조각의 크기는 무엇이 정할까 — 균열

탐구 주제

IYPT 2001 문제 7 ‘Cracks’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2001 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「여러 가지 힘」·「물질의 상태 변화」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」 · 과학탐구실험1(측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」 · 진로선택 「역학과 에너지」(열과 에너지) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

건조 수축, 모세관 압력, 인장 응력, 바닥 부착과 마찰, 임계 무균열 두께, 1차·2차 균열, 응력 완화 길이, 균열 간격–두께 스케일 법칙, 교차각 분포, 기둥형 균열(주상절리), 기억 효과

원리 살펴보기

가만히 말리기만 하는데 전분 풀은 왜 스스로 갈라질까? 물이 증발하면 알갱이 사이 물의 표면이 오목하게 휘고, 그 모세관 압력이 알갱이를 서로 당겨 층을 줄이려 한다. 그런데 층은 바닥에 붙어 있어 가로로는 줄어들지 못한다. 줄어들려는 힘과 붙잡는 바닥 사이에서 가로 방향 인장 응력이 쌓이고, 그 응력이 알갱이를 묶는 결합을 이기는 순간 갈라진다. 증거는 단순하다. 바닥이 미끄러우면 층이 통째로 줄어들어 균열이 생기지 않는다 — 테플론을 입힌 용기에서 균열이 사라졌다.

그렇다면 조각의 크기는 무엇이 정할까? 균열이 하나 생기면 양옆의 응력이 풀리는데, 풀리는 범위가 대략 층 두께만큼이다. 그래서 균열 사이의 간격은 층 두께에 비례하고, 얇은 층일수록 조각도 잘아진다. 같은 논리를 밀면 어느 두께 아래로는 모세관 압력이 낼 수 있는 최댓값으로도 갈라뜨릴 만큼 당기지 못해 임계 두께보다 얇은 층은 아예 갈라지지 않는다. 그런데 옥수수 전분은 여기서 어긋난다. 곧게 뻗어 서로 거의 직각으로 만나는 1차 균열과, 그 사이를 뒤늦게 채우는 2차 균열이 따로 나타나기 때문이다. 두께에 비례한다는 법칙은 1차 균열의 이야기이고, 2차 균열이 만든 조각의 넓이는 옥수수 전분에서 두께를 2 mm에서 11 mm로 바꿔도 거의 그대로였다.

전분에는 특별한 구석이 더 있다. 층을 두껍게 하고 위에서만 말리면 건조 전선이 아래로 내려가고 균열이 그 뒤를 따라 파고들어 육각 기둥이 줄지어 선다 — 주상절리의 축소판이다. 전분이 유독 기둥을 잘 만드는 것은 알갱이 사이와 안쪽의 공극이 나뉘어 있어 물이 액체로 옮겨 가는 단계와 수증기로 옮겨 가는 단계가 뚜렷이 갈리기 때문으로 설명된다. 빠르게 말릴수록 기둥은 가늘어진다. 한편 마르기 전 풀을 흔들면 균열이 줄지어 서는 기억 효과도 알려져 있는데, 균열은 흔든 방향과 나란한 쪽이 아니라 수직인 쪽으로 뻗는다(탄산칼슘 풀에서 확립된 결과다). 같은 물리가 페인트·코팅의 균열 억제(임계 두께 아래로 얇게 여러 번 바른다), 배터리 전극·세라믹 슬러리 공정(균열 하나가 성능을 깎는다), 농지·제방의 갈라짐과 물 빠짐(균열이 곧 물길이 된다), 회화·유약의 균열 무늬 분석에도 나온다.

실험 설계

준비물

옥수수 전분 2 kg과 감자 전분 500 g, 증류수, 한 변 200 mm 트레이 12개 이상(두께 계열은 모두 이 트레이로 한다)과 얇은 층 예비용 유리판, 0.1 g 저울, 백열·할로겐 스탠드와 거리 고정용 지지대, 자와 각도기, 온습도계, 삼각대에 고정한 스마트폰, ImageJ, 식용유와 랩.

변인

독립변인은 가라앉은 전분층의 두께이다(2·4·6·8 mm). 뒷단계에서는 전분의 종류, 램프 거리로 정하는 건조 속도, 바닥의 미끄러움으로 바꾼다. 종속변인은 1차 균열의 평균 간격, 2차 균열이 만든 조각의 넓이와 교차각, 균열이 처음 나타난 시각이다. 통제변인은 전분과 물의 질량비, 용기(모든 두께에 같은 트레이), 램프의 출력·거리와 켜고 끄는 시간표, 실온과 습도, 촬영 조건이다.

실험 순서

1. 옥수수 전분과 증류수를 질량비 약 1:1로 섞어 붓는다. 용기는 네 두께 모두 한 변 150~200 mm 트레이 한 종류로 통일한다 — 두께마다 용기를 바꾸면 용기 차이가 두께 효과에 섞이고, 넓은 바닥은 두꺼운 층에서 몇 배로 벌어지는 균열 간격과 벽 효과 문제도 함께 해결한다. 맑은 물이 뜰 때까지 두고 붓는 양으로 층 두께를 맞춘다(조건마다 3개씩).

2. 윗물이 증발해 전분 표면이 드러나는 순간을 0분으로 잡고, 스탠드를 표면에서 7 cm 위에 두어 모든 용기에 같은 거리를 준다 — 문헌은 36 W 전구를 이 거리에 두어 표면을 약 27 °C로 지켰다.

3. 처음 두 시간은 10분, 그 뒤로는 30~60분 간격으로 같은 높이에서 수직 촬영하고 질량을 잰다. 2 mm는 대여섯 시간, 8 mm는 하루가 걸린다. 자리를 비워 램프를 꺼야 하면 모든 두께에 같은 시간표로 끄고 실온 건조로 이어 가되 그 시각을 적는다 — 건조 이력이 두께에 따라 달라지면 교락이 생긴다. 1차·2차 균열이 처음 보인 시각도 따로 적는다.

4. 다 마른 뒤 자를 함께 넣어 축척 사진을 찍고, ImageJ로 균열 간격, 조각 넓이, 만나는 각을 잰다 — 측정은 벽에서 예상 간격의 두 배 이상 떨어진 중심 영역에서만 한다.

5. 같은 절차를 감자 전분으로 되풀이한다 — 문헌은 감자에서 1차 균열이 크게 억제된다고 보고했다.

6. 묽게 갠 풀을 유리판에 얇게 펴 0.3·0.5·1 mm 조건을 만들고, 바닥에 식용유를 바른 것·랩을 깐 것·맨 유리를 함께 말려 균열의 유무를 비교한다 — 임계 두께와 바닥 마찰을 한 단계에서 가른다.

안전 안내

마른 전분 가루는 쉽게 날려 눈과 호흡기를 자극하므로 저울질과 반죽은 환기되는 곳에서 천천히 하고, 가루가 떠 있는 공간에 불꽃이나 열원을 두지 않는다(곡물 분진은 공기 중에서 잘 탄다). 백열·할로겐 스탠드는 매우 뜨겁다. 종이·천에서 떼어 놓고 전구를 손대지 않으며 자리를 비울 때는 끈다. 전분 풀은 며칠이 지나면 곰팡이가 핀다 — 하루를 넘기는 조건은 덮지 말고 환기하며, 표백제는 교사가 희석해 다루고 산성 물질과 섞지 않는다. 끝난 시료는 하수구에 붓지 말고 굳혀 버린다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

전분층을 두껍게 하면 갈라진 조각은 커질까, 작아질까? 아주 얇게 펴면 어느 두께부터는 아예 갈라지지 않을까?

자료 정리

가로축을 층 두께, 세로축을 1차 균열의 평균 간격으로 하여 조건마다 점을 찍고, 원점을 지나는 직선이 맞는지 본다. 2차 균열이 만든 조각의 평균 넓이도 같은 축에 그려 두 균열이 다른 규칙을 따르는지 확인한다. 조각 넓이는 히스토그램으로 그려 분포의 폭까지 보이고, 교차각도 같은 방식으로 옥수수와 감자를 견준다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

두께를 키우면 1차 균열의 간격은 넓어지고, 균열은 대체로 직각에 가깝게 만나며, 아주 얇은 층에서는 균열이 사라지는 쪽이 예상된다. 균열이 무작위한 사고가 아니라 층의 두께가 정해 준 길이 규모를 따른다는 뜻이다. 다만 문헌은 이 법칙이 전분에서 균열의 종류마다 다르게 나타난다고 보고했다 — 1차 균열은 두께를 따라가지만 2차 균열의 조각 넓이는 옥수수 전분에서 두께에 거의 무관했다. 둘을 섞어 세면 어느 쪽 결론도 나오지 않으므로, 1차와 2차를 시간 순서로 갈라 적는 것이 이 실험의 척추다. 미끄러운 바닥의 대조군이 갈라지지 않는다면 응력이 바닥 마찰에서 왔다는 것도 함께 확인된다.

더 탐구하기

1. 층을 30 mm 이상 두껍게 붓고 위에서만 말려 육각 기둥이 서는지 보자. 30 mm면 일주일 안팎, 문헌의 100 mm급이라야 수 주가 걸린다.

2. 램프 거리를 바꿔 건조 속도를 두세 배로 달리하고, 빠르게 말릴수록 조각이 잘아지는지 보자.

3. 윗물을 따라내 되직하게 만든 뒤 용기를 한 방향으로 10초쯤 흔들고 말려, 균열이 흔든 방향에 수직으로 정렬하는지 보자 — 탄산칼슘 풀에서 확인된 기억 효과가 전분에도 있는지 가르는 실험이다. 묽어지면 정렬이 나란한 쪽으로 뒤집힌다는 보고가 있어 되직함이 관건이다.

4. 전분 대신 커피 가루·황토로 같은 측정을 되풀이해, 간격–두께 직선의 기울기가 재료마다 달라지는지 비교해 보자.

연결 주제

2023년 문제 1 ‘프랙탈 손가락’과 나란히 두면 좋지만 기제는 다르다. 그쪽은 표면장력 차이로 밀려 나간 액체가 점성 큰 물감을 밀며 경계가 불안정해지는 유체의 문제이고, 이 문제는 굳어 가는 고체 골격에 쌓인 인장 응력이 터지는 파괴의 문제다. 같은 해 문제 12 ‘Reaction’(젤 속 침전 무늬)과는 “가만히 둔 계가 스스로 규칙적 무늬를 만든다”는 물음을 나누어 갖지만, 그쪽의 길이 규모는 확산과 반응이, 이쪽은 층의 두께가 정한다.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘Mudcrack’·‘Columnar jointing’ / 영상 검색어 “drying cornstarch cracks” / 이미지 분석은 무료 프로그램 ImageJ. [심화] Y. Akiba 외, Phys. Rev. E 96(2), 023003, 2017, DOI 10.1103/PhysRevE.96.023003(옥수수·감자 전분, 두께 2~11 mm, 36 W 램프 7 cm, 2 mm 층은 약 6시간; 감자는 1차 균열 억제, 옥수수는 조각 넓이가 두께에 무관) · A. Groisman, E. Kaplan, Europhys. Lett. 25(6), 415–420, 1994, DOI 10.1209/0295-5075/25/6/004(무늬 규모와 층 두께의 선형 관계, 응력의 원천은 바닥 마찰) · L. Goehring, Phys. Rev. E 80(3), 036116, 2009, DOI 10.1103/PhysRevE.80.036116(전분의 공극이 액체 수송과 증기 수송으로 갈린다) · L. Goehring, S. W. Morris, Europhys. Lett. 69(5), 739–745, 2005, DOI 10.1209/epl/i2004-10408-x(전분·물 1:1, 깊이 1~100 mm, 빠르게 말릴수록 기둥이 가늘다) · G. Müller, J. Volcanol. Geotherm. Res. 86(1–4), 93–96, 1998, DOI 10.1016/S0377-0273(98)00045-6 · K. B. Singh, M. S. Tirumkudulu, Phys. Rev. Lett. 98(21), 218302, 2007, DOI 10.1103/PhysRevLett.98.218302(최대 무균열 두께) · A. Nakahara, Y. Matsuo, J. Phys. Soc. Jpn. 74(5), 1362–1365, 2005, DOI 10.1143/JPSJ.74.1362(탄산칼슘 풀, 진동 방향에 수직인 균열; 테플론 용기는 균열 없음) · A. Nakahara 외, Phil. Trans. R. Soc. A 377, 20170395, 2019, DOI 10.1098/rsta.2017.0395. ※ 기억 효과는 탄산칼슘·카올린 계열 풀에서 확립된 것이라 전분 풀에서 같은 정렬이 나오는지는 확인되지 않았다. ‘간격 ∝ 두께’도 1차 균열의 법칙이어서 2차 균열은 따르지 않으며, 임계 무균열 두께 이론도 전분 알갱이에 그대로 옮길 수 없다. 학교 규모에서 갈라지지 않는 두께가 실제로 있는지가 개방 지점이다.