팽이가 재는 자기장 — 자이로스코프 테슬라미터

탐구 주제

IYPT 2019 문제 12 ‘Gyroscope Teslameter’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2019 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「전기와 자기」(전류가 만드는 자기장, 코일이 받는 힘) / 고등학교 통합과학2 「환경과 에너지」(전자기 유도와 발전) / 물리학 「전기와 자기」(전자기 유도의 센서 응용) / 진로선택 「전자기와 양자」의 「전자기적 상호작용」(로런츠 힘·자기 선속) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

자기장, 자기 선속, 전자기 유도, 렌츠 법칙, 로런츠 힘, 맴돌이 전류, 돌림힘, 각속도, 관성 모멘트, 지수 감쇠, 전기 전도도, 밀도, 표피 깊이, 줄열

원리 살펴보기

알루미늄 팽이는 자석에 달라붙지 않는다. 그런데 자석 곁에서 돌리면 유난히 빨리 힘이 빠진다. 왜일까? 도는 금속의 처지에서 보면, 회전축과 수직인 자기장 성분은 팽이가 한 바퀴 돌 때마다 방향이 한 바퀴 돌아가는 회전 자기장이 된다. 그 변화를 상쇄하려고 금속 속에 맴돌이 전류가 소용돌이치고, 렌츠 법칙에 따라 이 전류가 받는 자기력은 언제나 회전을 거스르는 돌림힘이 된다. 자석에 붙지 않는 금속도 ‘움직이면’ 자기장에 붙잡히는 셈이다 — 1880년 헤르츠가 박사논문 「회전하는 구에서의 유도」에서 처음 계산한 뿌리 깊은 문제다.

느린 회전에서 제동 돌림힘은 각속도·전기 전도도, 그리고 자기장 수직 성분의 제곱 B⊥²에 비례한다. 매 순간 잃는 회전량이 그때의 빠르기에 비례하므로 각속도는 마찰의 직선 감소와 달리 지수적으로 잦아들고, 감쇠율은 σB⊥²/ρ(전도도×자기장²÷밀도) 꼴이 된다. 돌림힘과 관성 모멘트가 모두 크기의 5제곱으로 커져 상쇄되니 닮은꼴 팽이는 크기가 달라도 같은 빠르기로 느려진다는 뜻밖의 예측도 나온다. 재질 대결에서는 전도도 1위 구리가 아니라, 덜 통해도 훨씬 가벼운 알루미늄이 먼저 선다. 이 비례식은 자기장이 금속을 온전히 꿰뚫는 느린 회전, 곧 표피 깊이가 팽이 반지름보다 깊은 영역에서 성립한다.

이 원리는 인공위성·우주쓰레기의 스핀 감쇠(지구 자기장 속에서 회전이 저절로 줄어든다 — 텔스타 위성에서 실측), 유도형 전력량계의 원판 제동(자석이 알루미늄 원판의 회전을 속도에 비례해 걸러 준다), 재활용 선별장의 맴돌이 전류 분리기(비철금속만 튕겨내 골라낸다), 회전 기계의 비접촉 브레이크·댐퍼에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

같은 모양의 비강자성 금속 팽이(알루미늄 필수, 구리·황동은 재질 비교용 — 시판 금속 팽이 세트 또는 선반 가공, 지름 20~30 mm), 유리판(또는 오목한 유리 접시), 헬름홀츠 코일 한 쌍(예: 반지름 7 cm·320회 감기, 1 A당 약 4 mT)과 직류 전원, 스마트폰(240 fps 슬로모션), 흰 표시 스티커, (심화) 네오디뮴 자석 2개.

변인

독립변인은 코일 전류로 조절하는 자기장 세기 B(0~약 8 mT)이고, 확장으로 자기장 방향(회전축과 수직/나란)과 팽이 재질을 바꾼다. 종속변인은 ln(회전수)–시간 그래프의 기울기로 읽는 감쇠율이다. 통제변인은 팽이 개체와 받침면, 팽이의 위치(코일 중앙), 초기 회전수 대역(약 2,000~3,000 rpm), 실온이다.

실험 순서

1. 팽이 윗면에 흰 표시를 붙이고 240 fps로 시험 촬영해 프레임 수로 회전수를 읽는 법을 익힌다. 자석을 가까이 대어 팽이가 끌리지 않는지(강자성 부품이 없는지)도 확인한다.

2. 전류 0(자기장 없음)에서 팽이가 멈출 때까지 촬영한다 — 발끝 마찰·공기 저항만의 기준 감쇠다.

3. 코일 축을 수평으로 놓고 두 코일 사이 중앙에 받친 유리판 위에서 팽이를 돌린 뒤, 전류를 0.5→1.0→1.5→2.0 A로 바꿔 가며 조건마다 3회씩 촬영한다. B는 코일 상수×전류로 계산한다.

4. 영상마다 시간별 회전수를 읽어 ln(회전수)–시간 그래프를 그리고, 뒷부분 직선 구간의 기울기에서 ②의 기준값을 빼 자기 감쇠율만 분리한다 — 마찰은 회전수에 따라 기여가 달라지므로 기준 기울기도 같은 회전수 대역에서 좁게 잡아 읽고, 멈추기 직전 마찰 몫이 다시 커지는 꼬리 구간은 두 그래프 모두 버린다.

5. 자기 감쇠율을 B²에 대해 그려 원점을 지나는 직선인지 확인한다 — 이 직선의 기울기가 팽이 테슬라미터의 교정 상수다.

6. 코일 축을 수직으로 세워(자기장∥회전축) 같은 세기에서 제동이 거의 사라지는지 확인한다.

안전 안내

코일은 보유 장비의 정격 전류를 확인해 그 이하로만(예시 코일은 2 A) 통전하고, 한 번에 수 분을 넘기지 않으며 뜨거워지면 식힌다. 회로는 전원을 끈 뒤 만진다. 네오디뮴 자석은 매우 강하다 — 손가락 끼임과 깨진 파편에 주의하고 휴대폰·자기 카드·심장 박동기에서 멀리 둔다. 금속 팽이 모서리에 손이 쓸리지 않게 한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

코일 전류를 두 배로 올려 자기장을 두 배로 만들면, 회전수가 절반으로 줄어드는 시간은 절반이 될까, 4분의 1이 될까?

자료 정리

시간–회전수 표를 만들고 세로축을 로그로 한 그래프에서 직선 구간의 기울기(감쇠율)를 조건별로 읽는다. 무자기장 기준을 뺀 자기 감쇠율을 B²에 대해 그리면 직선이 예상된다. 초반 기울기가 완만하다가 뒤로 갈수록 일정해진다면 오차가 아니라 표피 깊이(알루미늄 50 Hz에서 약 12 mm)가 팽이 반지름 쪽으로 좁혀졌다는 신호다. 기울기는 초반 과도부를 지난 직선 구간에서 좁게 읽되, 멈추기 직전 마찰 몫이 다시 커지는 꼬리는 버린다.

결과의 의미

자기 감쇠율은 B²에 비례하고, 같은 자기장에서는 σ/ρ가 큰 재질일수록 빨리 선다 — 구 모형 어림으로 예시 코일의 최대 자기장(약 8 mT)에서는 수 초, 최저(약 2 mT)에서는 1분 넘게 걸리는 규모다. 지수 감쇠율은 초기 회전수와 무관하므로 손으로 돌려 시작이 조금씩 달라도 좋다 — 이 측정법의 숨은 강점이다. 무자기장 기준에서는 회전수–시간 그래프(로그를 취하기 전)가 직선에 가깝게 떨어질 것이라, 그래프 개형부터 자기 제동과 구별된다. 감쇠율–B² 직선의 기울기를 재어 두면, 그 팽이는 거꾸로 미지의 자기장을 재는 계기가 된다 — 문제 제목이 말하는 테슬라미터다. 다만 이 계기가 읽는 값은 회전축과 수직인 성분의 평균 ⟨B⊥²⟩이고, 자기장이 켜지면 세차를 미는 토크 성분도 함께 생긴다는 점은 기억하자. 축과 나란한 자기장에서 제동이 사라지고, 닮은꼴 팽이의 감쇠율이 크기와 무관한 것은 이 원리의 강한 검증이다. 텔스타 위성의 스핀도 이 법칙대로 잦아들었다.

더 탐구하기

1. 같은 기하의 알루미늄·구리·황동 팽이로 감쇠율을 재어 σ/ρ 순서(알루미늄>구리>황동)가 실제로 나오는지 확인해 보자.

2. 크기만 다른 닮은꼴 알루미늄 팽이 두 개로, 감쇠율이 정말 크기와 무관한지 시험해 보자.

3. 교정을 마친 팽이로 네오디뮴 자석 두 개 사이의 평균 자기장을 재고 거리에 따른 변화를 조사해 보자(스마트폰 자기 센서는 수 mT에서 포화되니 그대로 믿지 말 것).

4. 아주 빠르게 돌린 직후의 완만한 초반 구간을 일부러 관찰해, 제동 돌림힘이 어느 각속도에서 최대가 되는지(헤르츠가 예언한 봉우리) 더듬어 보자.

연결 주제

물리 2026 문제 2 「전자기 감쇠」는 코일 속에서 진동하는 자석의 병진 감쇠를 외부 저항으로 조절한다 — 자기장 없는 기준값을 빼는 분리법과 반감 시간·로그 그래프 분석을 이 원고와 공유한다. 물리 2014 문제 16 「자기브레이크」는 금속관 속 자석의 종단 속도(힘 평형)를 재는 짝 문제다 — 여기서는 도체가 돌고 자기장이 서 있으며, 답도 평형 속도가 아니라 지수 감쇠율로 나온다.

참고문헌

[학생] OpenStax 대학물리(College Physics) 23.4 ‘Eddy Currents and Magnetic Damping’(맴돌이 전류 제동의 기초) / 영상 검색어 “gyroscope teslameter”, “eddy current brake” / [심화] H. Hertz, ‘On induction in rotating spheres’(1880 박사논문), Miscellaneous Papers(Macmillan, 1896, archive.org 공개) — 회전 구의 제동 짝힘이 느린 회전에서는 각속도에 비례하고 매우 빠른 회전에서는 오히려 줄어듦을 유도 / E. Y. Yu, ‘Spin decay, spin-precession damping, and spin-axis drift of the Telstar satellite,’ Bell Syst. Tech. J. 42(5), 2169–2193 (1963), doi:10.1002/j.1538-7305.1963.tb00963.x — 텔스타 위성의 스핀이 지구 자기장 수직 성분의 제곱 B⊥²을 따라 거의 지수적으로 감쇠함을 관측·해석 / N. Praly 외, ‘Study on the eddy current damping of the spin dynamics of space debris from the Ariane launcher upper stages,’ Acta Astronautica 76, 145–153 (2012), doi:10.1016/j.actaastro.2012.03.004 (HAL hal-00625394 공개판) — 제동 돌림힘이 전도도·각속도·B²sin²λ(λ=자기장–회전축 각)·형상 인자에 비례함을 보이고 임의 형상은 유한요소로 계산 / G. L. Smith, NASA TR R-129 (1962, NTRS 공개) — 원통·원뿔 등 회전체의 유도 토크 이론(제동 성분+세차 성분). ※ 팽이 모양의 형상 계수는 장치마다 다르므로 ⑤의 교정 상수를 직접 재어 정한다.