닫히지 않는 궤도 — 스핀 드리프트

탐구 주제

IYPT 2021 문제 10 ‘Spin Drift’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2021 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「여러 가지 힘」(중력·마찰력)·「운동과 에너지」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학 시스템) / 물리학 「힘과 에너지」(원운동과 역학적 에너지), 진로선택 「역학과 에너지」(평면 운동, 역학적 에너지 보존) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

강체의 구름 운동, 구름 구속(미끄럼 없는 구름), 회전 관성, 각운동량, 돌림힘, 자이로스코프 세차, 구심력, 정지 마찰력, 구름 저항, 궤도 세차(장미 무늬 궤적), 역학적 에너지 소산, 오일러 원반

원리 살펴보기

그릇 안에서 굴린 링은 왜 같은 길을 두 번 지나지 않을까? 금속 링을 포물면 그릇의 가장자리 안쪽에서 옆으로 굴리면, 링은 비스듬히 기운 채 그릇 벽을 타고 빙글빙글 돈다. 위에서 내려다보면 궤도는 타원 비슷하지만 끝내 닫히지 않는다 — 타원 자체가 천천히 돌아가며 꽃잎을 겹쳐 그리는 장미 무늬가 나타난다. 링의 스핀(자전)이 궤도를 표류(드리프트)시킨다는 뜻에서, 문제 이름이 ‘스핀 드리프트’다.

링은 두 가지 회전을 동시에 한다 — 제 축 둘레의 스핀과 그릇 축 둘레의 공전. 접촉점이 미끄러지지 않는다는 구름 구속이 이 둘을 묶는다. 마찰 없이 미끄러지기만 하는 알갱이라면 포물면 그릇의 원 궤도는 어느 높이에서 돌든 공전 각속도가 똑같다(회전하는 물통의 수면이 포물면이 되는 것과 같은 수학). 그런데 구르는 물체는 에너지 일부를 회전에 저장하고, 실제로 깔때기 속 구슬조차 어떤 곡면에서도 닫힌 케플러(행성형) 궤도를 그리지 못하고 세차한다는 것이 문헌의 결론이다. 여기에 더해 질량이 모두 테두리에 몰린 링은 같은 크기의 원반보다 회전 관성이 두 배라서, 스핀 각운동량이 만드는 자이로스코프 세차가 유난히 두드러진다. 구름 구속과 스핀 중 무엇이 드리프트를 얼마나 만드는지 — 그것이 이 문제의 핵심 쟁점이다. 마찰과 공기 저항이 에너지를 갉아먹으면 링은 점점 낮게 누우며 안쪽으로 내려오고, 마지막에는 오일러 원반처럼 달그락거림이 빨라지다 멈춘다.

스핀과 궤도가 얽혀 궤도가 도는 이 구조는 곳곳에서 일한다. 자이로스코프와 인공위성 자세 제어(스핀 각운동량이 만드는 세차를 그대로 이용해 방향을 지키거나 바꾼다), 천체 궤도 세차의 해석(수성의 근일점 이동처럼, 닫히지 않는 궤도는 힘 법칙이 남긴 지문이다), 과학관 키네틱 전시와 동전 기부 깔때기(포물면 위 궤도 운동을 눈으로 보여준다 — 샌프란시스코 익스플로라토리움의 전시 ‘스핀드리프트’가 이 문제의 원형이다), 농구 림을 도는 공·룰렛 공(곡면 테두리를 구르는 물체의 궤도가 승부를 가른다)에서 같은 물리를 만난다.

실험 설계

준비물

포물면에 가까운 큰 그릇(지름 30 cm 이상의 금속 볼·웍 — 안쪽 곡면 프로파일을 미리 잰다), 지름·폭이 다른 금속 링 2~3종(커튼 링·호스 클램프 링·베어링 레이스 등), 스마트폰(슬로모션 촬영), 삼각대 또는 스탠드, 영상 추적 프로그램(Tracker 등), 자·수직자, 미끄럼 방지 매트.

변인

독립변인은 링의 지름(그릇 크기에 대한 비), 종속변인은 위에서 본 궤적의 세차 각속도(장미 무늬가 돌아가는 빠르기)와 궤도가 유지되는 시간이다. 통제변인은 그릇(곡면 프로파일), 링의 재질과 단면 모양, 출발 높이와 출발 속도, 카메라의 위치이다.

실험 순서

1. 자와 수직자로 그릇 안쪽의 반지름별 깊이를 재어 곡면 프로파일(z–r 곡선)을 기록하고 포물선과 얼마나 가까운지 확인한다. 그릇을 미끄럼 방지 매트 위에 수평으로 놓고 테두리에 각도 기준을 표시한다.

2. 스마트폰을 그릇 중심 수직 위에 고정하고, 링을 그릇 가장자리 안쪽에서 접선 방향으로 굴려 보내는 출발 방법(짧은 경사 홈통 등)을 정해 매번 같은 높이·같은 속도로 출발시킨다.

3. 같은 조건으로 3회 이상 반복 촬영하고, 영상 추적 프로그램으로 링 중심의 좌표를 추출해 위에서 본 궤적을 그린다. 궤도가 중심에 가장 가까워지는 최근점의 방위각이 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간에서 세차 각속도를 읽는다.

4. 지름이 다른 링으로 같은 측정을 반복해 세차 각속도가 링 지름에 따라 어떻게 변하는지 비교하고, 운동이 끝나 가는 마지막 단계(링이 낮게 누우며 달그락거리는 구간)의 영상과 소리도 따로 기록한다.

안전 안내

빠르게 구르는 금속 링이 그릇 밖으로 튀어나올 수 있으므로 얼굴을 그릇 가까이 대지 않고, 모서리가 날카로운 링은 사포로 다듬어 쓴다. 그릇은 테이블 중앙의 미끄럼 방지 매트 위에 두어 떨어뜨리지 않게 하고, 깨질 수 있는 유리·도자기 그릇 대신 금속 그릇을 사용한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

링을 그릇 가장자리에서 굴리면 궤도는 제자리에 닫힌 타원을 그릴까, 아니면 타원 자체가 천천히 돌면서 장미 무늬를 그릴까? 돈다면 링의 공전과 같은 방향일까, 반대 방향일까? 큰 링과 작은 링의 답은 서로 다를까?

자료 정리

추적한 링 중심의 좌표로 위에서 본 궤적을 그리고, 중심으로부터의 거리와 방위각을 시간에 따라 정리한다. 최근점의 방위각을 시간에 대해 그리면 그 기울기가 세차 각속도다. 링 지름별 세차 각속도와 궤도 유지 시간을 표로 모아 경향을 비교하고, 원에 가까운 궤도에서는 공전 주기가 궤도 반지름과 무관한지(미끄럼 질점의 예측) 함께 확인한다. 마지막 달그락 단계는 소리 녹음의 주파수 변화로 따로 정리한다.

결과의 의미

궤적은 닫힌 타원이 아니라 천천히 돌아가는 장미 무늬를 그리고, 세차 각속도는 링의 지름과 출발 속도에 따라 체계적으로 변할 것으로 예상된다. 닫히지 않는 궤도는 오차가 아니라, 구름 구속과 스핀 각운동량이 궤도 운동에 남긴 지문이다. 구슬 문헌이 보여주듯 곡면 위 구름의 세차는 일반적이므로, 같은 그릇에서 구슬과 링의 드리프트를 견주면 링에서 무엇이 더해지는지 실마리를 얻을 수 있다. 다만 구슬을 링으로 바꾸면 닿는 모양·회전 관성의 분포·구름의 방식이 한꺼번에 달라지므로, 그 차이를 자이로 효과 하나의 몫으로 단정하지 말고 가설로 두자. 원 궤도의 공전 주기가 미끄럼 질점의 예측에서 벗어나는 정도 역시 구름이 남긴 서명이다. 같은 조건에서 출발해도 시간이 지나면 패턴이 크게 달라질 수 있는데, 이는 결정론적 운동도 예측이 어려울 수 있음을 보여준다. 링이 낮게 누우며 궤도가 줄어드는 빠르기는 구름 저항과 공기 저항의 크기를 재는 창이 된다.

더 탐구하기

1. 같은 그릇에서 링 대신 속이 꽉 찬 원반·강철 구슬을 같은 방법으로 굴려, 회전 관성의 분포가 세차 각속도를 얼마나 바꾸는지 비교해 보자 — 바깥지름과 질량은 같게 두고 테이프 추를 테두리·안쪽으로 옮겨 붙여 질량 분포만 바꾼 링 한 쌍이면 더 공정한 비교가 된다.

2. 평평한 유리판 위에서 링을 세게 돌려, 마지막 순간 공전 방향이 뒤집히는 역행 회전(문헌 보고)을 슬로모션으로 재현해 보자 — 구멍을 테이프로 막은 링과 견주면 공기의 역할이 드러난다.

3. 반구형 그릇·원뿔 깔때기 등 곡면 모양을 바꿔, 궤도 유형과 세차 방향이 곡면에 따라 달라지는지 확인해 보자.

4. 마지막 달그락 단계의 소리를 녹음해 주파수가 시간에 따라 치솟는지(오일러 원반의 서명) 분석해 보자.

연결 주제

같은 2021년 문제 7 ‘구슬 동역학’ — 구름 구속과 회전하는 계의 안정성을 다루는 회전체 역학 계열로, 같은 영상 추적·궤적 분석 기법을 그대로 쓴다. 링의 구름과 진동은 IYPT 2022 문제 3 ‘막대 위의 링’으로도 이어진다.

참고문헌

[학생] 영상 “Spin Drift IYPT 2021 Problem 10 Demonstration”(Canadian Young Physicists’ Tournament, youtube.com/watch?v=1pO9vtX-wNQ — 캐나다 선발대회(CaYPT)의 시연 영상) / 미국 샌프란시스코 과학관 익스플로라토리움의 전시 ‘Spindrift’(Shawn Lani 작, exploratorium.edu/exhibits/spindrift — 포물면 위를 구르는 링의 8자·뒤집기 등 복잡한 운동을 보여주는 전시) / 검색어 “Euler’s disk”, “rolling ring parabolic bowl”. [심화] L. Q. English, A. Mareno, “Trajectories of rolling marbles on various funnels,” American Journal of Physics 80(11), 996–1000 (2012), doi:10.1119/1.4747481 — 깔때기 곡면 위를 구르는 구슬의 궤적 분석: 어떤 곡면도 닫힌 케플러 궤도를 재현하지 못하며 궤도 유형은 곡면 모양에 크게 의존. / G. D. White, “On trajectories of rolling marbles in cones and other funnels,” American Journal of Physics 81(12), 890–898 (2013), doi:10.1119/1.4823475 — 회전면 위를 미끄럼 없이 구르는 공의 이론과 실험(원 궤도 근방 분석·궤적 촬영). 이 원고의 촬영·궤적 분석 설계가 따른 문헌. / M. A. Jalali, M. S. Sarebangholi, M.-R. Alam, “Terminal retrograde turn of rolling rings,” Physical Review E 92(3), 032913 (2015), doi:10.1103/PhysRevE.92.032913 (arXiv:1412.1852) — 평면 위 구르는 링의 종말 역행 회전을 고속 촬영·시뮬레이션으로 규명: 링의 구멍이 공기 저항을 조율해 접촉점 마찰의 방향을 뒤집는다. 쉬운 소개는 같은 저자들의 “The surprising dynamics of rolling rings,” Physics Today 69(2), 70–71 (2016), doi:10.1063/PT.3.3089. / A. J. McDonald, K. T. McDonald, “The rolling motion of a disk on a horizontal plane,” arXiv:physics/0008227 (2000) — 구르는 원반의 운동방정식·정상 원운동과 최종 단계의 에너지 소산 측정. ※ 위 문헌은 ‘구슬·원반이 곡면 또는 평면 위를 구르는’ 경우까지만 덮는다. 링이 포물면 그릇 안에서 구르는 이 조합 자체 — 세차 각속도가 링 지름·속도·그릇 곡률에 따르는 정량 법칙, 드리프트의 방향, 8자·뒤집기 같은 패턴의 분류 — 를 직접 다룬 논문은 확인되지 않았으며, 이 부분이 이 탐구의 개방 지점이다.