한 방울이 그리는 색 고리 — 종이에 번지는 잉크

탐구 주제

IYPT 2002 문제 9 ‘Chromatography’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2002 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「물질의 특성」(혼합물의 분리·크로마토그래피) / 고등학교 통합과학1 「물질과 규칙성」 · 과학탐구실험1(측정과 자료 해석) / 진로선택 「물질과 에너지」(용액과 분자 간 힘) — 다공성 매질의 침투 지수는 교육과정 밖 심화 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

모세관 현상, 표면 장력, 접촉각, 젖음, 다공성 매질, 공극률, 투과율, 다르시 법칙, 루카스–워시번 식, 방사형 침투, 거듭제곱 법칙과 지수, 로그–로그 그래프, 물질 수지, 크로마토그래피, 이동상·고정상, 흡착, Rf 값, 증발, 커피링 효과

원리 살펴보기

종이 위의 잉크 한 방울은 왜 스스로 퍼질까? 여과지를 확대하면 셀룰로스 섬유가 얽혀 만든 수많은 가는 틈이 보인다. 그 하나하나가 아주 가는 빨대여서, 물을 잘 적시는 섬유 벽이 액체를 안쪽으로 끌어당긴다. 아무도 밀지 않는데 스스로 들어가는 이 힘이 모세관 압력이고, 종이는 그것으로 액체를 빨아들이는 펌프인 셈이다.

그렇다면 얼마나 빨리 번질까. 흔히 “번짐은 시간의 제곱근을 따른다”고 한다(루카스–워시번 식). 그러나 그 √t는 폭이 일정한 띠를 따라 한 방향으로 스며들 때의 이야기다. 실제 여과지에서는 지수가 1/2에 못 미쳐 0.39~0.46으로 보고되는데, 방사형의 좁은 목 때문이라는 기하 쪽과 종이의 공극 구조 탓이라는 매질 쪽이 겨룬다(문헌은 매질 쪽에 무게를 둔다). 게다가 한 방울은 유한한 부피다. 공급이 끊기면 번짐은 멈추고, 멈추는 크기는 물질 수지가 정한다 — 부피 V가 두께 h·공극률 φ인 종이를 가득 채운다면 반지름은 √(V/(πhφ)). 증발까지 더해지면 그보다 일찍 멈춘다.

마르고 나면 색은 여러 겹 고리로 갈라져 있다. 종이에 잘 달라붙는 색소는 안쪽에, 덜 붙고 용매를 잘 따라가는 색소는 바깥쪽에 남는다 — 바깥 고리일수록 Rf가 크다. 가장자리에 생기는 진한 테는 원인이 달라 뭉뚱그리면 안 된다. 그것은 가장자리에서 증발이 빨라 안쪽 액체가 바깥으로 실려 나가며 쌓이는 커피링일 가능성이 크다(다만 종이에서는 흡착·여과가 겹쳐 늘 고리가 되지는 않는다). 이 두 원리는 종이 기반 진단 키트(측방 유동 검사에서 시료를 나르는 힘이 모세관 침투다), 과학 수사의 잉크 감정, 기저귀 같은 흡수체 설계, 토양·벽돌의 수분 이동 예측에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

원형 여과지(같은 종류 여러 장), 수성 사인펜 잉크와 작은 병, 눈금 피펫이나 바늘 없는 주사기, 페트리 접시, 심지로 쓸 여과지 띠, 자·버니어 캘리퍼스·전자저울, 삼각대에 고정한 스마트폰(타임랩스), 모눈종이 배경, 물과 소독용 알코올.

변인

독립변인은 액체를 공급하는 방식(부피를 정한 한 방울만 놓기 / 심지로 계속 공급하기 / 폭이 일정한 띠를 수평으로 적시기)과 경과 시간이다. 종속변인은 젖은 영역의 반지름(띠에서는 젖은 길이), 멈춘 뒤의 최종 반지름, 색 고리의 반지름과 Rf 값이다. 통제변인은 종이의 종류와 두께, 떨어뜨린 부피, 잉크 농도와 용매 조성, 실온과 습도, 종이를 수평으로 놓는 자세이다.

실험 순서

1. 종이의 두께와 공극률을 먼저 잰다 — 여과지 20장을 겹쳐 재고 20으로 나눠 두께 h를 얻고, 넓이 A를 아는 조각의 마른 질량 m으로 φ = 1 − m/(Ahρ)를 구한다(셀룰로스 밀도 ρ ≈ 1.5 g/cm³ — 면 린터로만 된 여과지에 맞는 값이다).

2. 여과지를 수평으로 놓고 잉크 한 방울(예: 20 μL)을 중앙에 떨어뜨린 뒤 모눈 배경과 함께 타임랩스로 찍되, 반지름이 더 자라지 않을 때까지 찍고 프레임마다 젖은 반지름을 읽는다(조건마다 3회).

3. 같은 여과지 중앙에 작은 구멍을 뚫어 띠를 말아 심지로 꽂고 물이 얕게 담긴 접시 위에 얹어, 액체가 계속 공급되는 방사형 조건으로 ②를 반복한다.

4. 같은 종이를 폭 1 cm 띠로 잘라 수평으로 놓고 한쪽 끝만 물에 담가 젖은 길이–시간을 기록한다(중력이 끼어들지 않는 1차원 비교군).

5. ②·③에서 색이 몇 겹으로 갈라지는지 세고, 각 고리와 용매 앞면의 반지름으로 Rf를 구한다. 알코올을 섞은 용매로 바꿔 반복한다.

6. ②를 두 장에 하되 한 장은 그대로, 한 장은 접시로 덮어 천천히 말린 뒤 가장자리 진하기를 비교한다(테가 증발 탓인지 가리는 대조).

안전 안내

소독용 알코올은 인화성이 강하다. 불꽃과 가열 기구를 멀리하고 창을 열어 환기하며, 쓰지 않을 때는 뚜껑을 닫아 둔다. 아세톤·석유에테르 같은 유기 용매는 쓰지 말고 물과 알코올만 쓴다. ⑥에서 접시로 덮을 때도 가열하지 않는다. 잉크와 용매가 피부·눈에 닿지 않도록 장갑과 보안경을 쓰고, 주사기는 바늘 없는 것만 쓴다. 다 쓴 용액은 하수구에 흘리지 말고 지도 교사의 안내에 따라 모아 버린다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

젖은 자국의 반지름이 두 배가 되는 데 걸리는 시간은 네 배일까, 그보다 훨씬 길까? 그리고 한 방울은 언제까지나 번질까, 아니면 어떤 크기에서 멈출까?

자료 정리

조건별로 시간과 반지름(띠는 젖은 길이)을 모으고, 두 축을 로그로 바꾼 그래프에 세 조건을 겹쳐 직선 구간의 기울기에서 지수 n을 읽는다(반지름 ∝ 시간ⁿ). 1차원 띠와 방사형의 기울기 차이가 반복 측정의 흩어짐보다 큰지를 먼저 따진다 — 이 차이가 기하 가설의 판정 기준이다. 한 방울 조건에서는 기울기가 꺾이는 시각을 표시하고, √(V/(πhφ))를 가로선으로 얹어 최종 반지름과 견준다. Rf는 용매별 막대로 비교한다. (수치는 측정으로 채우고 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

두 조건 모두 기울기가 1/2에 못 미칠 수 있다 — 여과지에서는 0.39~0.46이 보고되었고 투과율이 클수록 1/2에 가까워진다. 수평 띠조차 워시번에서 벗어나므로 1/2이 안 나왔다고 측정을 의심하지 말자. 두 조건의 지수 차이가 기하 가설과 매질 가설을 가르는 판정 기준이며, 한 방울 조건의 결정적 차이는 언젠가 멈춘다는 것이다. 공급이 끊긴 유한 부피라 물질 수지가 완전히 젖을 때의 기준 반지름을 정하고, 증발이 그보다 먼저 멈춰 세운다. 실측값이 √(V/(πhφ))보다 크다면 종이가 가득 젖지 않은 채 앞면만 나아갔다는 뜻이고, 그 차이가 포화도의 척도다. 색 고리는 겹쳐진 별개의 이야기다 — 바깥 고리일수록 Rf가 큰, 곧 종이에 덜 붙고 용매를 잘 따라간 색소다. ⑥에서 천천히 말린 쪽의 테가 옅어진다면, 그 테는 분리가 아니라 증발이 만든 커피링이다.

더 탐구하기

1. 여과지·커피 필터·복사용지로 바꿔 두께·공극률과 지수·최종 반지름을 정리해 보자. 복사용지는 무기 충전재가 섞여 골격 밀도가 더 크니 같은 ρ를 그대로 쓰면 공극률이 낮게 나온다는 점을 적어 두자.

2. 물에 설탕을 녹여 점성을 키워 보자 — 물질 수지만 보면 최종 반지름은 그대로여야 하는데, 느려진 만큼 증발이 더 깎을 수 있다.

3. 밀폐 용기 안에서 번지게 해 증발을 줄이고, 최종 반지름이 커지는지 확인해 보자.

4. 결 방향과 그에 직각인 방향의 반지름을 따로 재어, 자국이 원이 아니라 타원이 되는지 보자.

연결 주제

생명 분야 「잎 색소 분리」와 나란히 읽어 보자 — 그쪽은 Rf로 색소를 동정하는 분석이고, 이 원고는 용매가 종이를 적셔 가는 속도를 재는 동역학이다. 1998년 문제 14 ‘물 상승’은 같은 식을 수직 1차원에서 다뤄 곧바로 대비되고, 2001년 문제 14 ‘모세관 사이펀’과는 모세관 구동을 공유한다.

참고문헌

[학생] Royal Society of Chemistry Education ‘Crime scene chromatography’ — 검정 사인펜 잉크를 여과지와 물만으로 분리하는 학교 실험 안내 / 영상 검색어 “radial paper chromatography”. / [심화] Washburn, Phys. Rev. 17, 273–283, 1921, DOI 10.1103/PhysRev.17.273 (1차원 모세관 침투가 √t를 따름) · Danino & Marmur, J. Colloid Interface Sci. 166, 245–250, 1994, DOI 10.1006/jcis.1994.1290 (종이의 방사형 침투 — 액적은 루카스–워시번보다 느리고 두 단계로 진행) · Miranda-Blancas 외, Fluids 11(5), 127, 2026, DOI 10.3390/fluids11050127 (여과지 방사형 전선의 시간 지수 0.386~0.403, 투과율이 클수록 1/2에 접근) · Xiao, Stone & Attinger, Langmuir 28, 4208–4212, 2012, DOI 10.1021/la204474f (지수는 기하가 정한다 — 1차원 1/2, 점원 3차원 1/3, 원뿔 1/4) · Liu 외, Langmuir 32, 9899–9904, 2016, DOI 10.1021/acs.langmuir.6b02404 (증발이 방사형 침투를 임계 반지름에서 멈춤) · Deegan 외, Nature 389, 827–829, 1997, DOI 10.1038/39827 (커피링은 증발이 만드는 바깥 흐름 — 분리와 원인이 다름) · Consden, Gordon & Martin, Biochem. J. 38, 224–232, 1944, DOI 10.1042/bj0380224 (종이 크로마토그래피와 Rf 값) · Martinez 외, Anal. Chem. 82, 3–10, 2010, DOI 10.1021/ac9013989 (종이 기반 진단 소자). · Chang 외, J. Fluid Mech. 845, 36–50, 2018, DOI 10.1017/jfm.2018.235 (1차원 수평 침투도 섬유 내부 공극 탓에 워시번을 벗어난다) · Hertaeg 외, J. Colloid Interface Sci. 541, 312–321, 2019, DOI 10.1016/j.jcis.2019.01.032 (종이 위 액적 얼룩의 성장 — 기전이 아직 완전히 이해되지 않았다). ※ 개방 지점: 한 방울이 얇은 종이에서 번질 때 확립된 것은 두 단계 거동뿐이고 단일한 지수값은 아직 없다.