2026년 9월 30일 · 용티IYPT 2017 · 문제 13 · 파동·음향, 역학·진동

손대지 않고 잔을 울리는 법 — 공명하는 잔

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 2017 문제 13 ‘Resonating Glass’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2017 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「빛과 파동」(소리의 진동수) / 고등학교 통합과학1 「과학의 기초」(측정과 어림) / 진로선택 「역학과 에너지」(탄성파와 소리 — 공명·고유 진동수) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

강제 진동, 공명, 고유 진동수, 굽힘 모드, (2,0) 모드, 마디와 배, 공명 곡선, 반치폭, Q값(품질 계수), 감쇠, 울림 시간, 부가 질량, 1차 섭동, 모드 분리, 맥놀이, FFT, 주파수 분해능

원리 살펴보기

스피커에서 나온 소리 하나로, 손도 대지 않은 와인잔을 울릴 수 있다. 비결은 그네와 같다 — 아무 때나 밀면 흔들리지 않지만 돌아오는 박자에 맞춰 밀면 작은 힘이 차곡차곡 쌓인다(강제 진동과 공명). 잔에도 제 박자가 있어, 테두리가 원에서 타원으로 눌렸다 늘어나기를 되풀이하는 굽힘 모드로 떨린다. 마디 넷·배 넷인 이 기본 모드를 (2,0) 모드라 부른다. 스피커의 진동수가 이 고유 진동수에 맞을 때만 잔이 반응하고, 조금만 어긋나면 아무 일도 일어나지 않는다. 그러니 첫 변수는 “얼마나 정확히 맞아야 하는가”, 곧 공명의 폭이다.

그 폭을 정하는 것이 Q값이다. 두드린 잔이 몇 초씩 울린다는 건 에너지가 천천히 샌다는 뜻이다. 포락선의 진폭이 1/e로 잦아드는 시간 τ로 Q = π f τ, 공명 곡선의 반치폭은 Δf = f/Q다. 빈 잔은 Q가 3000~4000쯤이라 600 Hz에서 공명 폭이 0.2 Hz도 되지 않고 물을 채우면 Q가 1000 근처로 떨어지는데, 어느 쪽이든 진동수를 1 Hz씩 올려 훑으면 봉우리를 통째로 건너뛴다. 액체를 부으면 벽이 떨릴 때 액체도 따라 움직여야 해 관성이 늘고, 그만큼 공명 진동수는 내려간다. 한 홀로그래피 연구는 ω² = ω₀²/(1 + αhⁿ)(h는 액체 높이, α는 밀도에 비례)이 n ≈ 5.5로 맞음을 보였다 — 테두리 쪽이 훨씬 크게 떨리므로 수위가 올라올수록 낮아짐이 가팔라진다. 다만 이 식은 액체가 벽의 모드 모양을 바꾸지 않는다는 1차 섭동 가정 위에 선다 — 액체가 아주 무거워 벽을 붙들어 매면 오히려 진동수가 올라갈 수 있다고 원저자들이 한계로 짚어 두었다(어느 밀도부터인지는 아직 미결이다).

같은 (2,0) 모드가 첨단 장치의 심장에도 들어 있다. 반구형 공명 자이로스코프(잔 모양 석영 껍질의 이 모드를 진공에 봉해 Q를 수백만까지 올려 위성의 방향을 잡는다), MEMS 각속도 센서(같은 원리를 실리콘에 축소해 얹은 칩을 업계는 ‘와인글라스 모드’라 부른다), 타음 검사(두드린 소리의 진동수와 감쇠로 도자기·주물의 숨은 금을 걸러낸다)에 쓰인다.

실험 설계

준비물

얇은 와인잔 여러 개(금·이가 없는 것), 물, 계량컵과 자, 장갑과 빗자루, 스마트폰 2대(0.1 Hz 단위로 진동수를 지정하는 톤 발생기 앱, 녹음·FFT 앱, 소음계 앱), 소형 스피커, 보안경, 수건, 잔이 들어가는 투명한 통, 가는 빨대, 조명, 소금물과 묽은 물엿.

변인

독립변인은 스피커가 내는 소리의 진동수이다(한 번에 이 값만 바꾼다). 이어서 액체의 채움 높이와 종류를 독립변인으로 삼는다. 종속변인은 스피커를 끈 직후 이어지는 울림의 세기이며(구동음이 섞이지 않게 끊고 잰다), 여기서 공명 진동수 f₀와 반치폭 Δf를, 울림 시간 τ에서 Q를 얻는다. 통제변인은 잔과 받침, 스피커의 거리·방향·출력, 마이크 위치, 액체의 온도이다.

실험 순서

  1. 빈 잔을 숟가락 손잡이로 가볍게 두드려 녹음한다. FFT로 기본 진동수 f₀를 읽고, 포락선 진폭이 1/e로 잦아드는 시간 τ를 재어 Q = π f₀ τ와 공명 폭 Δf = f₀/Q를 구한다 — 다음 단계에서 훑을 폭을 정한다. 빈 잔은 찌그러짐 탓에 모드가 3~4 Hz 갈라져 울림이 맥놀이로 출렁이니, 포락선의 마루를 이어 1/e를 읽고 여러 번 두드려 평균한다.

  2. 스피커를 잔 테두리 옆 2~5 cm에 한쪽만 마주 보도록 놓는다. (2,0) 모드는 고르게 걸리는 압력으로는 떠밀리지 않아, 압력이 잔의 지름을 가로질러 달라지는 가까운 거리라야 한다.

  3. 음압을 안전 상한 아래로 맞춘 뒤 f₀ 부근 ±5 Hz를 0.1 Hz씩 끊어 훑는다. 한 진동수마다 5τ(빈 잔은 10초쯤) 켰다 끄고, 끈 직후 울림의 첫 세기를 그 진동수의 반응으로 적는다 — 쉬지 않고 훑으면 잔이 따라오지 못해 봉우리가 낮게 잡히고(빈 잔은 0.1 Hz/s만 넘겨도 그렇다), 끝에서 한 번 끈 울림은 마지막 진동수의 것뿐이다. 켜 두는 시간이 짧아 안전 박스의 30초 한도도 저절로 지켜진다(빨대는 위치를 찾을 때만 쓰고 잴 때는 치운다 — 테두리는 진폭이 가장 큰 곳이라 무엇이든 닿으면 진동수와 울림이 함께 바뀐다).

  4. 반응 세기로 공명 곡선을 그려 봉우리의 f₀와 반치폭 Δf에서 Q = f₀/Δf를 구하고 ①의 Q와 견준다 — 두 값이 맞아떨어지는지가 이 측정의 자기 검증이다. 빈 잔은 반치폭이 0.2 Hz 안팎이라 곡선으로 Q를 읽기 어려우니 그 몫은 물 채운 잔에 맡긴다.

  5. 물을 1 cm씩 채워 ①③④를 되풀이하고 높이마다 f₀·τ·Q를 적는다.

  6. 같은 높이로 소금물과 묽은 물엿을 써서 되풀이해, 진동수를 끌어내리는 성질과 봉우리를 뭉개는 성질을 가른다.

안전 안내

⚠ 안전

보안경을 쓴다. 금 가거나 이가 빠진 잔은 쓰지 않고, 잔 반대편에 투명 가림판을 세워 스피커 쪽만 트이게 하고 파편이 학생 쪽으로 튀지 않게 한다. 깨진 조각은 장갑과 빗자루로 치운다. 음압은 학생 자리가 아니라 잔 위치를 기준으로 105 dB 이하로 제한한다 — 얇은 잔은 잔 위치 125 dB 부근에서 깨진다는 보고가 있어 20 dB의 여유를 둔 값이다. 소음계 앱은 잔에서 1 m 떨어진 곳에 두어 80 dB(A)를 넘지 않게 하되 출력을 올릴 때는 잔 옆에서 한 번 더 확인하고, 한 번에 30초를 넘기지 않는다. 이 설계는 잔을 깨뜨리는 실험이 아니며, 깨뜨리기 시연은 영상으로만 본다. 물과 전자기기를 함께 두지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

스피커의 진동수를 1 Hz씩 올리며 훑으면 공명을 찾을 수 있을까, 놓칠까? 그리고 물을 채우면 공명 진동수와 울림 시간은 각각 어느 쪽으로 움직일까?

자료 정리

진동수별 반응 세기로 공명 곡선을 조건마다 겹쳐 그린다. 봉우리 높이의 절반(세기 기준, 진폭이라면 0.707배)이 되는 두 진동수 사이 거리가 반치폭이다. 가로축을 액체 높이로 바꾼 f₀ 곡선과 Q 곡선도 나란히 놓는다. 심화에서는 세로축을 (f₀/f)² − 1로 바꿔 로그–로그 그래프에 올린다 — 모형이 맞다면 직선이 되고 기울기가 지수 n이다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

물을 채울수록 공명 진동수는 내려가되 단순 비례가 아니라 높이의 거듭제곱을 따라 가팔라지고, 봉우리는 낮고 넓어질 것이다. 진동수를 끌어내리는 것은 액체의 관성이고 봉우리를 뭉개는 것은 액체의 손실이라, 한 장의 그래프에서 두 성질이 따로 읽힌다. 더 값진 수확은 Δf = f₀/Q가 실험 설계를 좌우한다는 깨달음이다. 1 Hz 간격 훑기는 봉우리를 건너뛸 수 있고, 스마트폰 FFT의 분해능은 분석 창 길이의 역수라 대개 몇 Hz여서 반치폭보다 굵다 — Q를 시간 영역에서 재는 까닭이다. 잴 양의 크기를 먼저 계산해 장비 한계와 견주는 훈련이 이 탐구의 알맹이다.

더 탐구하기

  1. 빈 잔을 두드린 파형에서 세기가 커졌다 작아지는 맥놀이를 찾아보자. 찌그러짐이 (2,0) 모드를 가까운 두 진동수로 갈라놓기 때문이며, 맥놀이 주기의 역수가 그 간격이다.

  2. 스피커의 출력을 고정한 채 거리와 방향만 바꿔 반응이 얼마나 달라지는지 재어, (2,0) 모드가 고르게 걸리는 압력에 둔감하다는 예측을 검증해 보자.

  3. 문질러 낼 때와 스피커로 몰아줄 때의 스펙트럼을 견주어 보자. 앞은 스스로 진동수를 고르는 자려 진동이고, 뒤는 진동수를 정해 주되 어긋나면 아무 일도 없는 강제 진동이다.

연결 주제

IYPT 1999 문제 6 ‘노래하는 잔(Singing glass)’ — 같은 (2,0) 모드를 다루는 짝 원고이나, 그쪽은 문질러 울려 음높이가 액체에 따라 옮겨 가는 길을 좇고 이 원고는 밖에서 진동수를 정해 주고 공명 폭과 Q를 잰다. IYPT 2025 문제 15 ‘우는 그릇’ — 모드 분리와 맥놀이를 다루어 추가 실험 첫 항목과 이어진다.

참고문헌

[학생] C. Boone, M. Galloway & M. J. Ruiz, “Fun with singing wine glasses,” Physics Education 53(3), 035025, 2018, DOI 10.1088/1361-6552/aaae89 (스마트폰으로 물의 양에 따른 진동수를 재는 활동) / 영상 검색어 “wine glass resonance loudspeaker”(깨뜨리는 시연은 따라 하지 말 것) / [심화] G. Jundt 외 5인, “Vibrational modes of partly filled wine glasses,” JASA 119(6), 3793–3798, 2006, DOI 10.1121/1.2198183 (스피커로 (2,0) 모드를 골라 여기하고 홀로그래피로 찍었다. 채우면 진동수가 내려가며 ω²=ω₀²/(1+αhⁿ)에 n≈5.5로 맞고, 모드 모양은 거의 그대로이며 α는 밀도에 비례한다. 액체가 아주 무거우면 1차 섭동 가정이 깨져 진동수가 오히려 올라갈 수 있다. 빈 잔에서 약 4 Hz 갈라진 두 직교 모드가 채우면 겹친다 — 본문 적용 조건의 출처) · K. D. Skeldon, V. J. Nadeau & C. Adams, “The resonant excitation of a wineglass using positive feedback with optical sensing,” American Journal of Physics 66(10), 851–860, 1998, DOI 10.1119/1.19031 (되먹임으로 잔을 공명시켜 파괴까지 간 실험 — 안전 상한의 근거) · M. Lendermann 외, “Comprehensive vibrational dynamics of half-open fluid-filled shells,” Proceedings of the Royal Society A 475(2227), 20190207, 2019, DOI 10.1098/rspa.2019.0207 (구조·점성 감쇠를 함께 넣어 채움 높이별 Q를 계산 — 4분의 3에서 물은 Q ≈ 909, 아주 끈적한 액체는 4.8). ※ 이론과 실험실 측정은 있으나 학교 장비로 채움 높이별 Q를 실측해 그 계산과 견준 자료는 찾기 어렵다 — 그것이 개방 지점이다.

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