공명 봉우리가 기울어질 때 — 기타 줄

탐구 주제

IYPT 2021 문제 11 ‘Guitar String’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2021 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「빛과 파동」(파동과 소리)·「전기와 자기」(전자석) / 고등학교 물리학 「전기와 자기」(전류의 자기 작용) / 진로선택 「역학과 에너지」(탄성파와 소리, 공명) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

강제 진동, 공명, 공명 진동수, 공명 곡선, 고유 진동수, 정상파, 마디와 배, 장력, 감쇠, 강자성체, 전자석, 비선형 진동, 이력(히스테리시스), 진폭 도약, 휘돌이 운동

원리 살펴보기

활도 손가락도 대지 않고, 전자석만으로 기타 줄을 켤 수 있을까? 전자석에 교류를 흘리면 자기장이 주기적으로 세졌다 약해지고, 강자성체인 강철 현은 자기장이 셀 때마다 전자석 쪽으로 끌린다. 여기에 첫 번째 반전이 숨어 있다. 전자석은 전류의 방향과 무관하게 언제나 당기기만 하므로(당기는 힘은 전류의 제곱에 비례), 전류 한 주기에 현을 두 번 당긴다 — 현을 흔드는 힘의 진동수는 전류 진동수의 두 배다. 이 힘의 진동수가 현의 고유 진동수와 만나면, 매번의 작은 당김이 그네 밀듯 쌓여 진폭이 크게 자라는 공명이 일어난다.

교과서의 공명 곡선은 공명 진동수를 꼭짓점으로 한 좌우 대칭 봉우리다. 그런데 진폭이 커지면 현은 곧은 길이보다 늘어나면서 장력이 커지고, 장력이 커지면 고유 진동수도 올라간다. 크게 진동할수록 현이 제 음을 스스로 높이는 셈이라, 공명 봉우리는 높은 진동수 쪽으로 기울어진다. 기울어진 구간에서는 같은 구동 진동수에 큰 진폭과 작은 진폭이 공존하므로, 진동수를 올리며 훑을 때와 내리며 훑을 때 경로가 달라지고(이력), 그 경계에서 진폭이 계단처럼 뛰는 도약이 나타난다. 더 세게 흔들면 한 평면에 머물던 진동이 불안정해져, 현이 타원을 그리며 빙글빙글 도는 휘돌이 운동으로 넘어가기도 한다.

이 물리는 여러 곳에서 만난다. 전기 기타의 이보우(EBow)·서스테이너는 전자석으로 현을 계속 흔들어 끝나지 않는 지속음을 만들고, 진동현식 계측 센서는 전자석으로 튕긴 강철 현의 공명 진동수에서 장력을 역산해 댐·교량·지반의 미세한 변형을 잰다. 초소형 공진 센서(MEMS)의 설계에서는 봉우리 기울어짐과 도약이 성능의 한계를 정하고, 기계·구조물의 진동 설계에서는 훑는 방향에 따라 위험 진폭이 달라지는 이력이 공진 회피의 핵심이다.

실험 설계

준비물

강철 현을 얹은 통기타(또는 나무판에 강철 기타 줄을 맨 모노코드), 전자석(강철 볼트에 에나멜선 300회 이상 감기 또는 시판 전자석), 함수발생기와 소출력 앰프(또는 신호발생 앱과 오디오 앰프), 스마트폰(고속 촬영), 비접촉 적외선 온도계(또는 열전대), 자, 모눈 배경지, 보안경.

변인

독립변인은 구동 전류의 진동수(공명 부근을 잘게 훑는다)와 그 크기이며, 한 번에 하나만 바꾼다. 종속변인은 배 위치에서 잰 현의 진폭과 진동 궤적의 모양(평면·타원)이다. 통제변인은 현의 종류와 장력(조율), 진동하는 길이, 전자석과 현 사이의 간격이다.

실험 순서

1. 현 아래 2~3 mm 지점에 전자석을 고정하고 함수발생기로 작은 교류를 흘려 현을 울린다. 고속 촬영으로 현이 실제로 진동하는 진동수를 재어, 전류 진동수의 두 배로 흔들리는지 먼저 확인한다(두 배가 아니면 현의 자화를 의심한다).

2. 작은 전류로 공명 부근을 낮은 쪽에서 높은 쪽으로 잘게(예: 0.2 Hz 간격) 훑는다. 진동수마다 진폭이 안정될 때까지 기다린 뒤 배 위치의 진폭을 모눈 배경으로 읽는다 — 좌우 대칭 봉우리가 이 실험의 기준선이다.

3. 전류를 두세 배 키워 같은 훑기를 올림·내림 두 방향으로 반복한다(방향마다 3회). 진폭이 갑자기 뛰는 도약 진동수를 두 방향에서 따로 기록해, 서로 다른지(이력) 확인한다.

4. 진폭이 가장 큰 조건에서 현을 끝 방향(줄과 나란한 방향)에서 고속 촬영하여, 진동이 한 평면에 머무는지 타원·원을 그리며 휘도는지 관찰하고, 휘돌이가 시작되는 조건을 기록한다.

안전 안내

팽팽한 강철 현이 끊어지면 채찍처럼 튄다. 조율기 규격 이상으로 조이지 말고, 보안경을 쓰고 현의 연장선상에 얼굴을 두지 않는다. 전자석 코일은 오래 통전하면 뜨거워지므로, 한 방향 훑기 한 번이 5분 안에 끝나게 범위를 정하고 전류는 훑기 사이에 끊어 식힌다. 온도는 손으로 만지지 말고 비접촉 적외선 온도계나 열전대로 재어, 40 °C를 넘으면 식을 때까지 기다린다. 앰프 출력 단자의 합선을 피하고, 전자석은 휴대폰·자기 카드에서 멀리 둔다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

구동 전류를 키워 진폭을 키우면, 공명 봉우리는 제자리에 그대로 있을까 — 아니면 어느 한쪽으로 끌려가며 모양이 일그러질까?

자료 정리

진동수별 진폭을 표로 모아 공명 곡선을 그리되, 전류 조건별로 같은 그래프에 겹치고 올려 훑기와 내려 훑기는 화살표로 구분한다. 두 방향의 도약 진동수 차이로 이력 구간의 폭을 읽고, 봉우리의 진동수를 최대 진폭에 대해 그려 진폭이 클수록 봉우리가 밀려나는 경향을 본다.

결과의 의미

작은 전류에서는 좌우 대칭인 봉우리가, 전류를 키우면 높은 진동수 쪽으로 기울어진 봉우리와 방향에 따라 다른 도약(이력)이 나타날 것으로 예상된다. 이는 진폭이 커지는 순간 같은 현이 규칙을 바꾸는 비선형 진동자가 된다는 뜻으로, 교과서의 대칭 공명 곡선이 ‘작은 진폭’이라는 조건 위에 서 있음을 확인하는 실험이다. 같은 진동수에서 두 진폭이 공존하는 이력 구간은 오차가 아니라 비선형 계의 실제 성질이며, 훑는 방향까지 기록해야 재현되는 측정이라는 점이 이 탐구의 교훈이다. 평면 진동이 휘돌이로 넘어가는 것도 다른 진동 모드로 에너지가 새는 자연스러운 다음 단계다.

더 탐구하기

1. 조율을 낮춰 장력을 줄인 현에서 같은 실험을 반복해, 봉우리의 기울어짐과 이력 구간이 더 커지는지 비교해 보자.

2. 전자석 철심에 영구자석을 붙이거나 직류를 겹쳐(바이어스) 보자 — 전류와 같은 진동수의 힘 성분이 새로 생겨 두 배 성분을 압도하므로, 현이 전류와 같은 진동수로 울리는지 확인해 보자.

3. IYPT 2021 문제 3의 수동 픽업(자석+코일)을 현 옆에 두어, 촬영 없이 유도 전압의 크기와 진동수로 진폭과 휘돌이를 읽어 보자.

4. 휘돌이가 시작되는 문턱 진폭을 여러 장력에서 재어, 장력–문턱 진폭의 지도를 만들어 보자.

연결 주제

IYPT 2021 문제 3 ‘근접 센서’ — 자석과 코일이라는 같은 물리를 반대 방향으로 쓴다(그쪽은 강자성체의 운동을 코일로 읽고, 이쪽은 코일로 강철 현을 흔든다). IYPT 2021 문제 12 ‘윌버포스 진자’ — 진폭이 커질 때 한 진동 모드에서 다른 모드로 에너지가 넘어가는 현상을 진자라는 다른 계에서 다시 만난다.

참고문헌

[학생] 자바실험실 ‘정상파’·‘현악기’ 시뮬레이션(javalab.org — 마디·배와 고유 진동수) / UCSB 물리 시연 44.18 ‘Sonometer’(전자석으로 구동한 강철 현이 전류 진동수의 두 배로 울림을 명시) / 영상 검색어 “IYPT 2021 guitar string”, “sonometer electromagnet resonance” / [심화] M. Carlà, S. Straulino, “Measurements on a guitar string as an example of a physical nonlinear driven oscillator,” American Journal of Physics 85(8), 587–595 (2017), DOI 10.1119/1.4991374 — 기타 현의 공명 곡선을 정밀 측정해 비선형 감쇠를 포함한 Duffing 진동자 모형과 두 자릿수 범위에서 일치함을 보임(구동은 현에 교류를 흘리고 자석을 두는 로런츠 힘 방식); T. C. Molteno, N. B. Tufillaro, “An experimental investigation into the dynamics of a string,” American Journal of Physics 72(9), 1157–1169 (2004), DOI 10.1119/1.1764557 — 주기 구동된 현에서 공명 곡선의 기울어짐·도약·이력·타원/원 궤도(휘돌이)를 영상 추적으로 관찰; M. C. Brito 외, “Observing nonlinear effects in vibrating strings,” arXiv:physics/0403128 (2004) — 진폭에 따른 공명 진동수 이동·이력·타원 운동을 학부 실험으로 확인. ※ 위 문헌들은 로런츠 힘·기계 구동이 중심이다 — 전자석이 강철 현을 직접 당기는 이 문제의 구동은 힘이 전류 제곱에 비례하고 간격에 따라 급히 변해 그 자체가 비선형인데, 이 구동 방식의 비선형이 공명 곡선에 더하는 효과는 이 탐구의 개방 지점이다.