모아, 가로축을 꼬임각(바퀴 수 × 2π)의 제곱, 세로축을 양 끝 거리의 제곱으로 그린다. 직선이 나오면 실이 늘어나지 않는다는 가정이 맞는 것이고, 기울기 크기의 제곱근이 유효 꼬임 반지름이 된다(직선에서 벗어나는 구간이 있다면 그것도 결과다 — 문헌도 표준 모형에서 벗어나는 경우를 보고한다). 주기 계열은 가로축을 추의 질량, 세로축을 주기의 제곱분의 1로 잡아 직선인지 보고, 그 직선이 원점이 아니라 단추 질량의 절반만큼 밀린 곳에서 출발하는지도 살핀다. (수치는 실제 측정으로 채운다.)

결과의 의미

꼬임이 늘수록 양 끝 거리는 짧아지고, 추가 무거울수록 비틀림 진동은 빨라질 것으로 예상된다. 진동수의 제곱이 장력에 비례한다면, 이 계의 용수철 상수는 재료가 아니라 당기는 힘이 정한다는 뜻이다 — 늘어나지 않는 실도 꼬임이라는 기하 덕분에 탄성처럼 행동하는 것이다. 실을 굵거나 뻣뻣한 것으로 바꿔도 관계의 꼴이 그대로라면 탄성의 근원이 재질이 아님이 더 분명해진다. 다만 많이 감을수록 직선에서 벗어나 되돌림이 오히려 약해질 수 있는데, 이는 오차가 아니라 겹꼬임이 시작되며 유효 꼬임 반지름이 달라지는 실제 현상이다. 주기 계열의 직선이 원점이 아니라 단추 질량의 절반만큼 밀린 자리에서 출발한다면, 그것 역시 읽기 오차가 아니라 단추 자신의 무게까지 실의 장력에 셈해 넣어야 한다는 신호다.

더 탐구하기

1. 실의 종류와 굵기를 바꿔, 그래프에서 읽은 유효 꼬임 반지름이 실의 겉보기 굵기와 얼마나 다른지 비교해 보자.

2. 진동 진폭이 줄어드는 모양을 기록해, 감쇠가 공기 저항 때문인지 실의 점성 때문인지 가려 보자 — 지름만 키운 원판과 견주면 갈라내기 쉽다.

3. 지름이 훨씬 작은 원판으로 바꿔 완구 방식으로 돌려 보고, 원판이 작을수록 최고 회전수가 올라가는지 확인해 보자.

4. 실 한 가닥에 원판을 둘 이상 꿰고 한쪽만 감아, 꼬임이 옆 원판으로 파동처럼 전해지는지 관찰해 보자.

연결 주제

IYPT 2022 문제 11 ‘고무줄로 이은 두 공’ — 꼬인 고무줄이 공을 한쪽으로, 다시 반대로 돌리는 같은 주기를 보이고 촬영·판독법도 공유한다. 다만 그쪽 복원 돌림힘에는 고무의 진짜 탄성 에너지가 실려 있고, 이 편의 실은 늘어나지 않아 꼬임 기하가 그 자리를 대신한다. IYPT 2021 문제 12 ‘윌버포스 진자’ — 나선 기하가 위아래 운동과 회전을 묶는 점이 같다.

참고문헌

[학생] 사이언스타임스 「종이로 만든 현미경과 원심분리기」(2019), 마누 프라카시 TED(2017) — 실팽이에서 나온 종이 원심분리기 / 영상 검색어 “button whirligig”, “paperfuge” / [심화] H. J. Schlichting, W. Suhr, “The buzzer—a novel physical perspective on a classical toy,” European Journal of Physics 31(3), 501–510, 2010 (DOI 10.1088/0143-0807/31/3/007) — 이 완구의 물리 모형을 세워 이론·실험을 견준 논문 · A. J. Gerra 외, “Equation of motion for taut-line buzzers,” Physical Review Applied 22, 014011, 2024 (DOI 10.1103/PhysRevApplied.22.014011) — 늘어나지 않는 실을 가정해 길이 수축과 장력에 비례하는 복원 돌림힘을 세우고 주기·감쇠를 실측 검증 · M. S. Bhamla 외, “Hand-powered ultralow-cost paper centrifuge,” Nature Biomedical Engineering 1, 0009, 2017 (DOI 10.1038/s41551-016-0009) — 완구를 비선형 진동자로 모형화, 손힘만으로 125,000 rpm을 낸 종이 원심분리기. · J. M. Hanlan, G. E. Davis, D. J. Durian, “Twist and measure: characterizing the effective radius of strings and bundles under twisting contraction,” Soft Matter 19(23), 4315–4322, 2023 (DOI 10.1039/d3sm00067b) — 유효 꼬임 반지름 추출 절차를 세우고 꼬임 구조·가닥 수 의존을 보임. ※ 실 굵기·가닥 수와 유효 반지름의 관계는 위 논문이 다뤘고, 단추 구멍 간격이 그 반지름을 어떻게 바꾸는지는 이 탐구의 개방 지점이다.