진동수를 나누는 종이 — 언더톤 소리

탐구 주제

IYPT 2019 문제 3 ‘Undertone Sound’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2019 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「빛과 파동」(파동의 발생과 전달, 소리의 특성) / 고등학교 과학탐구실험1 / 진로선택 「역학과 에너지」 ‘탄성파와 소리’(단진동, 악기의 원리) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

고유 진동수, 강제 진동, 공명, 비선형 진동, 접촉 단절, 서브하모닉(언더톤), 주기 배가, 배음, 소리 스펙트럼, 음향 방사, 튀는 공 모형

원리 살펴보기

스피커에 440 Hz 신호를 넣으면 440 Hz 소리가 난다. 흔드는 대로 따라 떨리는 것이 진동의 상식이고, 울리는 굽쇠 자루를 책상에 대면 소리가 훨씬 커지는 것도 익숙하다. 그런데 낭창한 종이에 가지 끝을 살짝만 대면, 이번에는 굽쇠 어디에도 없던 더 낮은 음이 흘러나온다. 비밀은 접촉이 붙었다 떨어졌다 한다는 데 있다. 종이는 굽쇠를 따라 떨리는 것이 아니라 굽쇠에게 주기적으로 얻어맞고 있다. 빠르게 흔드는 탁구채에 공이 매번 맞지 않고 몇 번에 한 번만 맞는 것처럼, 튕겨 나간 종이는 제자리로 돌아와야 다음 타격을 받는다.

꾹 누르면 종이는 굽쇠에 붙어 다니며 굽쇠와 같은 진동수 f로 떨린다. 살짝 대면 종이가 타격에 밀려났다 돌아오고, 그 왕복이 굽쇠 주기의 n배와 맞물리는 순간 안정하게 반복되는 상태가 된다. 종이의 주기는 n배가 되고 진동수는 f/2, f/3처럼 정수분의 1로 내려간다. 박자를 정하는 굽쇠가 매 주기 똑같이 돌아오므로 정수 계단이 주로 남는다(n주기에 m번 부딪는 유리수 상태도 있다). n=2면 한 옥타브 아래, n=3이면 다시 완전5도 아래 — 크납먼은 1904년 작은 종이 조각으로 이 사다리를 열 단 가까이 들었다고 보고했다. 게다가 두 가지가 서로 반대로 흔들리는 굽쇠는 공기를 밀고 당기는 효과가 상쇄되는 서툰 방출자(사중극)이고, 넓은 종이는 그보다 잘 내보내므로 귀에 잡히는 쪽은 주로 종이가 내는 f/n이다 — 다만 낮은 단은 종이를 빈 상자에 붙여야 겨우 들린다.

진동수를 정수로 나누는 서브하모닉은 신호로도 쓰인다. 초음파 비파괴 검사는 덜 닫힌 균열 면이 접촉을 끊었다 이으며 만드는 절반 진동수 성분으로 균열을 찾아내고, 기계 설비 진단은 헐거워진 볼트·베어링이 내는 서브하모닉을 고장의 전조로 읽는다. 바이올린의 서브하모닉 주법은 활 압력을 조절해 기본음보다 낮은 음을 끌어내는 현대 연주 기법이고, 스피커 품질 검사는 조립 불량 진동판의 덜걱임을 같은 원리로 걸러낸다. 모두 ‘정수로 나뉜 낮은 진동수가 들리면 어딘가에서 접촉이 끊겼다 이어지고 있다’는 같은 문법을 읽는 기술이다.

실험 설계

준비물

소리굽쇠(440 Hz 또는 512 Hz)와 고무망치, A4 복사지·엽서 크기 종이 조각, 습자지와 명함(강성 비교용), 스탠드와 집게, 빈 나무 상자나 골판지 상자(종이 모서리를 붙여 소리를 보강), 스마트폰(FFT 스펙트럼·스펙트로그램 앱), 자.

변인

독립변인은 접촉 세기(누르는 정도)와 접촉 위치, 종속변인은 스펙트럼에서 가장 낮은 주요 봉우리의 진동수(굽쇠 진동수를 이 값으로 나눈 몫이 언더톤 차수 n)이다. 통제변인은 소리굽쇠의 진동수, 종이의 종류와 크기, 타격 세기, 종이-마이크 거리(10 cm)이다.

실험 순서

1. 종이 없이 굽쇠만 때려 기본 진동수 f를 스마트폰 FFT로 확인한다(예: 440 Hz). 분해능이 1 Hz 수준이 되도록 분석 창을 길게 잡고, 마이크는 종이를 걸 자리에서 10 cm에 고정한다.

2. 스탠드에 종이를 집게로 늘어뜨리고, 울리는 굽쇠의 가지 끝을 종이 가장자리에 꾹 눌러 댄다. 소리는 커지지만 진동수는 f 그대로임을 확인한다 — 이것이 기준 상태다.

3. 같은 자리에 이번에는 겨우 닿을 만큼만 살짝 대고 스펙트로그램을 녹음한다. f 아래에 새 선이 나타나면 진동수를 읽고 f를 그 값으로 나눈 몫이 정수에 맞는지 본다(조건마다 3회).

4. 누르는 세기를 서너 단계로, 접촉 위치를 가장자리에서 중앙 쪽으로 옮겨 가며 각 조건의 n을 기록해 한 장의 지도로 만든다.

5. 굽쇠를 세게 때린 뒤 접촉을 유지한 채 소리가 잦아들 때까지 녹음해, 진폭이 줄면서 낮은 선이 어떻게 변하는지 본다.

안전 안내

소리굽쇠는 고무망치나 무릎·손바닥에 쳐서 울리고, 책상 모서리 같은 단단한 물체에 치지 않는다(변형·파편 위험). 진동하는 굽쇠 끝을 눈·안경·치아에 대지 않고, 종이 모서리에 손을 베이지 않게 주의한다. 녹음을 이어폰 최대 음량으로 확인하지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

같은 굽쇠라도 더 살짝 댈수록, 그리고 세게 때려 진폭이 클수록 음은 어느 쪽으로 움직일까? 낮아진다면 아무 진동수로나 미끄러질까, 아니면 정해진 계단으로만 내려갈까?

자료 정리

스펙트로그램(시간-진동수 그림)을 기본 기록으로 삼는다. 조건별로 가장 낮은 주요 선의 진동수를 읽어 f를 그 값으로 나눈 몫이 2, 3, 4…에 얼마나 가까운지 표로 정리하고 접촉 세기·위치별 n을 지도로 모은다. 440 Hz 굽쇠의 여덟째·아홉째 언더톤은 55 Hz와 48.9 Hz로 약 6 Hz 차이라 분석 창이 짧으면 뭉개진다. 스마트폰 마이크는 100 Hz 아래에서 감도가 떨어지므로 선의 세기 비교는 피하고 위치(진동수)만 읽는다. 몫이 정수에서 뚜렷이 벗어난 구간은 같은 조건에서 다시 녹음해, 되풀이되지 않으면 과도 상태로, 되풀이되면 별도의 상태로 기록한다. 녹음은 자동 이득 조절을 끄고 하고, 굽쇠를 대지 않은 같은 자리의 배경 녹음을 조건마다 한 번씩 남겨 계측 잡음과 방 소음을 걸러낸다.

결과의 의미

접촉이 약할수록, 진폭이 클수록 더 깊은 언더톤(큰 n)이 나오고 꾹 누르면 굽쇠 음으로 돌아오며, 언더톤 진동수는 f/n의 정수 관계에 1% 안쪽으로 맞을 것으로 예상된다. 공명도 자려 진동도 아닌 세 번째 길, 곧 끊겼다 이어지는 접촉의 비선형이 진동수를 나눈다는 것이 이 결과의 의미다. 감쇠 녹음(절차 ⑤)에서는 낮은 선이 계단식으로 올라오다 굽쇠 음만 남을 것이다 — 크납먼이 1904년 관찰한 기본음 복귀다. 어떤 조건에서 선 대신 넓게 번진 잡음이 보이면 버리지 말고 ‘비주기 신호’로 따로 적어 두자. 튀는 공 모형은 주기 배가를 거쳐 혼돈으로 가는 것으로 알려져 있지만, 주기가 1→2→4로 갈라지는 모습이 되풀이될 때에야 혼돈을 이야기할 수 있다.

더 탐구하기

1. 신호발생기 앱을 연결한 스피커 위에 작은 구슬을 얹어 튀는 공 실험의 원형을 재현해 보자. 진동수와 진폭을 마음대로 걸 수 있어 n이 바뀌는 경계와 주기 배가를 지도로 그릴 수 있다.

2. 감쇠가 아쉬우면 전동칫솔처럼 진폭이 일정한 진동자로 바꿔 오래 관찰해 보자 — 크납먼이 제안한 전기 유지 굽쇠의 현대판이다.

3. 습자지·복사지·명함 순으로 강성을 바꿔, 빳빳해서 빨리 돌아오는 종이일수록 낮은 n만 남는지 보자.

4. 진동수가 다른 굽쇠(256 Hz, 512 Hz)로 반복해, 언더톤 사다리가 굽쇠 진동수에 비례해 이동하는지 보자.

연결 주제

IYPT 2017 문제 13 ‘공명하는 잔’은 밖에서 준 진동수를 그대로 받는 강제 공명이고, IYPT 1999 문제 6 ‘노래하는 잔’은 마찰이 고유 진동수를 스스로 세우는 자려 진동이다. 이 문제는 남이 준 진동수를 정수로 나눠 내려온다는 점에서 두 편과 대비되며, 세 편이 같은 스마트폰 스펙트럼 분석을 쓴다.

참고문헌

[학생] 댄 러셀(펜실베이니아 주립대)의 음향 애니메이션 ‘Sound Field Radiated by a Tuning Fork’(acs.psu.edu/drussell) — 굽쇠가 왜 홀로는 소리가 약한지 보여 준다 / 영상 검색어 “IYPT 2019 undertone sound”, “subharmonic tuning fork” / [심화] H. Knapman, “An experiment illustrating harmonic undertones,” Proc. R. Soc. Lond. 74, 118–120 (1905), doi:10.1098/rspl.1904.0092 — 이 현상의 최초 보고. 약한 접촉에서 종이가 n주기마다 얻어맞아 f/n 사다리가 약 10단까지 나오고, n이 접촉 위치에 따라 바뀌며, 세게 누르거나 진폭이 줄면 기본음으로 돌아감을 기록 / N. B. Tufillaro, A. M. Albano, “Chaotic dynamics of a bouncing ball,” Am. J. Phys. 54(10), 939–944 (1986), doi:10.1119/1.14796 — 진동판 위 튀는 공의 주기 배가와 혼돈을 다룬 학부 실험 / J. J. Barroso, M. V. Carneiro, E. E. N. Macau, “Bouncing ball problem: Stability of the periodic modes,” Phys. Rev. E 79, 026206 (2009), doi:10.1103/PhysRevE.79.026206 — n주기 모드의 안정 조건 / D. A. Russell, “On the sound field radiated by a tuning fork,” Am. J. Phys. 68(12), 1139–1145 (2000), doi:10.1119/1.1286661 — 굽쇠 기본 모드는 사중극 방사라 방출 효율이 낮음. ※ 굽쇠-종이 조합에서 접촉 세기·위치·종이 강성이 n을 고르는 정량 지도는 크납먼과 그를 이은 베츠만·쿠르츠(1938) 이후 문헌이 비어 있다(인용 관계 추적으로 확인) — 이 탐구의 개방 지점이다.