소용돌이가 뚫는 공기 길 — 병 비우기

탐구 주제

IYPT 2001 문제 9 ‘Pouring out’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2001 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「기체의 성질」(압력)·「운동과 에너지」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템)·과학탐구실험1(측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」(일과 역학적 에너지 보존 — 유체의 유출)·진로선택 「역학과 에너지」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

토리첼리 정리, 유출 속도, 유출계수(discharge coefficient), 대기압, 기체의 압축성, 역류 유동, 플러딩(flooding)·슬러깅, 꿀럭임(glug-glug) 주기, 레일리–테일러 불안정, 표면장력, 원심 효과, 자유표면 함몰, 공기 코어(air core)

원리 살펴보기

물이 가득 든 병을 거꾸로 세우면 왜 한 번에 쏟아지지 않고 꿀럭꿀럭거릴까? 빠져나간 물의 부피만큼 공기가 들어와야 하는데, 드나들 통로가 좁은 목 하나뿐이기 때문이다. 물과 공기가 같은 구멍을 번갈아 쓰는 탓에 흐름이 계속 끊긴다. 물이 조금 나가면 병 속 기체가 부풀어 압력이 낮아지고, 흐름이 멎은 사이 공기 덩어리가 목을 거슬러 올라가 압력을 되돌리면 다시 물이 나간다. 이 되풀이가 꿀럭임이며, 그 주기의 근원은 갇힌 기체의 압축성이다 — 기체가 용수철, 물기둥이 추인 진동자다.

그렇다면 빨리 비우는 길은 물을 세게 밀어내는 데 있지 않고, 공기에게 따로 길을 내주는 데 있다. 병을 축 둘레로 몇 바퀴 돌려 회전을 준 뒤 뒤집으면, 원심 효과로 물이 벽 쪽으로 밀리며 축을 따라 자유표면이 함몰해 목까지 이어지는 공기 기둥이 뚫린다. 공기는 가운데로 올라오고 물은 그 둘레를 감싸며 내려가 둘이 동시에 흐르니, 번갈아 쓰던 낭비가 사라진다. 다만 소용돌이가 세질수록 공기 기둥이 굵어져 물이 지날 단면은 줄어든다. 두 효과가 맞서므로 최적이 있으리라 예상되며, 회전대에 올린 이상적 탱크 실험에서도 배출 시간을 가장 짧게 만드는 최적 회전 속도와, 그보다 세게 돌리면 안 돌린 경우보다 느려지는 임계 회전 속도가 보고됐다. “돌리면 빨라진다”는 말에는 조건이 붙는 셈이다.

물과 공기가 좁은 목을 다투는 이 문제는 병 바깥에서도 되풀이된다. 음료·식품 충전과 병 세척 라인(비우는 시간이 생산 속도의 상한을 정한다), 건물 배수 배관의 통기관(공기 전용 관을 따로 세우는 이유가 이 꿀럭임을 없애기 위해서다), 로켓·항공기 연료 탱크의 배출구(여기서는 반대로 소용돌이가 공기를 빨아들이므로 억제 장치를 단다), 저수지·수조의 배수구(같은 토리첼리 유출로 방류 유량을 계산한다)에 두루 걸친다.

실험 설계

준비물

같은 규격의 투명 페트병 여러 개(1.5 L 권장)와 목 안지름이 다른 병 몇 종, 물, 넓은 물받이 대야와 수건, 초시계, 촬영용 스마트폰과 삼각대, 캘리퍼스, 눈금 실린더, 각도기, 방수 표시펜, 식용 색소.

변인

독립변인은 뒤집기 직전 병에 준 초기 회전의 세기이다(정해진 시간 동안 돌린 바퀴 수로 조절하고, 옆면의 표식을 영상에서 세어 확인한다 — 물은 병을 따라 강체처럼 돌지 못하므로 이 바퀴 수는 물에 준 회전의 어림 입력값일 뿐이다. 색소 자국의 회전이나 수면이 파인 깊이를 함께 읽어 액체 쪽 회전의 지표로 삼는다). 종속변인은 병이 완전히 빌 때까지 걸린 배출 시간이다. 통제변인은 병의 종류·용량과 목 안지름, 채운 물의 부피와 온도, 뒤집은 뒤의 자세(연직), 뒤집는 동작에 걸린 시간이다. 뒷단계에서는 기울임 각도와 목 안지름을 차례로 독립변인으로 바꾼다.

실험 순서

1. 캘리퍼스로 목 안지름을 재고 물을 정해진 부피만큼 채운다. 옆면에 세로 표식을 그려 회전을 셀 수 있게 하고 대야 위에 카메라를 고정한 뒤, 회전 없이 병을 연직으로 뒤집어 마지막 물방울까지의 시간을 잰다(5회 이상). 기준 조건이며, 1.5 L 병에 목 안지름 2 cm라면 문헌의 실측 상관식으로 20초 안팎이 예상된다.

2. 상한 조건: 같은 병의 바닥을 잘라 낸 것을 교사 지도 아래 준비해, 목을 카드로 막고 채운 뒤 색소 한 방울로 물의 회전이 가라앉았는지 확인하고서 회전 없이 같은 부피를 흘려 시간을 잰다. 몸통 지름 8.5 cm·물 높이 26 cm·목 지름 2 cm를 토리첼리 정리에 넣으면 이상적으로 약 4초, 유출계수 0.6~0.8이면 5~7초다 — 넘볼 수 없는 하한이다.

3. 소용돌이 조건: 뒤집기 직전 병을 축 둘레로 돌려 회전을 준 뒤 놓는다. 회전 세기를 3~4단계로 바꿔 조건마다 5회씩 되풀이하고, 공기 기둥이 목까지 뚫렸는지 영상으로 확인한다.

4. 다른 방법 계열: 45°·60°로 기울여 붓기, 무른 페트병 옆면을 리듬 있게 누르기도 같은 방식으로 재어 소용돌이와 겨룬다.

5. 영상에서 꿀럭임 주기를 읽고, 물이 반쯤 남았을 때와 거의 다 빠졌을 때를 비교한다. 조건 사이 차이는 수 초 규모라 초시계로도 갈리지만(같은 병 100회 반복 문헌에서 표준편차 0.38초), 주기는 훨씬 짧아 30 fps 이상 영상이 필요하다.

안전 안내

넓은 물받이 대야를 두고 바닥에 수건을 깔아 미끄러짐을 막는다. 유리병은 깨지므로 되도록 투명 페트병을 쓰고, 유리를 쓸 때는 낮은 위치에서 다루며 맨발로 서지 않는다. 빠르게 돌릴 때는 젖은 손에서 병이 미끄러져 날아갈 수 있으니 손을 마른 수건으로 닦고 주변을 치운다. 페트병 바닥을 자르는 작업은 교사 지도 아래 하고 절단면은 사포로 다듬는다. 액체는 물을 기본으로 하며 알코올·유기 용매는 쓰지 않는다. 전자기기는 물이 튀지 않는 곳에 둔다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

병을 세게 돌릴수록 계속 더 빨리 비워질까, 아니면 어느 회전 세기를 넘으면 오히려 느려질까?

자료 정리

방법별·회전 세기별 배출 시간을 표로 모은 뒤, 가로축을 초기 회전의 세기로 하여 그린다. 회전이 없는 기준값과 바닥을 튼 상한값을 수평선으로 함께 그어 세 값을 견준다. 꿀럭임 주기는 남은 물 높이를 가로축으로 따로 정리한다. 크기가 다른 병의 자료까지 얹으려면 세로축을 배출 시간×√(중력가속도÷목 지름), 가로축을 부피÷목 지름³으로 두면 된다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

회전을 주면 배출 시간이 뚜렷이 줄되, 어느 회전 세기에서 가장 짧아지고 그보다 세게 돌리면 다시 늘어나는 최소점이 예상된다. 이는 빨리 비우기의 관건이 물을 세게 밀어내는 데 있지 않고, 들어올 공기에게 따로 길을 내주어 물과 공기가 좁은 목을 다투지 않게 하는 데 있다는 뜻이다. 소용돌이를 주고도 바닥을 튼 조건만큼 빨라지지 않는다면 공기 기둥이 목의 일부를 차지한 대가이며, 그 차이를 재는 것이 이 탐구의 알맹이다. 한편 목이 너무 가는 병에서는 어떤 방법도 통하지 않는다. 무거운 물이 가벼운 공기 위에 놓인 배치는 본래 레일리–테일러 불안정이지만 표면장력이 짧은 파장을 눌러 주므로, 목 지름이 10 mm쯤보다 작으면 계면이 버텨 물이 나오지 않는다.

더 탐구하기

1. 목 안지름이 다른 병들로 기준 조건을 되풀이해, 배출 시간이 목 지름과 부피에 어떻게 붙는지 무차원 그래프로 살펴보자.

2. 기울임 각도를 0°에서 80°까지 바꿔 가장 빠른 각도를 찾고, 그 값이 소용돌이 조건보다 빠른지 겨뤄 보자.

3. 벽이 무른 병과 테이프로 보강한 병을 누르지 않고 비교해 보자 — 무를수록 빨리 비워지고 주기는 길어진다는 문헌 결과를 확인할 수 있다. 리듬에 맞춰 손으로 누르는 것은 밖에서 일을 계속 넣는 다른 계이니 따로 다루자.

4. 아주 가는 관을 목에 끼워 물이 나오지 않는 임계 지름을 찾고, 세제를 묽게 풀어 표면장력을 낮추면 그 임계가 내려가는지 살펴보자.

연결 주제

2026년 문제 1 ‘자가 개시 사이펀’, 2020년 문제 6 ‘색슨 그릇’이 같은 유체 배출 계열이지만 기제는 다르다. 사이펀은 관을 채우는 프라이밍이 관건이라 일단 채워지면 물과 공기가 통로를 다투지 않으며, 색슨 그릇은 공기가 자유로운 그릇 안으로 물이 들어오는 반대 방향의 유입이다. 셋이 함께 쓰는 것은 토리첼리 정리와 유출계수뿐이다.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘Torricelli’s law’(v≈√(2gh))·‘Glugging’ / OpenStax 대학물리 1권 14.6 ‘Bernoulli’ / 검색어 “bottle vortex emptying” / [심화] H. C. Mayer, “Bottle Emptying: A Fluid Mechanics and Measurements Exercise,” Fluids 4(4), 183 (2019), DOI 10.3390/fluids4040183 (병 454개 실측, 배출 시간×√(g/d)=3.8(V/d³)^0.90; 목 지름이 3.7√(γ/ρg)≈10 mm보다 작으면 물이 사실상 나오지 않음) · C. Clanet, G. Searby, “On the glug-glug of ideal bottles,” J. Fluid Mech. 510, 145–168 (2004), DOI 10.1017/S002211200400936X (꿀럭임 주기의 근원은 기체 압축성) · P. B. Whalley, “Flooding, slugging and bottle emptying,” Int. J. Multiphase Flow 13(5), 723–728 (1987), DOI 10.1016/0301-9322(87)90048-6 (배출을 역류 한계 플러딩으로 설명) · A. Caquas, L. R. Pastur, A. Genty, “Impact of rotation change on the emptying of an ideal bottle of water,” Phys. Rev. Fluids 9(6), 064701 (2024), DOI 10.1103/PhysRevFluids.9.064701 (배출을 가장 빠르게 하는 최적 회전 속도와, 비회전보다 느려지는 임계 속도가 존재) · P. B. Whalley, “Two-phase flow during filling and emptying of bottles,” Int. J. Multiphase Flow 17(1), 145–152 (1991), DOI 10.1016/0301-9322(91)90076-F (기울임 각도·목 기하 의존) · R. S. Velankar, S. S. Velankar, “Soft bottles drain faster but glug slower,” Phys. Fluids 36(9), 093302 (2024), DOI 10.1063/5.0217553 (무른 벽일수록 빨리 비워지나 주기는 길어짐). ※ 회전 문헌은 회전대 위 밀폐 이상 탱크를 다뤘다 — 손으로 돌린 실제 병의 최적·임계 회전 속도와 기울임·소용돌이의 우열이 개방 지점이다.