감을수록 세지는 브레이크 — 고리 진자

탐구 주제

IYPT 2019 문제 14 ‘Looping Pendulum’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2019 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(마찰력·힘의 평형) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(중력과 역학 시스템) / 물리학 「힘과 에너지」(뉴턴 운동 법칙·역학적 에너지와 열) · 진로선택 「역학과 에너지」(시공간과 운동: 여러 가지 힘·원운동) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

장력, 정지 마찰력, 운동 마찰력, 마찰 계수, 캡스턴 방정식, 감김각, 원운동, 구심력, 뉴턴 운동 법칙, 등가속도 운동, 역학적 에너지, 마찰에 의한 열 소산, 초기 조건 민감성

원리 살펴보기

10 g짜리 추 하나가 열 배나 무거운 추의 추락을 막아 세운다 — 줄을 막대에 걸치고 놓았을 뿐인데 말이다. 비밀의 첫 조각은 부두의 밧줄에 있다. 줄이 막대를 감김각 θ만큼 감은 채 미끄러질 때, 미끄러져 가는 쪽의 장력은 반대쪽의 e^(μθ)배까지 커진다(캡스턴 방정식).마찰의 배율은 감김각에 지수로 붙는다 — 마찰 계수가 0.34인 줄이라면 반 바퀴에 약 3배, 한 바퀴에 8배, 두 바퀴면 70배가 넘는다.

그런데 놓는 순간의 감김은 반 바퀴 남짓, 배율은 3배뿐이라 질량비가 10이면 무거운 추는 일단 떨어진다. 여기서 둘째 조각, 가벼운 추의 원운동이 나선다. 무거운 추가 떨어지며 줄을 제 쪽으로 끌어가면 가벼운 추 쪽 줄은 짧아지고, 짧아진 진자는 맹렬히 빨라진다. 이 회전이 요구하는 구심력만큼 가벼운 쪽 장력이 치솟고, 줄이 막대를 감아 돌며 감김각도 함께 자란다. 치솟는 장력에 지수로 커지는 배율이 곱해져 무거운 추의 무게를 넘어서는 순간, 추락은 멈춘다. 멈춘 뒤에도 가벼운 추는 계속 감아 돌며 감김각을 몇 바퀴 더 벌어 배율이 수백 배로 불어나 계는 스스로 잠긴다. 마찰이 없다면 아무리 감아도 배율은 1 — 브레이크의 몸통은 감김 자체가 아니라, 감김각을 지렛대 삼는 마찰이다.

감김각으로 마찰을 증폭하는 이 원리는 산업 곳곳에 있다. 항만의 캡스턴·계선주(밧줄 두세 바퀴로 배를 묶는다), 클라이밍의 빌레이 기구(로프의 감김각을 키워 추락을 한 손으로 제동한다), 밴드 브레이크(드럼에 감긴 띠를 살짝 당겨 세탁기·농기계를 세운다), 요트 윈치(감은 줄로 돛의 장력을 버틴다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

스탠드 2개와 클램프, 지름 10~12 mm 금속 막대(크로스바), 면 실 또는 연줄(지름 1~2 mm, 1 m 안팎), 추걸이와 슬롯 추(무거운 추 100 g), 너트·와셔 뭉치(가벼운 추 5~50 g), 전자저울, 줄자·각도기, 스마트폰(240 fps 슬로모션)과 삼각대, 모눈 배경지, 방석, 보안경, 모래주머니.

변인

독립변인은 질량비 M/m(무거운 추 M은 100 g로 고정하고 가벼운 추 m을 5~50 g로 바꾼다)와 가벼운 추를 놓는 각도다. 종속변인은 성공 여부(무거운 추가 방석에 닿기 전 정지), 정지까지의 낙하 거리, 가벼운 추가 감은 바퀴 수다. 통제변인은 막대의 지름·재질, 줄의 종류·길이, 걸친 지점, 처음 감김(반 바퀴)이다.

실험 순서

1. 막대를 두 스탠드에 수평으로, 바닥에서 1.2 m 이상 높이에 고정하고 받침을 모래주머니로 누른다. 막대 아래에 방석을 놓고 반지름 1 m를 낙하 구역으로 표시한다.

2. 마찰 계수부터 잰다. 줄 양 끝에 100 g과 10 g을 달아 막대에 반 바퀴만 걸치고 놓으면 무거운 쪽이 일정한 가속도로 내려간다. 240 fps로 찍어 위치–시간 그래프의 가속도를 구하고 캡스턴 관계로 μ를 계산한다(문헌의 방법).

3. 본실험: 가벼운 추 쪽 줄을 40~60 cm 사이에서 한 값을 정해 고정하고 수평으로 당겨 무거운 추를 막대 옆까지 올린 뒤 손을 뗀다. 첫 프레임에서 실제 남은 길이와 초기각을 읽어 기록한다. 전 과정을 모눈 배경 앞에서 240 fps로 촬영한다(조건마다 3회).

4. 영상에서 무거운 추의 위치를 프레임 단위로 읽어 정지 순간과 낙하 거리를 재고 가벼운 추가 감은 바퀴 수를 센다.

5. 가벼운 추를 50→20→10→5 g로 바꿔 ③~④를 반복해 성공 경계와 질량비–낙하 거리 곡선을 얻는다. 성공과 실패가 갈리는 경계의 질량비에서는 반복을 10회로 늘려 성공 횟수를 비율로 적는다.

6. 질량비 하나를 골라 놓는 각도만 수평에서 위아래로 30°씩 바꿔 성공 여부가 각도에 얼마나 민감한지 본다.

안전 안내

무거운 추가 끝까지 떨어지는 실패 조건도 일부러 탐색하는 실험이다. 무거운 추는 100 g을 넘기지 않고, 낙하 구역(반지름 1 m) 안에 발·손·얼굴을 들이지 않으며, 추는 방석 위로만 떨어지게 한다. 가벼운 추와 줄이 빠르게 휘돌므로 전원 보안경을 쓰고, 촬영자도 구역 밖에서 삼각대로 찍는다. 살을 파고들 수 있는 가는 낚싯줄은 쓰지 않고, 추는 모서리 없는 것만 쓴다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

가벼운 추를 절반으로 줄여 질량비를 두 배로 키우면 이 구조는 더 자주 실패할까, 오히려 더 잘 성공할까? 성공한다면 무거운 추가 멈추기까지의 낙하 거리는 길어질까, 짧아질까?

자료 정리

질량비별 성공·실패, 낙하 거리, 감은 바퀴 수를 한 표에 모으고 질량비–낙하 거리 그래프를 그린다(축과 개형만 잡고 수치는 측정으로 채운다). 각도 실험은 질량비–각도 평면에 성공 ○·실패 ×를 찍어 지도로 만든다 — 문헌의 위상 도표와 같은 형식이라 바로 견줄 수 있다. 감은 바퀴 수에 2π를 곱하면 감김각이 된다.

결과의 의미

직관과 달리 질량비가 클수록 정지는 오히려 잘 일어나고, 대신 멈추기까지의 낙하 거리가 길어지되 증가 폭은 점점 완만해질 것으로 예상된다 — 질량비 8→29에서 낙하 27→46 cm를 얻은 실측 경향이다. 작은 질량비에서는 특정 각도에서만 멈추고, 멈췄다 되떨어지는 복잡한 거동도 보고돼 있다. 질량비가 열 배 커져도 감김 한 바퀴 남짓이면 따라잡는 이유는, 요구는 배수로 늘지만 마찰 배율은 감김각에 지수로 붙기 때문이다. 낙하 거리는 그 감김각을 벌기 위해 무거운 추가 줄을 내어 주는 값, 곧 멈춤의 비용이다. 사라진 위치 에너지의 대부분은 막대와 줄 사이 마찰열로 흩어지므로, 역학적 에너지가 열로 새는 길목을 눈으로 좇는 실험이기도 하다.

더 탐구하기

1. 막대를 매끈한 스테인리스 봉, 나무 봉, 종이테이프를 감은 봉으로 바꿔 ②의 방법으로 μ를 재고, μ가 클수록 낙하 거리가 짧아지는지 확인해 보자.

2. 막대 지름을 6 mm에서 20 mm로 바꿔 보자. 캡스턴 배율은 감김각만 따지고 지름과 무관하지만, 굵은 막대는 한 바퀴에 삼키는 줄이 길어 회전을 빨리 키운다 — 어느 효과가 이길지는 문헌에 없는 열린 물음이다.

3. 트래커(Tracker)로 가벼운 추의 궤적을 따서, 무거운 추가 멈춘 뒤 구간이 감김 기하만으로 정해지는 나선과 겹치는지 문헌의 예측을 검증해 보자.

4. 같은 조건에서 놓는 각도를 0.5°씩만 바꿔 여러 번 반복해 보자 — 결과가 널뛴다면 초기 조건 민감성(혼돈 후보)의 증거 수집이 된다.

연결 주제

물리 2016 문제 13 ‘종이 바이스’ — 마찰 증폭의 동족이다. 그쪽은 당길수록 수직항력 자체가 커지는 되먹임, 이쪽은 감김각이 지수에 올라타는 캡스턴 증폭이라, 같은 마찰 계수가 기하에 따라 전혀 다른 배율이 된다. 물리 2002 문제 16 ‘탄성 진자’ — 길이가 변하는 진자 계열이지만, 그쪽은 스프링 길이가 주기적으로 오가며 두 진동이 에너지를 주고받고, 이쪽은 감김으로 길이가 한 방향으로만 줄며 회전이 빨라진다.

참고문헌

[학생] 브루스 이니(Bruce Yeany)의 영상 ‘Toy Physics – Looping Pendulum’(유튜브, 2015) — 장비 감각을 주는 시연 / 영어 위키백과 ‘Capstan equation’ / 영상 검색어 “looping pendulum”, “capstan equation” / [심화] C. Dannheim, L. Ignell, B. O’Donnell, R. McNees, C. Rasinariu, “Dynamics of the looping pendulum: theory, simulation, and experiment,” European Journal of Physics 42(6), 065010 (2021), DOI 10.1088/1361-6404/ac247f (arXiv:2103.14752) — 캡스턴 관계 T₂ = T₁e^(μθ)를 넣은 운동방정식의 수치해가 240 fps 실측과 일치. 질량비 10(100 g/10 g)은 0.37 m 낙하 뒤 정지, 질량비 2는 멈췄다 되떨어지는 거동, 연직 걸침 낙하의 등가속도 맞춤으로 μ=0.34 측정. A. Daruka, G. Gomathinayagam, A. Agarwal, arXiv:2506.21644 (2025) — 질량비 7.9→29에서 낙하 거리 0.27→0.46 m 단조 증가 실측(같은 저자 3인의 EJP 논문 47 015012 (2026)도 Crossref로 확인). 이 밖에 Zhou 외(EJP 41 025003)·Wen 외(EJP 42 014001)·Wang·Shi(EJP 42 045006)·Basto·Miguez(EJP 42 055010)가 단계 모형·성공 위상 도표를 다룬다(초록 확인). ※ 막대 지름·줄의 굽힘 강성의 체계적 실험은 위 문헌의 본문·초록에서 확인하지 못했고, 초기 조건 민감성은 Dannheim 외가 미해결로 남겼다 — 이 탐구의 개방 지점.