2026년 9월 30일 · 용티IYPT 2001 · 문제 11 · 강체·회전, 역학·진동

속도는 맞바꾸고 회전은 남는다 — 굴러가는 두 공

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 2001 문제 11 ‘Rolling balls’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2001 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘과 운동」·「일과 에너지 전환」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템)·과학탐구실험1(측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」(운동량 보존과 충돌)·진로선택 「역학과 에너지」(시공간과 운동) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

구름 운동(굴림), 굴림 조건, 유효 반지름, 관성 모멘트, 유효 관성, 각속도, 각운동량 보존, 운동량 보존, 반발 계수, 탄성·비탄성 충돌, 운동 마찰력, 돌림힘(토크), 미끄럼–굴림 전이, 구름 저항

원리 살펴보기

평평한 바닥에서 부딪친 두 공은 시원하게 튕겨 나간다. 그런데 90° V자 홈에서는 왜 부딪친 자리에 거의 멈춰 서 버릴까? 열쇠는 홈이 공을 두 줄로 받친다는 데 있다. 반지름 R인 공을 90° 홈에 놓으면 두 접촉선은 공이 도는 축에서 R/√2만큼 아래에 생긴다. 미끄러지지 않고 구르려면 v = ω·(R/√2)여야 하므로, 같은 속도로 나아가도 각속도는 평면에서보다 √2배 커지고 회전 에너지는 두 배가 된다. 병진과 회전을 합친 운동 에너지가 평면에서는 ½mv²의 1.4배인데 90° 홈에서는 1.8배다. 홈 속의 공은 질량이 1.8배인 물체처럼 굼뜨다 — 유효 관성이 커진 것이다.

충돌은 두 중심을 잇는 수평선을 따라 0.1 ms도 안 되는 사이에 끝난다. 그 힘의 작용선이 각 공의 중심을 지나므로 회전을 바꿀 돌림힘이 없다 — 속도는 맞바꾸지만 회전은 그대로 남는다. 그래서 충돌 직후 두 공은 뒤로 밀려나면서도 앞으로 가려는 회전을 지닌 채 미끄러진다. 마찰이 그 어긋남을 지우는 동안 병진은 느려지고 회전은 뒤집히며, 접촉선에 대한 각운동량은 보존되므로 최종 속도가 바로 나온다 — 처음 속도의 (4−5e)/9배이며(e는 반발 계수), 양수면 서로 다가가 다시 부딪치는 방향, 음수면 멀어지는 방향이다. 90° 홈에서 부호가 갈리는 문턱은 e = 0.8이고, 크기는 금속 쌍이면 처음의 10% 안팎이다 — 다만 이 식은 속이 꽉 찬 균질 구(관성 모멘트 2mR²/5) 기준이다. 속 빈 껍질은 관성 모멘트가 2mR²/3이라 남는 속도가 (4−3e)/7로 더 크고, 반발이 아무리 좋아도 처음의 1/7 아래로 내려가지 않는다.

접촉 기하가 굴림의 관성과 마찰을 정한다는 관점은 산업에도 있다. 볼 베어링과 리니어 가이드(홈의 접촉각이 유효 반지름과 구름 저항을 정한다), 당구와 볼링(친 공이 미끄러지다 굴림으로 정착할 때 속도가 5/7이 되는 계산이 같다), 정밀 기계의 V홈 운동학적 결합(구와 홈의 접촉만으로 자유도를 묶어 광학 마운트를 늘 같은 자리에 앉힌다), 알갱이 거동 시뮬레이션(DEM)(반발 계수와 마찰 계수만으로 수많은 알갱이 충돌을 계산한다)이 그렇다.

실험 설계

준비물

1 m짜리 알루미늄 등변 L자 앵글(날개 30 mm)과 발사 램프용 짧은 앵글 2개, 클램프·수평계·얇은 심, 지름 20~25 mm의 똑같은 공 여러 쌍(강구·황동구·알루미늄구·유리구슬·나무구슬)과 지름 40 mm 탁구공 한 쌍, 캘리퍼스, 240 fps 슬로모션이 되는 스마트폰과 삼각대, 눈금자, 공을 받을 상자와 수건.

변인

독립변인은 공 쌍의 재질이다(같은 재질끼리 짝지어 반발 계수가 다른 쌍을 만든다). 종속변인은 미끄럼이 끝나고 정상 굴림에 이르렀을 때의 최종 속도로, 크기와 방향(멀어짐·되돌아옴)을 함께 적는다. 통제변인은 홈의 열림각(90°)과 수평, 공의 지름, 충돌 직전 속도, 표면의 청결도이고, 한 쌍의 두 공은 지름과 질량이 같아야 한다. 심화에서는 충돌 직전 속도나 접촉선 간격을 독립변인으로 바꾼다.

실험 순서

  1. 앵글을 꼭짓점이 아래로 가게 놓아 90° V홈을 만들고, 수평계와 심으로 1 m 전체를 수평에 맞춘다. 접촉선은 꼭짓점에서 날개를 따라 공의 반지름만큼 올라간 자리이므로(지름 25 mm면 12.5 mm), 날개 30 mm면 넉넉하다.

  2. 양 끝에 짧은 앵글을 이어 발사 램프를 만들고, 같은 낙차에서 두 공을 동시에 놓아 홈 한가운데에서 부딪치게 한다. 유효 관성 1.8을 넣은 에너지 보존으로는 충돌 직전 0.5 m/s에 낙차 약 2.3 cm면 된다(속 빈 쌍은 유효 관성이 2.33이라 같은 속도에 3.0 cm).

  3. 스마트폰을 삼각대에 고정해 240 fps 슬로모션으로 찍고, 화면 안에 눈금자를 두어 척도를 남긴다. 0.5 m/s면 한 프레임에 약 2 mm씩 움직여 속도가 갈리지만, 30 fps로는 전이가 대여섯 프레임에 뭉개진다.

  4. 공 표면에 지름을 따라 굵은 선을 긋고, 프레임마다 중심 위치와 표식의 기울기를 읽어 속도와 각속도를 구한다. 두 값이 굴림 조건을 되찾는 시각과 그때까지 움직인 거리를 잰다. 그 뒤로는 구름 저항이 속도를 갉아먹으므로, 회복 직후 20~40프레임을 직선으로 맞춰 전이 시각으로 외삽한 값을 최종 속도로 삼는다.

  5. 재질 쌍을 바꿔 ②~④를 되풀이한다(쌍마다 5회 이상). 반발 계수는 충돌 영상에서 직접 구한다 — 접근·분리 상대속도의 비를 충돌 시각으로 외삽해 읽으면 식이 요구하는 공–공 값이 그대로 나온다. 판에 떨어뜨려 튀어오른 높이로 어림한 값은 공–판 값이라 장치·재질 점검용으로만 쓴다.

안전 안내

⚠ 안전

강구·유리구슬이 홈 끝에서 굴러떨어져 발등을 칠 수 있으니 양 끝에 수건을 깐 상자를 받친다. 유리구슬은 깨지면 파편이 튀므로 보안경을 쓰고, 조각은 손 대신 빗자루로 치운다. 앵글의 절단면과 모서리는 날카로우니 사포로 다듬는다. 공을 놓고 꺼낼 때 두 공 사이나 앵글과 공 사이에 손가락이 끼이지 않게 한다. 앵글과 램프는 클램프로 고정하고, 전선은 발에 걸리지 않게 정리한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

부딪친 두 공은 서로 멀어질까, 아니면 잠깐 물러났다가 되돌아와 다시 부딪칠까?

자료 정리

프레임별 중심 속도와 접선 속도(각속도×R/√2)를 시간에 대해 한 그래프에 그리면, 충돌 직후 어긋났던 두 직선이 다른 기울기로 다가가 한 점에서 만나는 개형이 나온다. 만나는 시각이 미끄럼–굴림 전이 시점이고, 두 기울기에서 운동 마찰 계수를 구해 견준다. 재질 비교는 가로축을 영상에서 직접 잰 공–공 반발 계수, 세로축을 최종 속도÷충돌 직전 속도로 놓고 (4−5e)/9 직선과 맞춘다(속 빈 쌍은 (4−3e)/7 직선과 맞춘다). (수치는 실제 측정으로 채운다 — 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

충돌 직후에는 오던 속도 그대로 튕기지만, 0.2초 남짓·수 cm 안에서 크게 느려져 최종 속도가 금속 쌍이면 처음의 10% 안팎에 머무를 것으로 예상된다. 충돌이 속도만 맞바꾸고 회전에는 손대지 못한 탓이며, 그 어긋남을 마찰이 지우는 동안 운동 에너지의 95%가 넘는 몫이 열로 흩어지기 때문이다. 방향은 반발 계수가 가른다 — 90° 홈에서 계산한 문턱은 0.8이라, 강철처럼 잘 튀는 쌍은 멀어지고 나무처럼 덜 튀는 쌍은 되돌아와 다시 부딪칠 것으로 보인다. 속이 빈 탁구공은 반발 계수와 상관없이 되돌아오는 쪽이다. 다만 문턱 근처의 쌍은 남는 속도가 너무 작아 구름 저항이 결말을 가로챌 수 있다. 예상과 어긋나면 홈의 수평과 청결도를 먼저 의심하자.

더 탐구하기

  1. 봉 두 개를 나란히 놓아 접촉선 간격을 넓혀 가며 되풀이해 보자 — 계산상 간격이 공 반지름의 약 1.55배를 넘으면 잘 튀는 쌍도 되돌아와 다시 부딪치게 된다.

  2. 속이 빈 탁구공과 속이 찬 공을 견줘 보자. 껍질은 관성 모멘트가 커서, 90° 홈에서는 반발 계수가 아무리 커도 되돌아오는 쪽으로 계산된다.

  3. 충돌 직전 속도를 두세 배로 바꿔, 전이 거리가 속도의 제곱에 비례하고 마찰 계수에 반비례하는지 확인해 보자.

  4. 한 공은 세워 두고 다른 공만 굴려 부딪쳐 보자 — 대칭이 깨지면 운동이 처음 속도와 질량비에까지 의존한다.

연결 주제

IYPT 2005년 문제 2 ‘멈춘 두 공’이 같은 V홈과 같은 공을 쓰지만, 그쪽은 정지 마찰이 두 공을 서로 잠그는 정역학이고 이쪽은 부딪친 뒤 운동 마찰이 회전과 병진을 다시 맞추는 동역학이다. 2025년 문제 3 ‘라토 라토’도 두 공이 되풀이해 부딪치지만, 거기서는 밖에서 넣은 에너지가 진폭을 키운다.

참고문헌

[학생] OpenStax 대학물리 1권 11.1 ‘Rolling Motion’(굴림 조건과 회전 관성)·10.5 ‘Calculating Moments of Inertia’ / 영상 분석 도구 Tracker / 영상 검색어 “two balls colliding in a groove”, “rolling to sliding transition” / [심화] S. Gröber, J. Sniatecki, “Collision of two balls in a groove: an interplay between translation and rotation,” European Journal of Physics 41(3), 035002 (2020), DOI 10.1088/1361-6404/ab5d93 (수평 홈 두 공의 3차원 강체 해석. 접촉선 간격이 임계값 √(12/5)·R보다 작으면 멀어지고 크면 되돌아온다 — 90° V홈은 √2·R로 그 바로 아래다. 100 fps 분석, 운동 마찰 계수 0.17) · A. Doménech, E. Casasús, “Frontal impact of rolling spheres,” Physics Education 26(3), 186–189 (1991), DOI 10.1088/0031-9120/26/3/010 (홈 위 굴림 구의 비탄성 정면 충돌 — 반발·마찰 계수로 전이 후 속도를 유도하고, 알루미늄 0.69·황동 0.72·강철 0.95의 반발 계수를 실측) · C. Hanisch, F. Hofmann, M. Ziese, “Linear momentum, angular momentum and energy in the linear collision between two balls,” European Journal of Physics 39(1), 015003 (2018), DOI 10.1088/1361-6404/aa9036 (30~240 fps 영상 분석 학부 실습 — 굴림 반지름이 두 영역을 가른다). ※ 문헌은 탄성 충돌을 가정하고 홈 폭을 축으로 삼았다 — 반발 계수를 축으로 한 90° 홈의 문턱 0.8, 속 빈 공의 거동, 문턱 근처에서 구름 저항이 결말을 뒤집는지는 위 모형에서 끌어낸 예측일 뿐 직접 측정한 보고를 찾지 못했다. 이 탐구의 개방 지점이다.

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