2026년 9월 30일 · 용티IYPT 2001 · 문제 6 · 파동·음향, 광학

무늬 속에 또 무늬가 — 프랙탈 회절

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 2001 문제 6 ‘Fractal diffraction’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2001 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「빛과 파동」(빛의 성질) / 고등학교 과학탐구실험1(측정과 오차·자료 분석) / 물리학 「빛과 물질」(빛의 간섭과 회절) · 진로선택 「전자기와 양자」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

회절, 간섭, 프라운호퍼 회절, 프레넬 회절, 푸리에 변환, 유사성 정리, 공간 주파수, 자기 유사성, 프랙탈 차원, 칸토어 집합, 시에르핀스키 카펫, 세대(차수), 바비네 원리, 거듭제곱 법칙

원리 살펴보기

프랙탈 개구가 만드는 회절 무늬는 왜 다시 프랙탈일까? 열쇠는 프라운호퍼(원거리) 회절 무늬가 개구 투과 함수의 푸리에 변환이라는 데 있다. 푸리에 변환에는 유사성 정리가 있어, 개구를 1/3로 줄이면 변환은 거꾸로 3배로 늘어난다. 프랙탈은 자기 자신을 1/3로 줄인 복사본들로 이루어져 있으니, 그 회절 무늬 역시 자기 자신을 3배로 늘린 복사본들로 이루어진다. 개구의 축소 비가 무늬에서는 확대 배율로 뒤집혀 나타나는 셈이다.

삼분 칸토어 격자로 숫자를 붙여 보자. 전체 폭을 그대로 둔 채 세대를 올리면 가장 좁은 슬릿은 1/3씩 줄어든다. 무늬가 퍼지는 각도는 대략 λ/a로 슬릿 폭 a에 반비례하므로, 세대를 하나 올릴 때마다 무늬는 촘촘해지는 것이 아니라 바깥으로 3배씩 넓어진다. 반대로 무늬 속 가장 촘촘한 줄 간격은 개구의 전체 폭이 정하므로 세대와 상관없이 그대로다 — 그래서 중앙부는 곧 변하지 않고 새 구조는 바깥에만 덧붙는다. 게다가 각도가 3배 커질 때마다 평균 세기는 절반에 가까워져, 세대를 무한히 이어 간 이상적 프랙탈이라면 로그–로그 그래프에서 −log2/log3 ≈ −0.63의 기울기가 나온다. 이 기울기의 크기가 곧 개구의 프랙탈 차원이다(시에르핀스키 카펫이면 기울기 −log8/log3 ≈ −1.89, 곧 차원 1.89다).

이 원리는 소각 X선·중성자 산란(에어로젤·검댕·고분자 응집체의 프랙탈 차원을 산란 세기의 기울기로 읽는다), 프랙탈 안테나(같은 모양이 여러 배율로 반복돼 여러 주파수 대역을 한 소자로 덮는다), 프랙탈 존 플레이트(초점이 여러 개로 갈라지고 초점 심도가 길어지는 회절 렌즈), 표면 거칠기 진단(산란광의 거듭제곱 감쇠로 거친 정도를 정량화)에 쓰인다.

실험 설계

준비물

650 nm 반도체 레이저(2등급 이하), OHP 필름과 1200 dpi 이상 레이저 프린터, 짧은 초점 렌즈(f ≈ 20 mm)와 볼록 렌즈(f ≈ 200 mm), 광학 벤치와 필름 홀더, 광택 없는 흰 종이 스크린과 검은 차광판, 삼각대와 수동 노출 카메라, 자와 캘리퍼스, 확대경, 이미지 분석 소프트웨어.

변인

독립변인은 프랙탈 개구의 세대(차수)이다(뒷단계에서는 프랙탈의 종류를 바꾼다). 종속변인은 회절 무늬의 세기 분포로, 포락선 첫 어둠점까지의 거리, 무늬가 스스로를 되풀이하는 확대 배율, 로그–로그 그래프의 기울기로 정량화한다. 통제변인은 레이저 파장 650 nm, 개구의 전체 폭 8.1 mm, 개구–스크린 거리, 인쇄 조건, 카메라의 노출과 촬영 거리이다.

실험 순서

  1. 전체 폭 8.1 mm의 삼분 칸토어 격자를 0~4세대로 그려 1200 dpi 이상으로 OHP 필름에 인쇄한다. 최소 슬릿은 세대마다 8.1 → 2.7 → 0.9 → 0.3 → 0.1 mm이고, 5세대는 0.033 mm(1200 dpi에서 약 1.6 도트)라 인쇄 자체가 되지 않는다. 토너가 번져 좁은 틈이 막히면 흑백을 뒤집어 인쇄한다.

  2. 레이저를 짧은 초점 렌즈로 지름 15 mm 남짓까지 넓히고, 볼록 렌즈를 앞뒤로 밀어 3~5 m 떨어진 스크린 위 광점이 가장 작아지는 자리를 찾는다. 필름은 그 렌즈 바로 뒤, 빔이 8.1 mm보다 넉넉히 큰 자리에 세운다. 8.1 mm 개구의 프라운호퍼 거리는 대략 100 m라 평행 빔으로는 프레넬 무늬밖에 얻지 못한다 — 빔을 스크린에 모으는 이 배치가 푸리에 평면을 만든다.

  3. 필름만 바꿔 가며 같은 노출·같은 거리로 세대별 무늬를 촬영한다. 4세대 무늬 전체가 5 cm 남짓이므로 화면 가로가 20~30 cm가 되도록 가까이 잡아야 가장 촘촘한 줄 간격 0.3 mm가 서너 화소 이상 된다. 중앙 광점은 포화되기 쉬우니 노출을 낮춘 컷도 남긴다.

  4. 2세대 이상에서 포락선 첫 어둠점까지의 거리를 재고(0·1세대는 무늬가 광점 크기라 눈으로만 견준다), 파장·거리와 함께 넣어 최소 슬릿 폭을 거꾸로 계산해 설계값과 대조한다 — 인쇄가 몇 세대까지 살아남았는지 확인하는 자기 검산이다.

  5. 4세대 무늬의 가운데 3분의 1을 한 세대 낮은 무늬 전체와 같은 배율로 겹쳐 보고, 세기 단면을 로그–로그로 그려 직선 구간의 기울기를 읽는다.

안전 안내

⚠ 안전

2등급(1 mW 이하) 이하의 레이저만 쓰고 반드시 교사 지도 아래 수행한다. 빔을 눈으로 직접 보지 않으며 사람 쪽으로 향하지 않는다. 빔 경로는 앉거나 선 사람의 눈높이를 피해 낮게(또는 높게) 잡고, 경로 끝은 검은 판으로 막는다. 이 배치는 빔을 스크린에 모으므로 초점 부근에 눈과 피부를 두지 않는다. 시계·반지·금속 자처럼 빛을 거울같이 되쏘는 물건은 치우고, 스크린은 광택 없는 흰 종이를 쓴다. OHP 필름 표면도 빛을 되반사하니 정면에서 들여다보지 않는다. 실험실을 완전히 어둡게 하지는 말고, 레이저를 켠 채 몸을 숙여 빔 높이로 내려가지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

세대를 한 단계 올리면 회절 무늬는 더 촘촘하고 좁아질까, 더 넓게 퍼질까? 무늬의 어느 부분이 바뀌고 어느 부분이 그대로 남을까?

자료 정리

세대별 사진을 같은 배율로 위아래에 쌓아 무늬 폭의 변화가 한눈에 보이게 배열한다. 이미지 분석 프로그램으로 세기 단면을 뽑아 가로축을 중심에서의 거리(또는 회절각), 세로축을 세기로 그린다. 같은 자료를 가로·세로 모두 로그 축으로 다시 그리고, 세기를 구간 평균으로 매끄럽게 만든 뒤 직선 구간의 기울기를 읽는다. 4세대는 세기가 절반씩 떨어지는 단계가 두어 번뿐이라 기울기가 −0.63보다 완만하게, 또 적합 구간을 어디로 잡느냐에 따라 흔들리며 나오기 쉽다 — 구간을 바꿔 가며 얼마나 움직이는지 함께 적는다. (그래프는 축과 개형만 잡고, 실측 전에 수치를 채우지 않는다.)

결과의 의미

세대가 올라갈수록 무늬는 좁아지는 것이 아니라 바깥으로 3배씩 넓어지고, 중앙의 촘촘한 줄무늬는 거의 그대로 남을 것으로 예상된다. 개구가 잘게 쪼개질수록 회절은 더 넓게 퍼진다 — 무늬의 스케일과 개구의 스케일은 서로 반비례한다는 뜻이며, 프랙탈의 축소 비 1/3이 무늬에서는 확대 배율 3으로 뒤집혀 나타난다. 그래서 “세대를 올리면 무늬가 수렴한다”는 말은 무늬가 한 모양으로 굳는다는 뜻이 아니라, 관찰 창 안쪽이 더는 변하지 않고 새 구조가 바깥으로만 덧붙는다는 뜻이다. 로그–로그 기울기가 −0.63에 다가가면, 빛이 개구의 프랙탈 차원을 대신 재 준 셈이다.

더 탐구하기

  1. 흑백을 뒤집은 상보 필름을 만들어, 중앙 광점 바깥의 무늬가 정말 같은지 비교해 보자(바비네 원리).

  2. 시에르핀스키 카펫으로 바꿔, 무늬가 네 겹 대칭을 가지면서도 같은 3배 자기 유사성을 보이는지 확인해 보자 — −1.89라는 기울기는 2차원이라 한 줄 단면이 아니라 중심에서 같은 거리인 화소들을 원 둘레로 평균해야 드러난다.

  3. 가운데를 3분의 1이 아닌 다른 비율로 도려낸 변형 칸토어 격자를 만들어, 축소 비를 바꾸면 무늬의 되풀이 배율과 기울기가 함께 따라오는지 보자.

  4. 인쇄한 필름 이미지를 컴퓨터로 푸리에 변환해 계산 무늬와 실제 사진을 겹쳐, 인쇄 오차가 어디서 드러나는지 찾아보자.

연결 주제

2023년 문제 1 ‘프랙탈 손가락’ — 프랙탈 차원을 잰다는 목표는 같지만 현상은 전혀 다르다. 그쪽은 점성 유체가 갈라지며 자라는 무늬를 사진 찍어 상자 세기로 차원을 얻고, 이 문제는 빛의 푸리에 변환을 거쳐 같은 양을 회절 무늬의 기울기에서 읽는다. 두 방법을 같은 도형에 적용해 보는 것도 좋은 확장이다. 2026년 문제 11 ‘설탕 단색화 장치’와는 광원–시료–스크린을 일직선에 세우는 광학 벤치 정렬을 공유한다.

참고문헌

[학생] S. J. Van Hook, “Inquiry with Laser Printer Diffraction Gratings,” The Physics Teacher 45(6), 340–343, 2007, DOI 10.1119/1.2768688(레이저 프린터 격자의 실제 한계) / ImageJ(NIH, imagej.net — 세기 단면 추출·FFT 계산) / 영상 검색어 “Cantor set diffraction” / [심화] M. V. Berry, “Diffractals,” J. Phys. A: Math. Gen. 12(6), 781–797, 1979, DOI 10.1088/0305-4470/12/6/008(‘디프랙탈’ 용어의 출발점) · C. Allain, M. Cloitre, “Optical diffraction on fractals,” Phys. Rev. B 33(5), 3566–3569, 1986, DOI 10.1103/PhysRevB.33.3566(칸토어 막대·빅셰크 프랙탈의 광 회절로 하우스도르프 차원을 직접 결정) · Jin Guojun, Feng Bihua, Feng Duan, “Optical Diffraction on Sierpiński Carpet,” Chin. Phys. Lett. 5(1), 9–12, 1988, DOI 10.1088/0256-307X/5/1/003(프랙탈 격자의 푸리에 변환도 자기 유사임을 확인) · J. A. Monsoriu 외, “Undergraduate experiment with fractal diffraction gratings,” Eur. J. Phys. 32(3), 687–694, 2011, DOI 10.1088/0143-0807/32/3/005(삼분 칸토어 격자·학부 실험실 장비) · A. Yu. Cherny 외, Phys. Chem. Chem. Phys. 21(24), 12748–12762, 2019, DOI 10.1039/C9CP00783K(거듭제곱 지수 = 프랙탈 차원, 극소점 개수 = 반복 세대 수) · J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, 4판, W. H. Freeman, 2017, 2장(유사성 정리). ※ 문헌은 세대가 무한한 이상적 프랙탈이나 정밀 제작 개구를 다룬다. 학교에서 인쇄할 수 있는 4세대·최소 0.1 mm 개구에서 로그–로그 직선 구간이 얼마나 확보되는지, 토너 번짐으로 실제 선폭이 설계값을 벗어날 때 기울기가 어느 쪽으로 치우치는지, 구간 평균의 폭을 바꾸면 기울기가 얼마나 흔들리는지는 문헌이 덮지 않는다 — 이 탐구의 개방 지점이다.

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