아무 일도 없는데 멈춘다 — 유령 정체

탐구 주제

IYPT 2002 문제 6 ‘Stop and start’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2002 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「운동과 에너지」(속력·등속 운동) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학 시스템) · 과학탐구실험1(영상 분석·측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」 · 진로선택 「역학과 에너지」 — 흐름의 불안정과 비평형 상전이는 교육과정 밖 심화 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

교통 흐름, 유령 정체, 정체파(교통 충격파), 임계 밀도, 선형 불안정성, 비평형 상전이, 준안정 상태, 기본 다이어그램(밀도–유량 관계), 시공간 다이어그램, 차간 거리, 반응 지연 시간, 세포자동자, 고립파

원리 살펴보기

앞에 아무 일도 없는데 왜 차들이 갑자기 멈췄다 다시 출발할까? “저 앞에 사고나 공사가 있겠지” 싶지만, 막상 빠져나와도 아무것도 없다. 물리학자들이 실제로 확인한 답은 더 이상하다 — 둘레 230 m 원형 트랙에 자동차 22대를 늘어놓고 30 km/h로 달리게 했더니, 장애물이 없는데 몇 분 만에 정체가 생겼다. 병목은 방아쇠일 뿐 정체의 본질이 아니었다.

진짜 원인은 흐름 자체의 불안정이다. 간격이 넉넉하면 누가 살짝 브레이크를 밟아도 뒷차가 흡수해 요동이 사그라든다. 그러나 밀도가 어떤 문턱(임계 밀도)을 넘으면 똑같은 요동이 뒤로 갈수록 커진다 — 사람의 반응이 늘 조금 늦고, 늦은 만큼 더 세게 밟기 때문이다. 자란 요동은 끝내 몇 대를 멈춰 세운다. 여기서 부호가 중요하다. 멈춤 덩어리의 앞쪽 차는 빠져나가고 뒤쪽에는 새 차가 들어오므로, 차는 앞으로 가는데 덩어리 자체는 뒤로 이동한다. 실험에서 이 정체파는 뒤로 약 20 km/h로 옮겨 갔고, 이는 실제 고속도로에서 재는 값과 같다.

요동이 저절로 자라는 이 성질은 여러 분야에서 같은 문제로 되풀이된다. 고속도로 교통 관리(가변 속도 제한을 미리 걸어 정체파를 지운다), 자율주행 차간 거리 제어(원형 트랙의 20여 대 중 단 한 대만 부드럽게 달리게 해도 정체파가 잦아들었다), 군중·보행자 안전(한 줄로 걷는 사람들도 밀도가 높아지면 같은 멈춤–출발 파동을 만든다), 공급망의 채찍 효과(소비 쪽 작은 변동이 상류로 갈수록 커진다)가 모두 같은 얼개로 다뤄진다.

실험 설계

준비물

라바콘과 분필(또는 색테이프), 줄자, 번호표와 안전핀, 스마트폰과 삼각대, 초시계, 무료 영상 분석 프로그램을 쓸 수 있는 노트북, 스프레드시트나 파이썬이 되는 컴퓨터, 참가자 8~32명.

변인

독립변인은 트랙 위 참가자의 선형 밀도(명/m)이며, 뒤에서는 시선 조건(바로 앞사람만 보기 / 앞으로 서너 명까지 보기)을 따로 바꾼다. 종속변인은 평균 걸음 속도, 규칙적인 정지가 처음 나타나는 밀도, 시공간 다이어그램에서 읽은 정체의 이동 속도와 그 부호이다. 통제변인은 트랙의 폭, 촬영 위치와 프레임률이며(둘레는 ③에서 밀도를 조절하는 레버로 쓴다), 참가자에게 주는 지시는 앞 단계에서는 통제하고 뒤 단계에서는 시선 조건만 바꾼다.

실험 순서

1. 체육관이나 운동장 바닥에 라바콘과 분필로 한 줄 통로(폭 0.8 m 안팎)를 원이나 타원으로 표시하되, 둘레는 인원을 1.7로 나눈 길이 이하로 잡는다(24명이면 약 14 m) — 보행 실험에서 규칙적 정지가 나타난 밀도가 1.7명/m 안팎이다. 참가자 등에 번호표를 붙이고 아주 낮은 밀도에서 한 바퀴씩 걸어 각자의 자유 보행 속도를 재 둔다 — 나중에 느린 한 사람이 병목 노릇을 했는지 가릴 근거가 된다. 트랙 전체가 한 화면에 들어오는 높은 자리에 스마트폰을 고정해 촬영한다.

2. 지시는 두 가지만 준다 — “앞사람을 안전하게 따라가되 추월하지 말 것”, “평소 걸음 속도를 유지할 것”. 멈추라는 구령이나 신호는 주지 않는다(원형 트랙 자동차 실험도 같은 지시만 썼다).

3. 먼저 전원이 참가한 채 라바콘을 좁혀 둘레만 줄이며 밀도를 올린다(선형 밀도 = 인원 ÷ 둘레). 이어 둘레를 고정하고 인원만 늘려 한 번 더 훑어, 두 방식의 임계 밀도가 맞는지 견준다 — 어긋나면 밀도가 아니라 누가 끼었는지가 원인이라는 뜻이다. 조건마다 고르게 늘어선 상태에서 2분씩 촬영한다.

4. 영상 분석 도구로 프레임마다 참가자의 위치를 트랙을 따라 읽어, 가로축 시간·세로축 위치의 시공간 다이어그램에 궤적을 겹쳐 그린다. 멈춤이 모인 띠의 기울기에서 정체가 옮겨 가는 속도와 그 부호를 구한다.

5. 규칙적인 정지가 처음 나타난 밀도에서 시선 조건만 바꿔 3회씩 반복한다 — (가) 바로 앞사람만 보고 따라가기, (나) 앞으로 서너 명까지 보며 걷기.

6. 같은 밀도 훑기를 세포자동자로 재현한다 — 가속, 앞차와의 거리만큼 감속, 확률 p로 한 칸 감속, 이동의 네 규칙을 스프레드시트나 파이썬으로 돌려 본다.

안전 안내

실제 도로변이나 육교에서 차량 흐름을 촬영하지 않는다 — 이 탐구는 전부 학교 안에서 한다. 밀도가 높아지면 뒷사람이 앞사람 발뒤꿈치를 밟을 수 있으니 뛰지 않기·밀지 않기를 약속하고, 신발끈을 묶고 바닥의 물기와 장애물을 치운다. 진행자는 트랙 밖에서 지켜보다 넘어짐이나 어지럼이 보이면 즉시 중지시킨다. 무릎·발목이 불편하거나 밀집이 힘든 학생은 촬영·분석을 맡는다. 영상에 얼굴이 담기므로 참가자 동의를 받고 수업 밖으로 공유하지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

참가자를 조금씩 늘리면 어느 순간부터 아무도 멈추라 하지 않았는데 멈춤이 나타날 것이다. 그 멈춤의 자리는 사람들과 같은 방향으로 갈까, 반대로 갈까?

자료 정리

조건마다 선형 밀도를 가로축, 평균 걸음 속도를 세로축으로 찍어 기본 다이어그램을 만들고, 같은 자료로 밀도–유량(밀도×속도) 그래프도 그린다. 시공간 다이어그램은 가로축을 시간, 세로축을 위치로 잡는다. 사람의 궤적은 오른쪽 위로 오르고 멈춤이 모인 띠는 오른쪽 아래로 내려가는데, 이 띠의 기울기가 곧 정체의 이동 속도이고 음수라는 것이 뒤로 간다는 뜻이다. (수치는 실제 측정으로 채우고, 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

밀도가 낮을 때는 누가 잠깐 느려져도 곧 원래대로 돌아가지만, 어느 밀도부터는 아무 신호가 없어도 규칙적인 멈춤이 나타날 것이다(한 줄 보행 실험은 대략 1.5명/m를 넘으면 규칙적인 정지가 나타난다고 보고했다). 가장 중요한 결과는 부호다 — 사람은 앞으로 걷는데 멈춤의 자리는 뒤로 옮겨 간다. 정체는 옮겨 다니는 ‘물체’가 아니라 흐름을 거슬러 퍼지는 파동이라는 뜻이다. 트랙 어디에도 병목이 없었다는 사실은 병목이 방아쇠일 뿐 원인이 아님을 보여 준다. 시선 조건에서 앞을 여러 명 볼 때 멈춤이 줄어든다면, 불안정을 키우는 것이 반응 지연이라는 설명을 뒷받침한다.

더 탐구하기

1. 세포자동자에서 차들을 고르게 늘어놓은 뒤 무작위 감속 확률 p를 0으로 두고 돌려 보자 — 요동이 사라지면 정체도 사라지는지 확인할 수 있다.

2. 한 사람에게만 “간격을 넉넉히 두고 부드럽게 걸으라”고 지시해 그 한 명이 정체파를 지울 수 있는지 보자(자율주행차 한 대 실험의 축소판).

3. 같은 인원으로 트랙 둘레를 줄여 밀도를 더 올리고, 임계 밀도가 트랙 길이에 따라 달라지는지 확인해 보자.

4. 온라인 교통 시뮬레이터에서 원형 도로의 밀도를 올려 임계 밀도와 정체파 속도를 읽고, 우리 트랙의 값과 견주어 보자.

연결 주제

2020년 문제 15 ‘소금·후추 통’ — 알갱이가 구멍 앞에서 아치를 만들어 막히는 현상이라 ‘병목이 있어야 막힌다’는 쪽의 본보기다. 병목 없이 생기는 이 문제의 정체와 나란히 놓으면 두 종류의 막힘이 갈린다. 같은 해 문제 7 ‘액체에서의 옴 법칙’과는 흐름을 밀도와 유량으로 기술하는 언어를 공유한다.

참고문헌

[학생] 온라인 교통 시뮬레이터 traffic-simulation.de(원형 도로의 밀도를 올려 정체파를 직접 만들어 볼 수 있다 — Sugiyama 논문 각주에 실린 자료) / 영상 검색어 “traffic jam circular track” / [심화] Sugiyama 외, New J. Phys. 10, 033001, 2008, DOI 10.1088/1367-2630/10/3/033001 (둘레 230 m·차 22대·목표 30 km/h — 병목 없이 정체 발생, 덩어리는 뒤로 약 20 km/h) · Tadaki 외, New J. Phys. 15, 103034, 2013, DOI 10.1088/1367-2630/15/10/103034 (저밀도 자유 흐름·고밀도 정체·중간 준안정) · Portz & Seyfried, Pedestrian and Evacuation Dynamics 2010, 577–586, 2011, DOI 10.1007/978-1-4419-9725-8_52 (둘레 17.3 m·26 m 한 줄 통로 보행 실험 — 1.5명/m를 넘으면 규칙적 정지, 파동은 진행 방향과 반대) · Nagel & Schreckenberg, J. Phys. I France 2, 2221–2229, 1992, DOI 10.1051/jp1:1992277 (세포자동자 네 규칙 — 밀도가 오르면 정지–출발파로 전이) · Treiber 외, Physica A 360, 71–88, 2006, DOI 10.1016/j.physa.2005.05.001 (반응 지연은 불안정을 키우고, 여러 대 앞을 보면 상쇄) · Stern 외, Transp. Res. C 89, 205–221, 2018, DOI 10.1016/j.trc.2018.02.005 (자율주행차 한 대로 정체파 감쇠) · Helbing, New J. Phys. 5, 90, 2003, DOI 10.1088/1367-2630/5/1/390 (교통 불안정으로 채찍 효과 설명) · Hegyi & Hoogendoorn, IEEE ITSC 2010, 519–524, DOI 10.1109/ITSC.2010.5624974 (충격파 이론 기반 가변 속도 제한 현장 시험). ※ 임계 밀도와 정체파 속도는 잘 정리돼 있으나, ‘앞을 몇 명까지 보는가’로 임계 밀도가 얼마나 옮겨 가는지 잰 실험은 찾지 못했다 — 모형 계산(Treiber)뿐이고, 가시거리를 제한한 보행 실험(Cao 외, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 69, 329, 2019)도 조작 변인이 빛 투과율이라 ‘몇 명까지 보는가’와 다르다. ⑤가 개방 지점이다.