2026년 9월 30일 · 용티IYPT 2002 · 문제 7 · 유체역학

전류는 정말 흐르는가 — 물로 만든 회로

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 2002 문제 7 ‘Ohm's Law for a liquid’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2002 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「전기와 자기」(전압·전류·저항) / 고등학교 과학탐구실험1(측정과 오차) / 물리학 「전기와 자기」·진로선택 「전자기와 양자」 — 하겐-푸아죄유 법칙·레이놀즈 수는 교육과정 밖 심화 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

옴 법칙, 전기 저항, 저항의 직렬·병렬 합성, 축전기, 하겐-푸아죄유 법칙, 부피 유량, 유체 저항, 유체 용량, 점성, 무점착 조건, 층류와 난류, 레이놀즈 수, 토리첼리 법칙, 유체 관성

원리 살펴보기

전류가 “흐른다”는 말은 그저 비유일까? 물리는 훨씬 더 깊이 닮아 있다. 건전지를 수두로, 전선을 관으로, 전류를 부피 유량으로 바꿔 보자. 가는 관의 유량 Q는 양 끝의 압력차 ΔP에 비례하고, 그 비례 상수의 역수가 유체 저항이다 — 하겐-푸아죄유 법칙 Q = ΔP·πr⁴/(8ηL)은 옴 법칙 I = V/R와 글자만 바꾼 같은 식이다. 직렬·병렬 합성 규칙도, 열린 물통이 축전기가 되어 만드는 지수 거동(τ = RC)도, 관 속 물의 관성이 인덕턴스 노릇을 하는 것도 그대로 옮겨 간다.

그런데 이 대응은 완전하지 않고, 어긋나는 자리가 이 문제의 알맹이다. 첫째, 기하 의존이 다르다. 전선의 저항은 반지름의 제곱에, 유체 저항은 네제곱에 반비례해 반지름을 절반으로 줄이면 각각 네 배와 열여섯 배가 된다. 전하는 도선 전체에서 고르게 저항을 받지만 물은 벽에 붙어 미끄러지지 못해(무점착 조건) 가운데만 빠른 포물선 분포가 되기 때문이다. 둘째, 옴 법칙은 넓은 범위에서 선형이지만 하겐-푸아죄유 법칙은 층류에서만 선형이다. 레이놀즈 수가 2300을 넘어 난류로 발달하면 압력차가 유량의 1.75제곱 남짓(블라시우스 어림)으로 커져, 관은 흐를수록 저항이 커지는 비선형 소자가 된다. 셋째, 물성이 놓이는 자리가 다르다 — 유체의 점성에 짝이 되는 것은 도선의 비저항이고 둘 다 온도를 탄다. 다만 유체 회로는 관과 액체를 따로 갈아 끼울 수 있는데, 금속 도선에서는 도선 하나가 그 둘을 겸한다.

이 대응은 은유가 아니라 설계 도구다. 미세유체(랩온어칩) 회로 설계는 채널망을 등가 회로로 바꿔 유량 분배를 계산하고, 혈류역학은 말초 저항과 동맥 순응도를 저항·축전기로 놓은 윈드케슬 모형으로 푼다. 유체 다이오드(테슬라 밸브)는 움직이는 부품 없이 한쪽으로만 잘 흐르게 하는 구조로, 관성이 큰 흐름에서만 듣는다. 반대로 상수도·가스 배관망 해석은 유비가 깨지는 쪽이다 — 압력–유량이 비선형이라 옴 법칙식 계산 대신 반복 보정법을 쓴다.

실험 설계

준비물

투명 페트병(넘침관을 단 정압 탱크), 안지름·길이가 다른 폴리에틸렌·실리콘 세관(50 cm 이상), 안지름 5~6 mm 투명 세로 관과 눈금자, 0.1 g 단위 전자저울과 비커, 스마트폰(타임랩스), 주방세제·식용색소, 캘리퍼스, 스탠드·집게, 물받이 트레이.

변인

독립변인은 관 양 끝의 압력차 ΔP(= 밀도 × 중력가속도 × 수두 h)이며, 관을 바꿀 때는 길이와 안지름 중 하나만 바꾼다. 종속변인은 부피 유량 Q(질량 증가율 ÷ 밀도)와 거기서 얻는 유체 저항 R = ΔP/Q, 배수 실험에서는 시간에 따른 수위 h이다. 통제변인은 물의 온도(점성이 민감하다), 세제 농도, 관 출구 높이, 관 안의 기포 유무이다.

실험 순서

  1. 병 옆면에 넘침관을 달아 수위를 일정하게 유지하는 정압 탱크를 만들고, 관 출구를 저울 위 비커로 떨어뜨린다. 30 s 동안 늘어난 질량을 밀도로 나누면 부피 유량 Q다(저울이 곧 전류계다). 세제를 한두 방울 풀어 관이 막히지 않게 한다.

  2. 관 하나를 고정하고 수두 h를 4~5단계로 바꿔 ΔP = ρgh와 Q를 짝지어 기록한다(조건마다 3회). ΔP–Q가 원점을 지나는 직선인지 본다.

  3. 길이만 두 배로 바꿔 R = ΔP/Q가 두 배가 되는지 본다. 이어서 길이를 고정한 채 안지름이 다른 관 3~4개로 R을 재되 50 cm 이상의 긴 세관을 쓴다 — 짧은 팁은 흐름이 자리 잡기 전에 끝나 기울기가 −4에 못 미친다.

  4. 같은 관 두 개를 이어 붙여(직렬) 저항이 더해지는지, 나란히 달아(병렬) 유량이 더해지는지 확인한다.

  5. 수두를 올리거나 굵고 긴 관(안지름 3~4 mm·길이 1 m 안팎)으로 바꿔 ΔP–Q 직선이 아래로 처지는 지점을 찾고, 그때의 평균 속도로 Re = ρvd/η를 계산한다.

  6. 세로 관에 색소 물을 채우고 아래에 가는 관을 달아 수위를 타임랩스로 찍는다(수두는 관 출구 기준). 이어서 ①의 페트병에서 관만 빼 맨 구멍 배수를 같은 방식으로 찍어 견준다.

안전 안내

⚠ 안전

끝이 뾰족한 주사기 바늘 대신 무딘 디스펜싱 팁이나 세관을 쓴다. 부득이 바늘을 쓸 때는 지도교사가 끼우고 빼며 사용 후 전용 용기에 폐기한다. 물 쓰는 작업대에는 콘센트 전원을 두지 않는다. 스마트폰은 물받이 트레이 밖 마른 자리에 두고, 전자저울은 방수 매트 위에 올려 물이 직접 닿지 않게 하며 비커는 넘치기 전에 비운다. 전기 저항 비교는 건전지 수준의 저전압으로만 하고, 흘린 물은 바로 닦는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

관의 안지름을 절반으로 줄이면 유량은 1/4로 줄까, 그보다 훨씬 더 줄까? 그리고 수두를 계속 높이면 ΔP–Q는 언제까지 직선일까?

자료 정리

②는 가로축 ΔP·세로축 Q로 그려 원점을 지나는 직선인지 보고 기울기의 역수를 유체 저항으로 삼는다. ③은 가로축 안지름·세로축 R를 로그로 바꿔 기울기를 읽는다(유체는 −4, 같은 굵기의 도선이라면 −2다). ⑤는 ②의 그래프를 큰 ΔP 쪽으로 이어 붙여 처지기 시작한 점에 Re를 적는다. ⑥은 같은 자료를 세로축 ln h와 √h 두 가지로 그린다. (수치는 측정으로 채우고 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

가는 관에서는 ΔP–Q가 원점을 지나는 직선이 되어 ‘액체를 위한 옴 법칙’이 서고, 직렬은 저항의 덧셈·병렬은 유량의 덧셈이 될 것이다. 그러나 R–안지름의 로그-로그 기울기는 −2가 아니라 −4로 나오고 수두를 높이면 직선이 아래로 처진다 — 유비가 어디까지 참인지 학생이 스스로 그은 이 경계선이 곧 결론이다. ⑥에서는 가는 관을 달았을 때만 ln h가 시간에 대해 직선(지수 감소, τ = RC)이 되고, 넓은 병의 맨 구멍 배수에서는 √h가 직선이 된다(토리첼리 법칙). 같은 물이라도 출구에 무엇을 매다느냐에 따라 RC 회로가 되기도, 전기에는 짝이 없는 제곱근 배수가 되기도 한다.

더 탐구하기

  1. 같은 관에 소금물을 채우고 저전압으로 전기 저항을 재어, 전기는 −2제곱·유체는 −4제곱을 따르는지 한 그래프에서 맞대어 보자.

  2. 글리세린을 섞어 점성을 키워 보자 — 유체 저항은 점성에 비례해 커진다. 전기 쪽에서 이에 맞는 조작은 같은 굵기·길이의 도선을 구리에서 니크롬으로 바꾸는 것이다.

  3. U자관에 물을 채워 출렁이게 하고 주기를 재어 보자 — 물의 관성이 인덕턴스, 중력이 축전기 노릇을 하는 LC 진동에 해당한다.

  4. 테슬라 밸브를 3D 프린터나 아크릴판으로 만들어 정방향·역방향 유량을 비교해 보자 — 전기 다이오드에 해당하는 유체 소자가 되는지 볼 수 있다.

연결 주제

같은 해 문제 12 ‘전기전도도’ — 소금물을 도선으로 삼는 문제라, 유체 저항을 잰 그 관에 소금물을 채우면 두 저항의 기하 의존(−4제곱 대 −2제곱)을 한 장치에서 맞댈 수 있다. 같은 해 문제 6 ‘멈췄다 가는 차량 흐름’은 유량 = 밀도 × 속도라는 기록법만 공유할 뿐, 흐름–밀도가 비선형이라 옴 법칙식 대응이 서지 않는다.

참고문헌

[학생] Greenslade, Phys. Teach. 41(8), 464–466, 2003, DOI 10.1119/1.1625205 (유비의 역사) / HyperPhysics ‘Water circuit analogy to electric circuit’ / 영상 검색어 “hydraulic analogy electric circuit”. [심화] Bobowski, Phys. Teach. 59(7), 560–565, 2021, DOI 10.1119/5.0038966 — 이 설계의 원판(가는 관 = 저항 8ηL/πr⁴, 열린 용기 = 축전기 A/ρg, τ = RC, 로그-로그에서 유체 −4 대 전기 −2) · Victoria 외, Am. J. Phys. 64(3), 322–326, 1996, DOI 10.1119/1.18222 (하겐-푸아죄유 법칙의 실험 검증·전기 유비) · Bauman, Phys. Teach. 18(5), 378–380, 1980, DOI 10.1119/1.2340542 (수동 소자 전체의 유압 모형 — LC 공진까지, 장치는 미제작) · Nguyen 외, Am. J. Phys. 89(4), 393–402, 2021, DOI 10.1119/10.0003395 (테슬라 밸브 = 유체 다이오드, Re~10³ 관성 흐름 — 유비의 한계) · Brkić·Praks, Appl. Sci. 9(10), 2019, DOI 10.3390/app9102019 (배관망은 압력–유량이 비선형 — 옴 법칙식 유비가 안 통함) · Oh 외, Lab Chip 12(3), 515–545, 2012, DOI 10.1039/c2lc20799k (미세유체 회로 설계) · Westerhof 외, Med. Biol. Eng. Comput. 47(2), 131–141, 2009, DOI 10.1007/s11517-008-0359-2 (윈드케슬 — 말초 저항 + 동맥 순응도). · Durbin, Am. J. Phys. 87(4), 305–309, 2019, DOI 10.1119/1.5086010 (맨 구멍과 긴 관 배수를 갈아 끼워 r⁴ 법칙을 시범; 입구 효과·수축류의 함정 정리) · Digilov, Am. J. Phys. 85(7), 510–514, 2017, DOI 10.1119/1.4983115 (운동에너지 보정으로 지수 배수를 벗어나는 거동을 해석). ※ 개방 지점 — Bobowski는 유체 용량이 이론값보다 평균 14 % 낮은 까닭을 확정하지 못했다. 배수 곡선이 ln h에서 √h로 갈아타는 임계 관지름을 학생 장비로 짚은 보고도 드물다.

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