언덕 꼭대기가 안정하다 — 볼록한 수면 위의 탁구공

탐구 주제

IYPT 2002 문제 11 ‘Equilibrium’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2002 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「여러 가지 힘」(표면장력·부력) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(힘의 평형)·「물질과 규칙성」(물의 표면장력) · 과학탐구실험1(관찰과 측정) / 물리학 「힘과 에너지」 · 진로선택 「역학과 에너지」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

메니스커스, 볼록 수면과 오목 수면, 표면장력, 접촉각, 접촉선 고정, 모세관 길이, 본드 수, 측방 모세관력, 치리오스 효과, 부력, 안정 평형과 불안정 평형, 복원력

원리 살펴보기

컵을 높이의 80 %쯤 채우고 탁구공을 한가운데 놓으면 공은 곧 벽으로 끌려가 붙는다. 그런데 물을 테두리 위로 봉긋 솟을 때까지 더 부으면 정반대가 된다 — 볼록해진 수면의 꼭대기, 곧 컵 한가운데가 안정한 자리가 되어 공을 옆으로 옮겨 놓아도 되돌아온다. 아이오와대학교의 물리 시연 목록에는 접시에 탁구공을 띄워 두 조건을 대비하는 항목이 그대로 올라 있다. 언덕 꼭대기인데 왜 굴러 내리지 않을까?

열쇠는 공이 얹혀 있는 것이 아니라 떠 있다는 데 있다. 규격 탁구공은 지름 40 mm에 질량 2.7 g이라 평균 밀도가 물의 0.08배뿐이어서, 부력이 남아돌고 수면이 그것을 붙들고 있다 — 물이 공의 옆면을 조금 타고 올라 표면장력이 공을 아래로 눌러야 겨우 균형이 맞는다. 벨라와 마하데반은 이런 물체가 수직으로 더 오르지 못하니 차선책으로 수면을 따라 갈 수 있는 가장 높은 곳으로 옮겨 간다고 정리했다. 오목한 수면에서는 그 높은 곳이 벽이고, 볼록한 수면에서는 한가운데다. 물체와 벽이 만드는 수면 기울기의 부호가 같으면 끌리고 반대면 밀린다. 넘치게 채워도 쏟아지지 않는 것은 날카로운 테두리가 접촉선을 붙들기 때문이며, 솟을 수 있는 높이는 모세관 길이(물 2.7 mm)가 정하는 몇 mm 규모를 넘지 못한다 — 이론상 상한은 그 두 배인 약 5 mm다.

같은 힘이 거품 뗏목(니컬슨이 거품 무리가 고체처럼 버티는 이유로 처음 제안했다), 미세 부품의 자기조립(마이크로 기계 부품을 액면에서 스스로 줄 세운다), 밀도가 다른 입자의 분리(같은 부호끼리 뭉쳐 무리를 이룬다)에 두루 나타난다.

실험 설계

준비물

지름이 다른 투명한 유리컵 두어 개와 넓은 유리 접시, 탁구공 몇 개, 스포이트나 눈금 주사기, 증류수, 소독용 에탄올, 주방 세제, 설탕 또는 글리세린, 0.01 g까지 읽는 전자저울, 온도계, 자와 모눈 배경지, 스마트폰과 삼각대, 핀셋, 마른 수건.

변인

독립변인은 수면이 볼록한 정도이다 — 같은 컵에 물을 스포이트로 조금씩 더해 테두리 위로 솟은 높이를 옆면 사진으로 재어 조절한다. 종속변인은 공을 옆으로 옮겨 놓았을 때 되돌아오는지 여부와 되돌아오는 데 걸리는 시간이다. 통제변인은 컵의 지름과 재질, 테두리의 청결과 기름기, 공의 질량과 표면 상태, 처음 놓는 거리, 액체의 온도, 주변의 기류와 진동이다. 액체를 바꾸는 단계에서는 독립변인을 액체의 종류로 바꾼다.

실험 순서

1. 오목 조건은 지름 6~8 cm의 좁은 유리컵으로 먼저 확인한다 — 넓은 접시에서는 공이 벽에서 멀어 한동안 제자리에 머물 수 있다. 물을 높이의 80 %쯤 채우고 공을 한가운데에 살며시 놓은 뒤, 어디로 가는지 위에서 촬영한다.

2. 스포이트로 물을 조금씩 더해 수면이 테두리 위로 봉긋 솟게 만든다. 넘치기 직전에 멈추고 옆에서 촬영해 솟은 높이를 모눈 배경으로 잰다.

3. 공을 중심·중간·벽 가까이 세 위치에 각각 놓고 손을 떼어, 되돌아오는지와 걸리는 시간을 조건마다 3회씩 잰다. 위에서 찍은 영상으로 공의 중심을 추적한다.

4. 옆면 사진에서 수면이 공에 닿는 부분을 확대해, 물이 공의 옆면을 타고 올라가 있는지 눌려 있는지 확인하고 벽 쪽 수면의 기울기 방향과 견준다.

5. 물을 소독용 에탄올, 세제를 조금 푼 물, 설탕물이나 글리세린으로 바꿔 2~3단계를 되풀이한다. 에탄올은 작은 용기에 최소량만 붓고 짧게 끝낸다. 에탄올은 유리를 거의 완전히 적셔 부풀림이 잘 서지 않을 수 있는데, 그것 자체가 결과이니 억지로 채우지 말고 기록한다.

6. 같은 물로 그릇만 바꿔(좁은 컵과 넓은 접시) 3단계를 되풀이해, 되돌리는 힘이 그릇 지름에 따라 어떻게 달라지는지 본다.

안전 안내

유리컵과 유리 접시는 물이 묻으면 미끄럽다 — 두 손으로 옮기고 깨진 유리는 맨손으로 줍지 않는다. 넘친 물은 곧바로 닦는다. 소독용 에탄올은 인화성이 크므로 작은 용기에 최소량만 쓰고, 불꽃과 가열 기구가 없는 곳에서 창을 열어 환기하며 짧게 끝낸다. 셀룰로이드 탁구공은 그 자체가 잘 타므로 불 곁에 두지 않는다. 아세톤·시너 같은 유기 용매는 공을 녹이므로 쓰지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

물을 넘치기 직전까지 채워 수면이 봉긋해졌을 때, 언덕 꼭대기에 놓인 탁구공은 옆으로 굴러 내려 벽에 붙을까, 아니면 가운데로 되돌아올까? 덜 채운 컵에서는 어느 쪽이며, 물 대신 에탄올을 쓰면 그 답이 뒤집힐까?

자료 정리

위에서 찍은 영상에서 프레임마다 공 중심의 좌표를 읽어, 컵 중심에서의 거리를 세로축, 시간을 가로축으로 그린다. 오목 조건과 볼록 조건, 액체 종류를 각각 다른 기호로 찍어 한 그림에 겹친다. 볼록 조건은 거리가 0으로 잦아드는 곡선, 오목 조건은 한동안 평평하다가 벽 가까이에서 급히 치솟는 곡선이 되는지 본다. 옆면 사진에서 잰 솟은 높이는 액체별 모세관 길이와 나란히 표에 적는다. (수치는 실제 측정으로 채우고, 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

볼록한 수면에서는 공이 한가운데로 되돌아오고, 덜 채운 컵에서는 벽에 달라붙을 것으로 예상된다. 평형의 안정성을 정하는 것이 공이 아니라 수면의 모양이라는 뜻이다. 얹힌 것이 아니라 떠 있기 때문에, 남는 부력이 공을 수면의 가장 높은 곳으로 끌어올린다 — 볼록한 언덕의 꼭대기가 오히려 안정한 자리가 되는 까닭이다. 두 조건은 작용 거리도 다르다. 벽이 만드는 오목한 메니스커스는 모세관 길이 규모에서 잦아들어 벽 가까이에서만 힘을 쓰지만, 볼록한 언덕의 기울기는 그릇 반지름 규모라 훨씬 멀리까지 미친다. 액체를 바꾸어도 방향은 그대로일 것으로 예상된다 — 탁구공은 어떤 액체에서도 평균 밀도가 액체의 1/10 안팎이라 남는 부력이 압도적이기 때문이다. 다만 부호를 정하는 것은 공 둘레의 수면이 오르는지 눌리는지이니 액체마다 접사로 직접 확인하자. 모세관 길이 √(γ/ρg)가 에탄올에서는 1.7 mm로 줄어 수면이 훨씬 덜 솟고 되돌리는 기울기도 작아진다.

더 탐구하기

1. 탁구공에 물을 조금씩 넣어 무겁게 하면서, 어느 무게부터 공 둘레의 수면이 눌리는 쪽으로 뒤집혀 거동이 반대가 되는지 찾아보자 — 부호가 바뀔 무렵이면 지름의 60 % 가까이 잠기니 구멍은 꼭대기 쪽에 내고 테이프로 막는다.

2. 지름이 다른 스티로폼 공이나 물에 뜨는 플라스틱 구슬로 바꿔, 본드 수가 달라질 때 되돌아오는 속도가 어떻게 변하는지 비교해 보자.

3. 공을 둘 이상 띄워 서로 끌리는지 확인하고, 소수성 처리한 압정처럼 수면을 눌러 뜨는 물체를 함께 띄우면 거동이 정반대가 되는지 보자.

4. 컵 테두리에 기름을 얇게 발라 접촉선이 더 잘 고정되는지, 그래서 얼마나 더 부풀릴 수 있는지 재어 보자.

연결 주제

같은 해 문제 5 「소금쟁이 뗏목」 — 뜨는 힘을 셈하는 방법은 같지만, 그쪽은 한 물체가 견디는 임계 하중이고 이 문제는 수면 모양이 만드는 옆 방향 힘이다. 완성 원고 「뜨는 압정」(IYPT 2012 문제 7)이 그 측방 모세관력의 짝 문제여서, 여기서 익힌 부호 규칙이 곧바로 쓰인다. 같은 해 문제 2 「거미줄의 구슬」과는 접사 촬영 기법만 나눈다.

참고문헌

[학생] 아이오와대학교 물리 시연 2A20.45 “Meniscus — Stable Equilibrium” (탁구공은 덜 채우면 벽으로, 넘치게 채우면 한가운데로 모인다) · The Naked Scientists, “Mysterious Movements — Surface Tension and a Ball” · W. Dindorf, Phys. Teach. 40(2), 116, 2002, DOI 10.1119/1.1457318 · M. Boutinguiza Larosi, Phys. Teach. 53(2), 93–94, 2015, DOI 10.1119/1.4905806 (표면장력을 물체를 밀어 올리는 막으로 보는 오개념 경고) · 국제탁구연맹 경기 규칙 2.3(지름 40 mm·질량 2.7 g) / [심화] D. Vella·L. Mahadevan, “The ‘Cheerios effect’,” American Journal of Physics 73(9), 817–825, 2005, DOI 10.1119/1.1898523 (뜨는 물체는 수직으로 오르지 못하는 대신 메니스커스를 따라 가장 높은 곳으로 간다; 두 기울기의 곱이 양이면 인력, 음이면 척력; 물의 모세관 길이 2.7 mm) · J. Yuan 외, Micromachines 12(3), 341, 2021, DOI 10.3390/mi12030341 (유전체 액체 실험 — 벽과 부유체의 기울기 부호가 같으면 인력·반대면 척력이고, 벽의 접촉각을 바꿔 부호를 뒤집었다) · M. M. Nicolson, Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 45(2), 288–295, 1949, DOI 10.1017/S0305004100024841 (거품 뗏목) · J. F. Oliver 외, J. Colloid Interface Sci. 59(3), 568–581, 1977, DOI 10.1016/0021-9797(77)90052-2 (모서리가 접촉선을 붙들어 액면이 그릇 위로 부푼다) · G. Vazquez 외, J. Chem. Eng. Data 40(3), 611–614, 1995, DOI 10.1021/je00019a016 (20 °C 물 73, 에탄올 22 mN/m). ※ 정성 설명은 교육 문헌에 여러 편 있으나, 지름 40 mm 공은 본드 수 ρgR²/γ가 50 남짓이라 위 이론의 적용 범위(B ≲ 0.1)를 크게 벗어난다 — 복원력과 복귀 시간을 정량으로 잰 자료는 찾지 못했다. 개방 지점이다.