튕겨 나가지 않는 공 — 회전판 위의 구르기

탐구 주제

IYPT 2016 문제 11 ‘Rolling on a Disc’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2016 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「여러 가지 힘」(마찰력) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(등속 원운동) · 물리학 「힘과 에너지」(등속 원운동 · 돌림힘) / 진로선택 「역학과 에너지」(회전 운동 · 관성 모멘트 · 각운동량, 비관성계의 겉보기 힘) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

구름 운동, 미끄러지지 않는 구름 조건, 정지 마찰력, 구름 마찰, 관성 모멘트, 돌림힘, 각운동량, 각속도, 등속 원운동, 비관성계, 원심력, 코리올리 힘

원리 살펴보기

회전하는 원판 위에 공을 올려놓으면 원심력에 밀려 판 밖으로 날아갈 것만 같다. 그런데 실제로는 튕겨 나가지 않고, 판 위에 머문 채 완만한 원을 그리며 돈다. 비밀은 판이 공의 발밑을 스치며 지나간다는 데 있다. 접촉점에서 미끄러지지 않으려는 정지 마찰력이 공을 쉼 없이 옆으로 밀어, 공을 굴리는 동시에 진행 방향을 계속 꺾는다. 마찰력이 늘 속도에 수직으로 작용하는 셈이어서, 마치 회전 좌표계의 코리올리 힘처럼 공을 원 궤도 안에 붙잡아 둔다.

더 놀라운 것은 이 원을 도는 빠르기다. 속이 찬 균일한 구의 중심은 판이 도는 각속도의 2/7배로 판과 같은 방향으로 원을 그린다 — 공의 무게도, 크기도, 그려지는 원의 크기도 이 비율을 바꾸지 못한다. 2/7이라는 숫자는 오로지 구의 관성 모멘트에서 나온다. 굴리기 힘든 정도를 나타내는 값 β(=I/mr²)가 클수록 회전 비율 β/(1+β)이 커지므로, 이론은 링(β=1)이 1/2, 원반(β=1/2)이 1/3, 속이 찬 구(β=2/5)가 2/7로 돌 것이라 내다본다 — 실험으로 확립된 것은 구의 2/7이고, 세워 구르는 링·원반의 값은 선접촉·세차 때문에 실험으로 가려 볼 후보다. 공을 어떻게 놓든 궤도는 원이며, 세게 굴릴수록 원이 커질 뿐 도는 빠르기는 그대로다.

이 단순한 장난감 실험의 방정식은 뜻밖에 넓은 곳에서 되풀이된다. 기상·해양 순환(회전판 위 공의 원 궤도는 지구 자전이 태풍과 해류를 휘게 하는 코리올리 힘의 고전적 모형이다), 하전 입자 장치(자기장 속 전자의 사이클로트론 운동과 방정식이 똑같아 회전판이 아날로그 실험대가 된다), 물체 선별·비파괴 검사(속이 찬 것과 빈 것은 관성 모멘트가 달라 다르게 굴러, 모양과 속을 접촉 없이 가려낸다), 회전 기계의 구름 요소(베어링 볼처럼 도는 면 위를 구르는 요소가 어디로 쏠리는지 예측한다).

실험 설계

준비물

수평으로 도는 회전판(레코드플레이어나 전동 턴테이블, 사무용 회전 원판도 가능), 굴릴 여러 물체(쇠구슬·유리구슬·탁구공 같은 구, 반지 모양 링, 동전이나 납작한 원반), 미끄러짐을 줄일 얇은 고무 매트나 쟁반, 판 위를 똑바로 내려다보며 찍을 스마트폰과 삼각대, 모눈 배경지, 회전 속도를 읽을 스마트폰 자이로스코프 앱(또는 초당 회전수를 셀 표식).

변인

독립변인은 회전판의 각속도이며, 여기에 더해 굴리는 물체의 종류(관성 모멘트 β가 다른 구·원반·링)를 한 번에 하나씩만 바꾼다. 종속변인은 물체의 중심이 판 위에 그리는 원 궤도의 공전 각속도, 또는 그것을 판의 각속도로 나눈 비율이다. 통제변인은 물체를 놓는 처음 위치와 속도, 판 표면의 마찰(미끄러지지 않도록), 판의 수평 정렬 상태, 그리고 같은 종류 안에서 물체의 크기와 무게이다.

실험 순서

1. 회전판을 일정한 각속도로 돌리고, 판 위를 똑바로 내려다보도록 스마트폰을 삼각대에 고정해 고속 촬영을 시작한다 — 판의 각속도는 가장자리에 붙인 표식의 초당 회전수로 따로 잰다.

2. 속이 찬 쇠구슬을 판의 중심에서 벗어난 곳에 거의 정지 상태로 살며시 올려놓고, 판 밖으로 튕겨 나가는지 아니면 판 위에 머무는지 관찰하며 촬영한다.

3. 영상에서 구의 중심이 지나간 자리를 프레임마다 찍어 궤도가 원인지 확인하고, 그 원을 한 바퀴 도는 데 걸린 시간으로 공전 각속도를 구해 판의 각속도로 나눠 비율을 낸다.

4. 판의 각속도를 여러 값으로 바꿔 가며 앞 두 단계를 되풀이해, 이 비율이 각속도와 무관하게 일정하게 유지되는지 확인한다.

5. 같은 절차를 링과 원반(동전)으로 반복해, 관성 모멘트가 다르면 비율이 어떻게 달라지는지 구의 값과 나란히 비교한다.

안전 안내

회전판의 돌아가는 부분에 머리카락·옷소매·손가락이 말려들지 않도록 긴 머리는 묶고 소매를 걷는다. 판 가장자리에서 물체가 예상보다 빠르게 튕겨 나갈 수 있으니 얼굴을 판 높이에 두지 말고 주변에 사람이 없는지 살핀다. 쇠구슬은 딱딱하고 무거워 떨어지면 발등을 다치거나 굴러가 걸려 넘어지게 하므로 바닥에 떨어진 것은 바로 줍는다. 각속도는 처음부터 높이지 말고 천천히 올려, 판이 흔들리거나 물체가 날아가는 조건을 미리 가늠한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

회전판 위에 공을 살며시 놓으면 원심력에 밀려 곧장 판 밖으로 날아갈까, 아니면 판 위에 머문 채 어떤 궤도를 그릴까? 그리고 구·원반·링 가운데 어느 것이 가장 느린 비율로 돌까?

자료 정리

물체마다 판의 각속도와 그때 측정한 공전 각속도를 표로 모은 뒤, 가로축을 판의 각속도, 세로축을 공전 각속도로 하여 그래프를 그린다 — 원점을 지나는 직선이라면 그 기울기가 곧 회전 비율이다. 구·원반·링의 기울기를 관성 모멘트 값(2/5, 1/2, 1)과 나란히 놓아, β/(1+β) 예측(2/7, 1/3, 1/2)과 견준다. 판이 너무 빨라 구름이 미끄러짐으로 바뀌면 값이 예측에서 벗어나므로, 예측선에서 어긋나기 시작하는 각속도도 함께 표시한다. (수치는 실제 촬영으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

구는 판 밖으로 날아가지 않고 판과 같은 방향으로 원을 그리며, 판 각속도의 약 2/7배로 돌 것으로 예상된다. 원심력에 대한 직관과는 정반대로, 미끄러지지 않으려는 구름 마찰이 공을 원 궤도에 붙잡아 두는 것이 이 현상의 핵심이다. 공전 각속도가 판 각속도에 정비례하고 그 비율이 물체의 크기·무게·궤도 크기와 무관하게 관성 모멘트로만 정해진다면, 이는 미끄러지지 않는 구름의 정지 마찰력이 코리올리 힘과 수학적으로 같은 꼴(속도에 수직인 힘)로 작동한다는 증거다. 다만 각속도를 너무 높이거나 매끄러운 판을 쓰면 구름이 미끄러짐으로 바뀌어 공이 정말로 튕겨 나가므로, 예측이 성립하는 경계(구름↔미끄러짐)를 찾는 일 자체가 이 탐구의 알맹이다.

더 탐구하기

1. 속이 찬 쇠구슬과 속이 빈 탁구공(얇은 껍질만 있는 구)을 견주어, 관성 모멘트가 더 큰 빈 구가 오히려 더 빠른 비율(속 찬 구 2/7 대 빈 구 2/5)로 도는지 확인해 보자.

2. 판을 아주 살짝 기울여, 닫힌 원 궤도가 옆으로 서서히 흘러가는(드리프트) 열린 곡선으로 바뀌는 모습을 관찰해 보자 — 기운 회전판 위 공의 표류.

3. 판 위에 둥근 테두리(그릇)를 두고 공을 여럿 넣어, 공의 수가 적을 때와 빽빽할 때 무리가 도는 방향이 갈리는지 관찰해 보자.

4. 매끄러운 판(기름칠)과 거친 판을 비교해, 구름이 미끄러짐으로 바뀌면서 공이 실제로 튕겨 나가기 시작하는 각속도 문턱을 찾아보자.

연결 주제

물리 2023 문제 15 ‘팬케이크 회전(Pancake Rotation)’ — 둥근 그릇을 수직축 둘레로 휘저으면(원을 그리며 흔드는 오비탈 스월링) 공 무리가 같은 방향으로도, 반대 방향으로도 돈다. 공이 적으면 액체처럼 스월을 따라 돌지만, 공을 빽빽이 채우면 무리가 밀집(잼밍)으로 하나의 고체처럼 굳어 그릇 안쪽 벽을 미끄러짐 없이 구르며 반대로 돈다 — ‘움직이는 면 위의 마찰이 무리를 끌고 간다’는 뿌리는 이 원고와 닿아 있으나, 방향을 가르는 것은 충돌이 아니라 밀집도다. 같은 위에서 촬영·궤도 분석법을 그대로 이어 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] R. Cross, “Rolling motion of a ball on a turntable,” Physics Education 56(6), 065003 (2021), DOI 10.1088/1361-6552/ac1b18 (회전판 위 공이 2/7 비율로 원을 그림을 학교 수준의 실험과 간단한 식으로 정리) / 영상 검색어 “ball on rotating turntable”, “2/7 turntable ball”, “회전판 위의 공” / [심화] J. Gersten, H. Soodak, M. S. Tiersten, “Ball moving on stationary or rotating horizontal surface,” American Journal of Physics 60(1), 43–47 (1992), DOI 10.1119/1.17041 (정지·회전 표면 위 구의 운동을 구름 마찰로 통합해 다룬 표준 문헌) · K. Weltner, “Stable circular orbits of freely moving balls on rotating discs,” American Journal of Physics 47(11), 984–986 (1979), DOI 10.1119/1.11602 (회전판 위 공이 안정한 원 궤도를 그림을 밝힘) · R. Ehrlich, J. Tuszynski, “Ball on a rotating turntable: Comparison of theory and experiment,” American Journal of Physics 63(4), 351–359 (1995), DOI 10.1119/1.17920 (2/7 예측을 실측과 비교해 검증). ※ 균일한 속이 찬 구가 2/7 비율로 도는 것은 문헌으로 확립되어 있으나, 링·원반을 세워 굴릴 때 β/(1+β) 비율(1/2·1/3)의 깔끔한 원 궤도가 실제로 나오는지, 아니면 세차·기울어짐 같은 자이로 효과와 미끄러짐이 그 운동을 지배하는지는 이 탐구의 개방 지점이다.