닿지 않고 돌리는 쇠구슬 — 회전 자기장과 슬립

탐구 주제

IYPT 2002 문제 13 ‘Spinning ball’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2002 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「전기와 자기」(자기장·전자기 유도) / 고등학교 통합과학2 「환경과 에너지」(발전과 전자기 유도)·과학탐구실험1(측정과 오차) / 물리학 「전기와 자기」(전자기 유도·맴돌이 전류) / 진로선택 「전자기와 양자」·「역학과 에너지」 — 슬립·표피 깊이는 교육과정 밖 심화 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

회전 자기장, 전자기 유도, 맴돌이 전류, 렌츠 법칙, 슬립, 유도 전동기, 표피 깊이, 돌림힘, 자기 쌍극자, 자기장 기울기와 자기력, 헤르츠 접촉, 회전 마찰

원리 살펴보기

닿지 않고 무엇을 돌리려면 힘이 아니라 ‘도는 자기장’이 필요하다. 판 아래에서 자석을 수직축 둘레로 돌리면, 그 위 구가 놓인 자리의 자기장은 세기는 그대로인 채 방향만 수평면에서 돈다. 구 속에서는 그 변화를 거스르는 맴돌이 전류가 흐르고(렌츠 법칙), 그 전류가 자기장에서 받는 힘이 구를 자석이 도는 쪽으로 끌고 간다. 느린 회전에서 이 돌림힘은 자기장의 회전수와 구의 회전수의 ‘차이’에 비례한다(구가 표피 깊이보다 두꺼워지면 이 비례는 무너진다). 구가 따라잡을수록 미는 힘이 줄어 결코 같은 속도가 되지 못한다 — 유도 전동기가 동기 속도에 못 미치는 것과 같고, 이 차이를 슬립이라 부른다.

그런데 이 문제의 진짜 난관은 돌림힘이 아니라 끌림이다. 강철은 강자성체라 자석에 끌리는 힘이 회전 돌림힘보다 훨씬 크다. 회전자를 위에 두고 지름 8~20 mm 강철 구를 아래에서 띄우려 한 실험에서도 50~400 Hz 전 구간에서 반발이 전혀 없어 늘 끌리기만 했다. 반발은 기대할 수 없으니 끌림을 없애려 들면 안 된다. 회전축 바로 위에 구를 놓아 끌림을 곧장 아래로 돌려세우고, 그 힘을 판이 대신 받아내게 하는 것이 설계의 알맹이다. 간격이 충분하면 축을 벗어난 구는 자기장이 약해져 다시 축으로 돌아온다 — 판은 걸림돌이 아니라 해답의 절반이다.

이 원리는 그대로 기계가 된다. 초고속 스핀 모터는 mm급 강철 구를 진공에서 자기 부상시켜 4천만 rpm까지 돌렸고, 유도 전동기와 맴돌이 전류 브레이크는 같은 식을 구동과 제동 양쪽으로 쓴다. 실험실의 자석 교반기는 도는 자석으로 유리 너머 막대를 돌리며, 비접촉 조작 기술은 회전 자기 쌍극자로 비자성 금속을 밀고 돌려 우주 쓰레기까지 노린다.

실험 설계

준비물

지름 2~3 cm 연강(저탄소강) 구 — 베어링 볼은 전도도가 낮아 잘 돌지 않을 수 있다. 두께 3~5 mm 아크릴 판, 속도를 조절할 수 있는 상용 자석 교반기(기본안 — 회전부가 하우징 안에 들어 있어 가장 안전하다. 구동 자석이 네오디뮴이고 가열 기능이 없으며 상판이 얇은 기기일수록 잘 돈다). 교반기를 구할 수 없거나 구동력이 모자랄 때는 한 변 20 mm급 네오디뮴 자석(10 mm를 여러 장 겹쳐도 된다) 1~2개(둘이면 N–S가 잇닿도록 일렬로)를 수평으로 물리는 균형 잡힌 회전자와 속도 조절 DC 모터를 직접 꾸미고 폴리카보네이트 덮개를 씌운다. 비자성 스페이서, 스마트폰(240 fps)과 스트로보 앱, 유성펜, 자, 낙하 방지 트레이, 고충격(Z87+) 보안경.

변인

독립변인은 회전 자기장의 회전수와, 판 윗면에서 구 중심까지의 간격이다(교반기는 자석 위치를 볼 수 없으므로 판 윗면을 기준으로 잰다). 종속변인은 구의 회전수, 그리고 구동을 끊은 뒤의 각속도 감소율이다. 통제변인은 구의 지름·재질, 판의 재질·두께·표면 거칠기, 구를 놓는 위치(회전축 바로 위), 실온이다.

실험 순서

1. 교반기를 쓰면 회전자가 이미 하우징 안에 있으니 그 위에 아크릴 판을 얹고 회전축이 판을 지나는 지점을 표시하면 된다. 직접 꾸밀 때는 자석의 극 방향이 회전축과 수직이 되도록 회전자에 나사 누름판이나 조임 밴드로 물리고 균형을 확인한 뒤 폴리카보네이트 덮개로 감싸며, 회전축이 수직인지도 함께 본다.

2. 구에 유성펜으로 점을 찍고 표시한 지점에 살며시 올린다. 자석을 멈춘 채로 손을 떼어, 구가 옆으로 굴러가지 않고 제자리에 머무는지 먼저 확인한다. 굴러가면 간격을 키워 다시 본다.

3. 회전수를 기기의 최저 속도에서 천천히 올리되 안전 박스가 정한 상한(교반기는 제조사 정격, 직접 꾸민 회전자는 바깥 끝에서 3 m/s)을 넘기지 않으며, 구가 제자리에서 돌기 시작하는 최저 회전수를 찾는다. 이후 4~5단계로 올려 단계마다 30 s 기다린 뒤 고속 촬영으로 회전수를 읽는다(조건마다 3회). 교반기의 구동력은 넉넉하지 않다 — 자석이 하우징 안에 있어 간격이 멀고 돌림힘은 자기장의 제곱에 걸리므로, 마찰을 겨우 이길 만큼만 남는 경우가 많다. 돌지 않으면 아크릴 판을 더 얇은 것으로 바꾸고, 그래도 안 되면 「한 발 더」의 알루미늄 구(전도도가 높아 같은 자기장에서 돌림힘이 몇 배 크고 끌림도 없다)로 옮기거나 자석을 직접 꾸민 회전자로 바꾼다.

4. 회전을 완전히 멈춘 뒤 스페이서로 간격을 3~4단계 바꿔 가며 ③을 되풀이한다. 조건마다 구가 ⓐ제자리 회전 ⓑ축을 벗어나 원을 그리며 굴러감 ⓒ판 밖 이탈 ⓓ아예 정지 중 어느 상태인지도 적는다.

5. 가장 잘 도는 조건에서 회전을 멈추고 판을 스페이서로 들어 올려 간격을 두 배 이상 벌린 뒤, 회전수가 줄어드는 모습을 끝까지 촬영한다 — 자기 제동이 64분의 1로 떨어진다. 다만 눌림도 함께 사라지므로 여기서 잰 마찰은 구동 중보다 작다.

안전 안내

네오디뮴 자석은 매우 강하다. 손가락 끼임과 깨진 파편에 주의하고 카드·전자기기·심장 박동기에서 멀리 둔다. 고속 회전체가 가장 위험하므로 회전부가 하우징 안에 든 상용 자석 교반기를 먼저 고른다. 직접 꾸밀 때는 자석을 홈에 앉히고 나사 누름판이나 조임 밴드로 물린다 — 접착만으로는 안 된다(소결 네오디뮴은 잘 깨진다). 균형을 맞춘 뒤 두께 3 mm 이상 폴리카보네이트 덮개로 감싸며, 덮개 없이는 절대 돌리지 않는다(아크릴은 깨져 그 자체가 파편이 된다). 교반기는 제조사가 정한 최대 회전수를 넘기지 않으면 된다. 직접 꾸민 노출 회전자에서는 위험을 정하는 것이 회전수가 아니라 회전체의 가장 바깥 지점이 그리는 원주 속도이니, 그 속도가 3 m/s를 넘지 않게 회전수를 정한다 — 바깥 끝이 축에서 10 mm면 약 2,900 rpm, 25 mm면 약 1,100 rpm, 50 mm면 약 570 rpm이다. 고충격(Z87+) 보안경을 쓰고 긴 머리·소매를 단속하며, 회전면에는 사람이 서지 않고 전원은 떨어진 자리의 스위치로 켠다. 도는 동안에는 구에 손을 대지 않고, 조작은 전원을 끄고 완전히 멈춘 뒤에만 한다. 구가 튀어 나갈 수 있으니 작업대 둘레에 낮은 벽의 트레이를 두고 사람 없는 쪽을 향하게 놓는다. 구가 구르는 판은 아크릴을 쓴다(유리는 깨진다) — 덮개만은 반드시 폴리카보네이트다. 가열 기능이 있는 교반기라면 반드시 꺼 둔다 — 아크릴 판은 100 ℃ 근처에서 휜다. 오래 돌리면 모터가 뜨거워질 수 있다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

자석을 두 배 빠르게 돌리면 구도 두 배 빠르게 돌까? 그리고 자석과 구의 간격을 두 배로 벌리면 조금 느려질 뿐일까, 아예 돌지 않을까?

자료 정리

③은 가로축 자석 회전수·세로축 구 회전수로 그리고 기울기 1인 동기선을 겹쳐, 벌어진 폭이 곧 슬립임을 확인한다. ④는 세로축을 슬립으로 바꿔 간격에 로그–로그로 그린다 — 먼 쪽에서는 돌림힘이 간격의 −6제곱이라 기울기 +6이 나오지만, 가까운 쪽에서는 끌림이 구를 눌러 마찰까지 키우므로 되돌아설 수 있다. V자면 그 꼭짓점이 최적 간격이다 — 다만 교반기는 상판 아래로 더 다가갈 수 없어 왼쪽 가지가 아예 안 나올 수 있다. 상태 ⓐ~ⓓ는 회전수–간격 평면에 색으로 찍어 상태 지도로 만든다. ⑤는 시간–회전수로 그려, 직선이면 일정한 마찰 돌림힘이 지배한다는 뜻이다. (여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

구는 자석과 같은 방향으로 돌지만 끝내 자석 속도를 따라잡지 못하고, 자석이 빨라질수록 구도 빨라지되 슬립이 남을 것이다. 슬립에 비례하는 구동 돌림힘이 접촉점 마찰·공기 저항과 균형을 이루는 곳에서 회전수가 정해지기 때문이다 — 강철 구가 그대로 통짜 로터 유도 전동기가 되는 셈이다. 다만 간격은 멀수록 나쁘기만 한 것이 아니다. 먼 쪽에서는 돌림힘이 간격의 −6제곱으로 급히 죽지만, 너무 가까우면 끌림이 구를 눌러 마찰을 키우므로 가장 잘 도는 간격은 중간 어딘가에 있다. 결국 성패를 가르는 것은 돌림힘의 크기가 아니라 끌림의 방향이며, ‘돌게 만들기’와 ‘그 자리에 붙들어 두기’를 한 배치로 동시에 푸는 것이 이 문제의 과제다.

더 탐구하기

1. 같은 지름의 알루미늄·황동 구로 바꿔 보자 — 강자성 끌림이 사라지면 회전수와 축에서 밀려나는 정도가 어떻게 달라지는지 견준다.

2. 구 대신 짧은 강철 막대를 눕혀 올려 보자 — 교반 막대처럼 모양 때문에 자기장에 동기해 끌려 돈다. 모양 이방성이 없는 구가 왜 더 어려운지 드러난다.

3. 판을 더 얇거나 매끄러운 것으로 바꿔 보자 — 간격과 마찰 중 어느 쪽이 회전수를 더 크게 좌우하는지 가를 수 있다.

연결 주제

같은 해 문제 12 ‘비접촉 전도도’ — 교류 자기장으로 소금물에 맴돌이 전류를 흘려 저항을 읽는 쪽이라, 같은 유도 결합을 ‘재기’와 ‘돌리기’로 나눠 볼 수 있다. 2024년 문제 8 ‘또 다른 자기 부양’과는 대비 쌍이다 — 비자성 도체 위 영구자석은 맴돌이 전류로 반발·부양하지만, 강자성 강철 구에서는 끌림이 반발로 뒤집히지 않는다.

참고문헌

[학생] UC Santa Barbara 물리 실연 72.39 ‘Eddy current rotation’(도는 자석이 알루미늄 원반을 같은 방향으로 끄는 아라고 원반), 검색어 “Arago disc rotating magnet”. [심화] Hermansen 외, Phys. Rev. Applied 20, 044036, 2023, DOI 10.1103/PhysRevApplied.20.044036 — 맴돌이 돌림힘이 (2π/15)σ(ω자석−ω구)B²R⁵로 슬립에 비례함을 유도(논문 스스로 균일장 근사라 일반해가 아님을 밝힘 — 자릿수와 스케일링만 취할 것). 회전자를 위에 두고 지름 8~20 mm 연질 강철 구를 띄우려 해도 50~400 Hz 전 구간에서 반발 없이 늘 끌리기만 함(반발 부재의 근거) · Chau·Zhang·Wen, J. Magn. Magn. Mater. 476, 376–381, 2019, DOI 10.1016/j.jmmm.2018.12.073 — 도는 자석 두 개 위 연질 강자성 구의 상태 지도(높이×회전수). 충분한 높이에서는 구가 장의 중심에 포획되고, 낮으면 궤도를 그리며 공전 방향이 뒤집힌다 · Schuck 외, Sci. Adv. 4(1), e1701519, 2018, DOI 10.1126/sciadv.1701519 — 진공에서 mm급 강철 구를 회전 자기장으로 4천만 rpm까지(통짜 로터 유도 전동기) · Reichert 외, J. Appl. Phys. 112, 104901, 2012, DOI 10.1063/1.4765676 — 회전 자기장 속 구의 완전 해석해 · Cross, Phys. Teach. 50(1), 25–27, 2012, DOI 10.1119/1.3670079 — 수직축 둘레로 도는 공은 제자리에 오래 머물고 축이 기울면 굴러 나감 · Pham 외, Nature 598, 439–443, 2021, DOI 10.1038/s41586-021-03966-6 — 회전 쌍극자로 비자성 도체를 비접촉 조작. ※ 개방 지점 — 이론 해는 있으나(Reichert 2012), 지름 2~3 cm 구가 판에 눌린 채 접촉 마찰과 함께 도는 이 배치의 회전수–슬립 측정 보고는 찾지 못했다.