작을수록 잘 뜬다 — 소금쟁이 뗏목

탐구 주제

IYPT 2002 문제 5 ‘Pond-skater’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2002 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「여러 가지 힘」(표면장력·부력) / 고등학교 통합과학1 「물질과 규칙성」(물의 표면장력)·「시스템과 상호작용」(힘의 평형) · 과학탐구실험1(측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」 · 진로선택 「역학과 에너지」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

표면장력, 접촉선, 접촉각, 메니스커스, 부력, 아르키메데스 원리의 확장, 모세관 길이, 본드 수, 보두앵 수, 임계 하중, 초소수성, 모세관파의 최소 속도, 조파 저항, 부가 질량

원리 살펴보기

물보다 무거운 쇠바늘이 물 위에 뜨는 것은 물이 그 무게를 이겨서가 아니다. 물에 젖지 않는 물체가 놓이면 수면은 트램펄린처럼 옴폭 눌리고, 그 골에 들어가 있어야 할 물의 무게만큼이 물체를 떠받친다. 켈러가 아르키메데스 원리를 확장해 보인 결론이 이것이다 — 위로 미는 힘의 총합은 접촉선 안쪽과 바깥 메니스커스가 밀어낸 물의 무게를 합한 값과 같다. ‘표면장력이 떠받친다’와 ‘부력이 떠받친다’는 다른 두 힘이 아니라 같은 골을 안팎으로 나눠 센 것이다. 물이 테두리를 넘어 덮는 순간 골이 사라지고 뗏목은 곧바로 가라앉는다.

그렇다면 소금쟁이는 왜 하나같이 작을까? 테두리(접촉선)의 길이는 크기의 한 제곱으로 늘지만 무게는 세제곱으로 는다. 그래서 무게를 접촉선의 최대 표면장력으로 나눈 보두앵 수 Ba = Mg/γP는 크기의 제곱으로 나빠진다. 물보다 무거운 속 찬 몸이 표면장력만으로 정지해 뜨려면 Ba < 1이어야 하는데, 실제 소금쟁이는 약 0.03, 캔 알루미늄으로 만든 로봇 소금쟁이는 0.08이다. 경계는 모세관 길이 √(γ/ρg), 물에서 약 2.7 mm — 본드 수 Bo = ρgL²/γ가 1이 되는 크기다. 몇 cm짜리 뗏목은 이보다 훨씬 크므로 지지력의 대부분은 눌러 만든 배제 부피의 부력이고, 표면장력은 그 골이 무너지지 않게 접촉선을 테두리에 붙들어 두는 몫을 맡는다. 모세관 길이보다 가는 물체라면 같은 부피라도 가늘고 길게 편 쪽이 더 잘 뜬다.

이 원리는 수면 이동 로봇(캔 알루미늄 0.35 g 몸체에 발수 철사 다리를 단 로보스트라이더), 초소수성 코팅(같은 강철 고리도 코팅하면 뜨고 안 하면 가라앉는다), 미소 부품의 액면 자기조립(수면의 작은 조각들이 메니스커스 힘으로 스스로 배열된다), 선박의 선형 설계(조파 저항을 줄이는 일)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

알루미늄 캔이나 알루미늄박, 지름 0.2~0.5 mm 가는 철사, 발수 스프레이 또는 양초 왁스, 0.01 g까지 읽는 전자저울, 클립·쌀알처럼 조금씩 얹을 작은 추, 넓고 얕은 투명 용기와 증류수, 핀셋, 자와 모눈 배경지, 스마트폰, 가는 실, 주방 세제 소량.

변인

독립변인은 뗏목의 접촉선 총길이(테두리 둘레 + 슬릿 가장자리 2 × 슬릿 길이)이다 — 바닥 넓이와 테두리 높이를 고정한 채 모양만 길쭉하게 바꿔 조절한다(질량만 맞추면 테두리가 길수록 바닥이 좁아져 두 몫이 뒤섞인다). 종속변인은 가라앉기 직전까지 얹는 임계 하중이다. 통제변인은 바닥 넓이와 테두리 높이, 재질과 두께, 발수 처리 방법과 횟수, 물의 온도, 수면의 청결, 추를 얹는 위치, 벽에서 떨어진 거리이다. 동적 관찰에서는 독립변인을 끄는 속도로 바꾼다.

실험 순서

1. 바닥 넓이를 같게 맞춘 뗏목 서너 종을 만든다 — 정사각형(예: 안쪽 56×56 mm), 가늘고 긴 직사각형(28×112 mm), 그리고 안쪽에 폭 2 mm 이하 슬릿을 낸 형태다. 슬릿이 그보다 좁으면 수면이 건너 이어져 바닥 넓이 계산이 그대로 선다. 테두리는 1~2 mm 접어 올리고, 저울로 질량을, 자로 접촉선 총길이를 잰다 — 슬릿 가장자리도 물이 매달리는 접촉선이니 양쪽 길이를 함께 더한다(로봇 소금쟁이도 캔 알루미늄과 철사로 만들었다).

2. 발수 스프레이를 환기되는 곳에서 얇게 뿌려 완전히 말리거나 녹인 양초 왁스에 담갔다 뺀다. 처리하지 않은 같은 모양의 뗏목을 대조군으로 함께 만든다.

3. 용기 벽에서 멀리 떨어진 수면에 뗏목을 살며시 띄우고, 추를 중심에 한 알씩 얹어 가라앉는 순간의 총질량을 읽는다. 조건마다 3회 반복하되 매 회 말린다 — 젖은 채로 다시 쓰면 값이 낮게 나온다.

4. 옆에서 촬영해 뗏목이 내려앉은 깊이와 수면이 꺾인 각을 읽고, 모세관 길이 √(γ/ρg)와 견준다.

5. 빈 뗏목에 실을 매어 느리게 끌다가 속도를 올리며 위에서 촬영해, 어느 속도부터 앞뒤로 잔물결이 뚜렷해지는지 본다. 이어서 뗏목을 살짝 눌렀다 놓고 상하 진동의 주기를 고속 촬영으로 잰다.

6. 세제를 아주 조금 풀어 표면장력을 낮춘 물에서 3단계를 반복해 임계 하중의 변화를 확인한다.

안전 안내

발수 스프레이는 반드시 야외나 창을 활짝 연 곳에서 짧게 뿌리고 안개를 들이마시지 않는다 — 밀폐된 곳에서 흡입하면 폐를 다칠 수 있다. 캔을 자른 단면과 철사 끝은 매우 날카로우니 장갑을 끼고 자르며 끝을 접어 둔다. 양초 왁스는 중탕으로 녹이고 인화성 스프레이를 불꽃 곁에 두지 않는다. 물을 엎지르면 곧바로 닦고 전자저울과 콘센트는 물에서 멀리 둔다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

바닥 넓이를 같게 맞춘 정사각형 뗏목과 가늘고 긴 뗏목 가운데 어느 쪽이 더 무거운 짐을 견딜까? 그리고 발수 처리를 하지 않은 뗏목은 임계 하중이 조금 줄어드는 데 그칠까, 아니면 아예 뜨지도 못할까?

자료 정리

조건마다 질량·접촉선 총길이·바닥 넓이·임계 하중을 표로 모은다. 이 크기에서는 총 지지력(임계 하중 + 뗏목 무게)의 대부분이 배제 부피의 부력이므로, 먼저 「바닥 넓이 × 함몰 깊이 × 물의 밀도 × g」를 총 지지력에서 빼낸다. 남은 잔차를 세로축, 접촉선 총길이를 가로축으로 찍어 원점을 지나는 직선이 되는지 보고 기울기를 γ sinθ와 견준다. 발수 여부와 세제 조건은 기호로 구분한다. (수치는 실제 측정으로 채우고, 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

바닥 넓이를 맞춰 두면 테두리가 길수록 임계 하중이 조금씩 커지고, 발수 처리를 하지 않은 뗏목은 물이 테두리를 넘어 들어오면서 지지력이 급격히 무너질 것으로 예상된다. 뜨는 힘의 정체가 ‘뗏목이 눌러 만든 골에 들어가 있어야 할 물의 무게’라는 뜻으로, 표면장력은 그 골이 무너지지 않게 접촉선을 붙들어 두는 몫을 맡는다. 크기를 키우면 무게는 세제곱, 테두리는 한 제곱으로 늘어 보두앵 수가 제곱으로 나빠진다 — 소금쟁이가 작은 이유다. 상하 진동의 주기는 딸려 움직이는 물의 부가 질량 때문에 뗏목만으로 계산한 값보다 훨씬 길게 나온다.

더 탐구하기

1. 테두리 높이를 0부터 몇 mm까지 바꿔 가며, 물이 넘어오기 전까지 얼마나 깊이 눌러 앉는지 재어 모세관 길이와 견주어 보자.

2. 물 대신 알코올을 섞은 물이나 소금물로 바꿔, 표면장력과 밀도가 함께 변할 때 임계 하중이 어느 쪽을 따라가는지 조사해 보자.

3. 뗏목에 고무줄로 감은 도르래와 노 젓는 다리를 달아 스스로 나아가게 만들되, 다리 길이당 힘을 2γ보다 작게 유지해 수면을 뚫지 않도록 하자.

4. 뗏목을 둘 이상 띄워 서로 끌려가는지 보고, 임계 하중을 잴 때 벽과 이웃에서 떨어뜨려야 하는 이유를 확인해 보자.

연결 주제

같은 해 문제 2 「거미줄의 구슬」 — 표면장력이 주인공인 짝 문제로 접사 촬영 기법을 나눠 쓸 수 있다. 같은 해 문제 11 「평형」은 볼록한 메니스커스 위 탁구공을 다루는데, 여기서 익힌 지지력 계산이 그대로 쓰인다. 완성 원고 「뜨는 압정」(IYPT 2012 문제 7)과는 부양 원리가 같지만, 그쪽은 뜬 물체끼리 끌리는 측방 모세관력이 주제다.

참고문헌

[학생] D. Naylor·S. S. H. Tsai, “Archimedes’ principle with surface tension effects in undergraduate fluid mechanics,” Int. J. of Mechanical Engineering Education 50(3), 749–763, 2022, DOI 10.1177/03064190211055431 (초소수성 코팅한 강철 고리는 뜨고 안 한 것은 가라앉는다; 모세관 길이 ≈ 2.7 mm) / 영상 검색어 “Robostrider MIT” / [심화] J. W. M. Bush·D. L. Hu, “Walking on water,” Annual Review of Fluid Mechanics 38, 339–369, 2006, DOI 10.1146/annurev.fluid.38.050304.092157 (보두앵 수 Ba = Mg/γP, Ba ∝ L²; 총 지지력 = 접촉선 안팎에서 밀어낸 물의 무게 합; 모세관파 최소 속도 23 cm/s) · D. L. Hu 외, “Water-walking devices,” Experiments in Fluids 43, 769–778, 2007, DOI 10.1007/s00348-007-0339-6 (캔 알루미늄 0.35 g 몸체 + 발수 철사 다리, Ba = 0.08; 다리 길이당 힘 30 dyn/cm < 2γ) · E. Bormashenko, J. of Colloid and Interface Science 463, 8–12, 2016, DOI 10.1016/j.jcis.2015.10.031 (모세관 길이보다 가는 물체에서는 가늘고 길수록 잘 뜬다) · X. Gao·L. Jiang, Nature 432, 36, 2004, DOI 10.1038/432036a (다리 하나가 152 dyn ≈ 몸무게의 15배) · D. L. Hu 외, Nature 424, 663–666, 2003, DOI 10.1038/nature01793 (운동량은 파동이 아니라 소용돌이가 나른다 — 23 cm/s는 이동의 하한이 아니다). · D. Vella, “Floating versus sinking,” Annual Review of Fluid Mechanics 47, 115–135, 2015, DOI 10.1146/annurev-fluid-010814-014627 (뗏목의 임계 밀도·크기와 놓는 방식을 다룬 총설). ※ 임계 하중 이론과 초소수성 소형 보트의 적재 한계 실측은 이미 있으나, 테두리 높이와 접촉선 길이를 독립으로 바꿔 표면장력 몫과 부력 몫을 갈라 낸 계통 측정은 찾지 못했다 — 개방 지점이다.