세게 불수록 붙잡히는 공 — 깔때기와 공

탐구 주제

IYPT 2019 문제 4 ‘Funnel and Ball’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2019 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(힘의 평형·부력) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학 시스템) / 물리학 「힘과 에너지」(평형과 안정성) · 진로선택 「역학과 에너지」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

압력, 대기압, 정압과 동압, 정체압, 베르누이 방정식, 연속 방정식, 유량, 유선, 관로 흐름, 점성 마찰 손실, 힘의 평형, 안정·불안정 평형, 자려 진동

원리 살펴보기

깔때기 아가리를 바닥 쪽으로 향하게 들고 목으로 공기를 불어넣으며 탁구공을 갖다 대면, 공은 떨어지지 않고 깔때기 속에 매달린다. 밀어내야 할 바람이 도리어 공을 붙잡고, 세게 불수록 더 단단히 붙잡힌다. 비밀은 공과 깔때기 벽 사이의 좁은 고리 모양 틈에 있다. 불어넣은 공기는 전부 이 틈을 지나 넓은 아가리로 빠져나가야 하므로 틈에서는 유속이 크게 빨라진다(연속 방정식). 흐름은 아가리에서 대기압으로 나가는데, 틈에서 아가리까지 가며 느려지려면 압력이 점점 높아지는 언덕을 거슬러야 한다. 거꾸로 말하면 좁은 틈의 압력은 대기압보다 낮고, 공 바깥면을 미는 대기압이 그 차이만큼 공을 깔때기 쪽으로 밀어 올린다.

그렇다고 공이 끝까지 빨려 들어가지는 못한다. 틈이 완전히 막히는 순간 흐름이 멈추고, 공 꼭대기의 압력은 입김의 정체압(대기압보다 높다)으로 되돌아가 공을 도로 밀어낸다. 밀려나 틈이 열리면 다시 빨려 붙는다 — 이 붙잡힘과 밀려남의 빠른 되풀이가 실험 내내 들리는 달그락 소리다. 반대로 공이 깔때기에서 멀면 저압의 고리가 만들어지지 않아 그냥 밀려나므로, 충분히 가까워야 포획된다. 크기에도 창이 있다 — 실측 연구는 공 반지름이 목 반지름의 2배를 넘고 아가리보다는 작을 때 이 흡인이 지배함을 보고했다.

닿지 않고 집는 이 원리는 산업 곳곳에서 일한다. 베르누이 그리퍼(로봇 손이 뿜는 공기가 물체와의 틈에 만드는 저압으로 반도체 웨이퍼·깨지기 쉬운 식품을 흠집 없이 집는다), 공기역학 부양(재료과학에서는 노즐 위 기류에 시료를 띄워 도가니 없이 녹인다 — 그릇에 닿지 않아 오염이 없다), 벤투리 응용(분무기·기화기는 좁은 목에서 낮아진 압력으로 액체를 빨아올린다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

주방용 깔때기(아가리 지름 9~10 cm, 목 안지름 약 1 cm, 안쪽이 매끈한 것 — 안쪽에 능선이 있는 제품은 실패하기 쉽다), 탁구공(지름 40 mm, 약 2.7 g), 지름 15~60 mm의 매끈하고 가벼운 공들(크기 경계 확인용으로 지름 20 mm 부근을 꼭 포함), 주사기(탁구공에 물을 넣어 무게 조절)와 테이프, 소독용 알코올 솜, 송풍구가 있는 진공청소기와 비닐호스, 클립 수십 개와 가벼운 종이 접시, 실, 0.01 g 전자저울, PET 투명판(원뿔각 비교용 깔때기 제작), 보안경, 스마트폰(슬로모션·소리 녹음), (선택) 풍속계.

변인

독립변인은 차례로 바꾼다 — 먼저 송풍 세기(우회 구멍 단계), 다음은 공의 무게와 지름, 마지막은 깔때기의 원뿔각이다. 종속변인은 공이 떨어지기 직전까지 버티는 최대 매달림 무게(공+접시+클립)와 달그락거림의 진동수다. 통제변인은 깔때기·호스·이음매, 공의 표면 상태, 깔때기의 방향(연직 아래), 실내 기류다.

실험 순서

1. 알코올 솜으로 닦은 깔때기를 아가리가 아래로 가게 들고 입김을 불며 탁구공을 댄다. 세게 불수록 잘 붙잡히는지, 멈추면 바로 떨어지는지, 달그락 소리가 나는지 관찰한다.

2. 진공청소기 송풍구와 깔때기 목을 호스로 잇고, 호스 옆에 같은 크기의 우회 구멍 3~4개를 뚫어 완전히 막는 개수로 송풍 단계를 정한다(막을수록 세다) — 반쯤 가린 테이프는 되돌리기 어렵다. 풍속계가 있으면 단계마다 목 근처 유속을 함께 재 두고, 각 단계에서 공이 포획되는지 기록한다.

3. 공 아래에 실로 종이 접시를 매달고 클립을 하나씩 얹어, 공이 떨어지는 순간의 공+접시+클립 무게를 잰다(단계마다 3회) — 그 세기의 최대 매달림 무게다.

4. 주사기로 물을 넣어 무게를 달리한 탁구공들로 같은 단계에서 매달림 여부를 확인해 ③의 곡선과 맞는지 본다.

5. 지름이 다른 공들로 포획 여부를 조사한다. 공 반지름이 목 반지름의 2배 부근인 공에서 성패의 경계가 나타나는지 본다.

6. PET 판으로 목 지름은 같고 원뿔각만 다른 깔때기를 2~3개 만들어(이음 테이프는 바깥쪽에만 붙여 안쪽을 매끈하게) ③을 되풀이하고, 소리와 슬로모션으로 단계별 달그락 진동수도 잰다.

안전 안내

입으로 부는 단계는 짧게 나눠 하고 어지러우면 바로 앉아 쉰다(과호흡 주의). 깔때기와 공은 사람이 바뀔 때마다 알코올 솜으로 닦고, 입을 대는 도구는 개인별로 쓴다. 진공청소기 송풍은 먼지를 뿜을 수 있으니 필터를 청소한 뒤 쓰고, 공이 튈 수 있으므로 보안경을 쓰고 얼굴을 아가리 정면에 두지 않는다. 송풍구가 완전히 막힌 상태로 오래 켜 두지 않는다(전동기 과열).

예상과 해석

먼저 예상해 보기

송풍을 한 단계 키우면 매달 수 있는 클립 수는 얼마나 늘까? 그리고 아가리를 위로 향한 깔때기 속 공은, 아무리 세게 불어도 왜 좀처럼 튀어나오지 않을까?

자료 정리

송풍 단계별 최대 매달림 무게를 표로 모으고, 가로축을 송풍 단계(풍속계가 있으면 목에서 잰 유속의 제곱)로 한 그래프를 원뿔각별로 겹쳐 그린다. 지름 실험은 공 반지름/목 반지름 비를 가로축으로 하여 포획의 성공·실패를 구분 기호로 표시한다. 소리 파형에서는 달그락 주기의 역수를 진동수로 읽어 같은 송풍 축에 얹는다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 잡는다.)

결과의 의미

송풍이 셀수록 최대 매달림 무게는 뚜렷이 늘고, 대략 유속의 제곱을 따르는 경향이 예상된다 — 틈의 압력 강하가 동압에 비례한다는 베르누이식 예상이다. 다만 실측 힘은 무마찰 계산보다 한참 작을 것이다 — 같은 원리의 평판 부양 실험에서 마찰을 무시한 계산은 압력 강하를 2배, 힘을 4배로 부풀렸다. 그 편차는 오차가 아니라 좁은 틈을 지나는 흐름의 점성 손실이 남긴 지문이다. 공 지름 실험에서 목 반지름의 2배 경계 안팎으로 성패가 갈린다면 문헌의 크기 창을 학교 장비로 재확인한 것이다. 무엇보다 깔때기가 공을 빠는 것이 아니라 뒤에서 미는 대기압이 공을 붙들고 있다는 그림이 서면, 불어서 집어 올린다는 역설은 신기한 마술이 아니라 압력을 자리별로 더한 계산 문제가 된다.

더 탐구하기

1. PET 깔때기 벽의 틈 위치에 작은 구멍을 내고 빨대로 물 U자관 압력계를 이어, 틈의 압력이 정말 대기압보다 낮은지 직접 재 보자 — 수백 Pa면 물기둥 몇 cm로 보인다.

2. 슬로모션 영상과 소리 파형을 나란히 놓고 막힘→밀려남→재포획의 한 주기가 달그락 한 번과 맞는지 확인해 보자. 이 진동수가 송풍 세기·공 무게와 맺는 법칙은 정성 설명만 있는 개방 지점이다.

3. 깔때기를 수평으로, 나아가 아가리가 위를 보도록 기울여도 포획이 유지되는지, 버티는 최소 송풍 세기가 방향에 따라 어떻게 변하는지 재 보자.

4. 사포로 거칠게 한 공과 안쪽에 능선이 있는 깔때기로 되풀이해, 매끈한 표면이 왜 필수인지 확인해 보자.

연결 주제

물리 2013 문제 5 ‘공기 제트 부양’ — 같은 탁구공을 공기로 띄우는 짝 문제다. 그쪽은 열린 제트가 공을 얹어 받치는 계라 베르누이만으로는 부족하고 코안더 효과가 등장하지만, 이쪽은 벽에 갇힌 관로 흐름이라 베르누이+손실 분석이 제대로 맞는 무대다. 물리 2018 문제 16 ‘음파 부양’과 물리 2020 문제 9 ‘교반자 부양’은 이름만 부양일 뿐 음향 복사압·자기력으로 기제가 다르다.

참고문헌

[학생] N. B. Kaye(클렘슨대 유체역학) 교육 블로그 ‘Levitating a Ping-Pong ball in a funnel’(teachingfluids.wordpress.com, 2013) — 시연 절차와 연속 방정식+베르누이 풀이, 달그락거림을 막힘→정체압→재포획의 순환으로 설명 / 영상 검색어 “funnel ping pong ball”, “Bernoulli funnel” / [심화] C. Waltham, S. Bendall, A. Kotlicki, “Bernoulli levitation,” American Journal of Physics 71(2), 176–179 (2003), doi:10.1119/1.1524162 — 아래로 부는 노즐 아래 평판이 약 1 mm 틈에 붙들려 2 kg 가까이 부양됨을 실측(틈 압력 최저 −10 kPa). 마찰을 무시하면 압력 강하 2배·힘 4배로 과대 / S. Pašić, N. Popara, “Lift force measurements in a Bernoulli funnel-ball experiment explained using the Bernoulli equation,” European Journal of Physics 46(3), 035006 (2025), doi:10.1088/1361-6404/adcc6c — 반지름 19.67~39.07 mm, 무게 0.037~0.159 N의 공들로 들어 올리는 힘을 실측, 공 반지름이 목 반지름의 2배 이상이고 아가리보다 작을 때 베르누이 효과가 지배함을 보고. ※ 달그락 진동수의 정량 법칙은 위 자료에서 확인하지 못했다 — 이 탐구의 개방 지점이다.