무늬가 대신 세어 준다 — 무아레 실 계수기

탐구 주제

IYPT 2019 문제 13 ‘Moiré Thread Counter’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2019 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「빛과 파동」(물체를 보는 과정과 빛의 경로) / 고등학교 통합과학1 「과학의 기초」(측정과 어림, 측정 표준) / 과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」(정량 데이터 분석) / 물리학 「빛과 물질」(빛의 중첩·간섭과 견주기) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

무아레(모아레) 무늬, 공간 주기, 공간 주파수, 맥놀이, 격자, 날실과 씨실, 실 계수(올 밀도), 평직·능직·바스켓직, 영점(일치)법, 무늬 가시도, 표본화, 에일리어싱, 계통 오차와 무작위 오차

원리 살펴보기

기타 두 줄을 거의 같은 높이로 조율하면 느린 웅웅거림, 곧 맥놀이가 들린다. 무아레 무늬는 이 맥놀이의 공간 판이다. 간격이 조금 다른 두 줄무늬를 겹치면, 선이 선 위에 포개져 틈이 살아나는 자리는 밝고, 선이 틈을 메우는 자리는 어둡다. 밝은 띠 사이 간격 d는 두 선 간격 p, p′의 차가 작을수록 커져서 d = p·p′/|p − p′|이 된다. 간격이 1 mm와 1.1 mm이면 무늬는 11 mm마다 서니, 0.1 mm의 어긋남이 백 배 넘게 부풀어 보이는 셈이다.

이 부풀림을 거꾸로 쓰면 자가 된다. 밀도(1 cm당 선 수)로 말하면 규칙은 더 단순해서, 무늬의 밀도는 두 격자의 밀도 차와 정확히 같다. 이웃한 밝은 띠 사이 구간에는 직물의 올이 오버레이의 선보다 정확히 한 올 더(또는 덜) 들어 있다. 그래서 밀도를 아는 오버레이를 대고 구간 L에 든 무늬 개수 N을 세면, 직물 밀도 = 오버레이 밀도 ± N/L이다. 부호는 오버레이를 조금 성근 것으로 바꿔 보면 정해진다 — 무늬가 넓어지면 −, 좁아지면 +다. 원문이 ‘서로 교차하지 않는 선’을 못 박은 이유도 여기 있다. 날실과 씨실 중 한 방향의 올만 골라 재려면, 오버레이도 한 방향의 주기만 가진 선 격자여야 한다.

이 원리는 섬유 산업의 실 밀도 검사(눈금 필름판을 천에 대기만 하면 밀도를 읽는 루노미터), 인쇄·디스플레이의 무늬 관리(망점·화소 격자가 겹쳐 생기는 얼룩을 피하는 설계), 정밀 변형 계측(표면 격자의 무늬로 미세한 늘어남을 확대해 읽기), 위조 방지 인쇄(겹쳐야만 드러나는 숨은 무늬)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

레이저 프린터(600 dpi 이상)로 여러 선 밀도(예: 16~30 줄/cm)를 인쇄한 OHP 필름 격자 묶음, 성근 평직물(리넨 손수건 등 16~30 올/cm)과 데님·옥스퍼드 천 조각, 픽 글라스(직물 확대경) 또는 스마트폰 접사 촬영, mm 눈금자, 바늘·핀·클립, 라이트 패널이나 손전등(투과 조명용).

변인

독립변인은 오버레이의 선 밀도(보정한 실제 값)이고, 종속변인은 일정 구간에 든 무아레 무늬의 개수(무늬 밀도)다. 통제변인은 측정하는 직물 부위와 올 방향, 오버레이의 밀착 상태(들뜸과 비틀림 없이), 조명과 관찰 거리다.

실험 순서

1. 그림 프로그램으로 선 굵기와 틈이 같은 평행선 격자를 밀도별(16·18·20·22·24 줄/cm)로 만들어 OHP 필름에 인쇄하고, 선 50개의 전체 폭을 자로 재어 실제 밀도로 보정해 둔다(프린터 배율 오차).

2. 기준값을 먼저 얻는다 — 픽 글라스로 1 cm 구간의 올 수를 바늘로 짚어 가며 세 곳에서 세어 평균과 퍼짐을 함께 적는다(직물 표준 시험법과 같은 손세기).

3. 직물 위에 오버레이를 올 방향과 나란히 밀착시키고, 무늬가 가장 넓게 나타나는 밀도를 고른다. 무늬가 선과 나란하지 않고 기울면 오버레이가 돌아간 것이니 바로잡는다.

4. 구간 5 cm에 든 무늬 개수를 세어 직물 밀도 = 오버레이 밀도 ± (개수/구간)으로 계산하고, 이웃 밀도 오버레이에서 무늬가 넓어지는지로 부호를 정한다.

5. 오버레이를 90° 돌려 다른 방향의 올도 재고 두 방향 밀도의 합으로 실 계수를 구한다. 같은 절차를 데님·옥스퍼드에 반복해 기준값과의 차이와 무늬 선명도를 평직과 비교한다.

안전 안내

바늘·핀에 찔리지 않도록 주의하고 쓰지 않을 때는 꽂이에 보관한다. 필름을 재단할 때는 가위를 쓰거나, 커터라면 자를 대고 손을 날의 진행선 뒤에 둔다. 투과 조명용 LED·손전등 빛을 눈에 직접 비추지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

오버레이의 선 간격을 지금보다 조금 늘리면(밀도를 낮추면) 무늬 간격은 넓어질까, 좁아질까? 그 답은 직물과 오버레이 중 어느 쪽이 더 촘촘한가에 따라 어떻게 달라질까?

자료 정리

가로축을 오버레이의 보정된 선 밀도, 세로축을 무늬 밀도(개수/구간)로 놓고 모든 측정을 한 그래프에 모은다. 무늬 밀도 = |직물 밀도 − 오버레이 밀도|이므로 점들은 V자를 그리는데, 두 팔의 기울기는 −1과 +1이고 꼭짓점의 가로 좌표가 곧 직물 밀도다. 기울기가 ±1에서 벗어나면 프린터 보정이나 밀착 상태를 의심한다. 반복 측정의 표준편차(무작위 오차)와 손세기 기준값과의 차이를 따로 기록해 정확도를 두 숫자로 보고한다. 손세기도 나름의 불확도를 지닌 기준법이므로, 이 차이는 계통 오차가 아니라 기준값 대비 치우침의 추정치로 부르자.

결과의 의미

리넨 같은 평직에서는 V자 꼭짓점이 손세기 기준값과 1 cm당 한 올 이내에서 만나고, 무늬 개수 읽기의 분해능(5 cm 구간에서 ±0.5개 → ±0.1 올/cm)은 확대경 손세기보다 오히려 정밀할 것으로 예상된다. 그때 정확도의 남은 주인은 무늬 읽기가 아니라 오버레이 자체다 — 프린터가 몇 %만 확대·축소해 찍어도 그 오차가 결과로 그대로 옮겨 가므로, 선 50개 폭 보정이 사실상 이 계기의 영점 조정이다. 해상도도 상한을 긋는다. 600 dpi의 점 간격은 약 0.04 mm여서 24 줄/cm 격자는 한 주기에 점 열 개가 들어가 넉넉하지만, 40 줄/cm를 넘는 촘촘한 천이라면 주기당 대여섯 점으로 선이 뭉개지기 시작한다. 복잡한 직물은 다른 이유로 어긋난다. 옥스퍼드처럼 올 두 가닥이 한 묶음으로 짜인 천은 무늬가 묶음의 주기에 잠겨 밀도를 절반으로 읽기 쉽고, 표면을 날실이 대부분 덮는 능직인 데님은 한쪽 방향의 대비가 약해 무늬가 흐려진다. 무아레 계수기의 신뢰도는 무늬를 얼마나 잘 세느냐보다 그 무늬가 직물의 어느 주기에 잠겼는지를 아느냐에 달려 있다 — 픽 글라스로 짜임을 먼저 확인하는 ②단계가 그래서 필요하다.

더 탐구하기

1. 같은 밀도의 오버레이를 직물 위에서 조금씩 돌리며, 회전각 θ에서 무늬 간격이 p/(2sin(θ/2))로 줄어드는 각도 무아레로도 밀도를 재고 평행법과 정밀도를 비교해 보자.

2. 오버레이 두 장을 서로 겹쳐 보자 — 같은 파일을 두 번 인쇄했는데도 무늬가 생긴다면 그 자체가 프린터 배율·이송 오차의 측정이 된다.

3. 루노미터처럼 선 밀도가 한쪽으로 갈수록 연속적으로 변하는 쐐기 격자를 인쇄해, 무늬가 가장 넓어지는 위치에서 밀도를 바로 읽는 눈금자를 만들어 보자.

4. 직물을 스마트폰으로 찍을 때 화소 격자와의 사이에서 생기는 촬영 무아레(에일리어싱)를 관찰하고, 오버레이 무아레와 무엇이 같고 다른지 견주어 보자.

연결 주제

물리 1998 문제 9 「직물의 빛 회절」 — 같은 직물과 픽 글라스를 쓰지만, 그쪽은 실틈이 빛의 파장 크기에서 빛을 갈라 내는 회절이고 이쪽은 밀리미터 눈금끼리의 기하학적 겹침이다. 물리 1993 문제 15 「울타리와 시간 표본화」 — 주기 구조의 표본화가 무늬를 만든다는 점이 같고, 그쪽은 시간이, 이쪽은 공간이 표본화된다.

참고문헌

[학생] 한국어 위키백과 「무아레」(개념·사례 개관) / EPFL 무아레 시연 킷(인쇄용 격자 PDF, lspwww.epfl.ch) / Lunometer 기술 해설(lunometer.de — 모아레 직물 검사기의 원리) / 영상 검색어 “moiré thread counter”, “moiré pattern” / [심화] G. Reich, “A Moiré Pattern-Based Thread Counter,” The Physics Teacher 55(7), 426–430 (2017), doi:10.1119/1.5003746 — 실 계수(날실+씨실 밀도의 합) 정의와 모아레식 계수기(이 문제의 출발 문헌) / Y. Liu 외, “Study for a lab-made Moiré pattern-based thread counter,” Eur. J. Phys. 42, 034001 (2021), doi:10.1088/1361-6404/abc091 — 이 문제(32회 IYPT)를 직접 다뤄 필름 인쇄 오버레이와 카메라 영상 분석으로 단순 직물 10종의 실 계수와 정확도를 비교 / W.-C. Wang, “Moiré Method”(워싱턴대 강의 자료) — 평행·회전 겹침의 무늬 간격 일반식 / X. Wen 외, J. Phys.: Conf. Ser. 1952, 022037 (2021), doi:10.1088/1742-6596/1952/2/022037 — 회전각에서 밀도를 읽는 각도식 모아레 직물 계측기 / ASTM D3775 — 날실·씨실 계수 표준 시험법(②단계 기준값의 근거). ※ 원리 교과서·상용 기기·인쇄 오버레이 구현까지 문헌이 넓다. 확인된 정량 검증은 평직 위주이므로(Liu는 단순 직물만), 능직·바스켓직에서 무늬가 어느 표면 주기에 잠기는지를 학생 장비로 판별하는 절차의 정리가 남은 여지다.