당길수록 더 세게 물린다 — 종이 바이스

탐구 주제

IYPT 2016 문제 13 ‘Paper Vice’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2016 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「여러 가지 힘」(마찰력·수직항력) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(힘과 상호작용·힘의 평형) / 물리학·진로선택 「역학과 에너지」(힘의 분해·마찰력·평형) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

마찰력, 정지 마찰력, 운동 마찰력, 마찰 계수, 수직항력, 아몽통·쿨롱 마찰 법칙(F=μN), 장력, 힘의 분해, 양성 피드백(자기증폭), 무차원 증폭 계수 α, 캡스턴 방정식, 유효 마찰

원리 살펴보기

책장을 몇 장씩 번갈아 끼운 두 책은, 어른 여럿이 매달려도 자동차 두 대로 당겨도 떨어지지 않는다. 겨우 종이끼리의 마찰인데 왜 이렇게 강할까? 비밀은 당기는 힘 자체가 마찰을 키운다는 데 있다. 책등을 잡고 당기면 서로 끼워진 페이지들이 살짝 비스듬히 기울고, 그 바람에 페이지를 당기는 장력의 일부가 페이지 면을 서로 짓누르는 수직항력으로 바뀐다(힘의 분해). 수직항력이 커지면 그에 비례하는 마찰력도 함께 커지므로, 당길수록 페이지들이 서로를 더 세게 눌러 더 큰 마찰로 당김을 막는 양성 피드백이 걸린다 — 힘을 줄수록 덫이 스스로 더 꽉 조여드는 셈이다.

마찰력이 수직항력에 비례한다는 것이 아몽통·쿨롱의 마찰 법칙(F = μN)이다. 끼운 페이지가 많을수록 눌리는 접촉면이 층층이 쌓여, 위쪽 페이지를 당긴 힘이 아래로 갈수록 겹겹이 보태져 눈덩이처럼 증폭된다. 2016년 알라르콘 연구진은 이 현상을 통제된 소책자로 정밀 측정해, 떼는 데 드는 힘이 페이지 수·페이지 두께·책등–겹침 거리(책등에서 겹침 구간까지 — 깊이 끼울수록 짧아진다)·마찰 계수를 하나로 묶은 무차원 증폭 계수 α에 대해 거의 지수적으로 커짐을 밝혔다(Phys. Rev. Lett.). 특히 이 α는 번갈아 끼운 페이지 수의 제곱에 비례해, 몇십 장만 끼워도 필요한 힘이 폭발적으로 치솟는다. 한 과학 실험 프로그램에서 두 전화번호부를 사람도 자동차도 떼지 못해 군용 차량으로 당겨야 했던 것도 이 때문이다.

당기는 힘이 스스로 마찰을 키우는 이 원리는 곳곳에 숨어 있다. 밧줄과 캡스턴(capstan)·벨트 마찰(기둥이나 도르래에 밧줄을 여러 바퀴 감으면 잡는 힘이 감은 각도에 따라 지수적으로 커진다 — ‘기하가 마찰을 증폭한다’는 같은 법칙), 등반·구조의 마찰 매듭(프루지크)과 빌레이(하중이 클수록 매듭이 더 꽉 물어 미끄러지지 않는다), 직물·부직포·종이·복합재의 강도(수많은 섬유가 맞물려 마찰로 버틴다 — 알라르콘 연구는 이 원리가 나노 규모 조립까지 이어짐을 지적한다), 철근의 콘크리트 정착과 꼬인 강선 케이블(마찰과 맞물림으로 뽑히지 않게 붙든다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

비슷한 문고본(또는 같은 크기의 얇은 노트·소책자) 2권, 페이지 수를 조절해 끼우기 좋은 얇은 종이 묶음, 용수철저울 또는 고리에 걸 추와 추걸이, 두 책의 책등을 물려 당길 클램프·끈·고리, 자와 클립(겹침 길이·끼운 장수 표시용), 스마트폰(당김 힘이 최대가 되는 순간 촬영), (선택) 방향을 바꿀 도르래.

변인

독립변인은 서로 번갈아 끼운 페이지의 수(그리고 한 번에 끼우는 장수·삽입한 겹침 길이)이다(한 번에 하나만 바꾼다). 종속변인은 두 책이 미끄러지며 분리되기 직전의 최대 당김 힘(정지 마찰이 버티는 한계 장력)으로, 용수철저울의 눈금이나 매단 추의 무게로 잰다. 통제변인은 종이의 종류·두께, 책을 처음 맞대어 미는 압착 정도, 당기는 방향(두 책등을 잇는 축 방향), 페이지를 끼운 간격과 정렬 상태이다.

실험 순서

1. 두 책(또는 소책자)의 페이지를 정해진 장수씩(예: 한 장씩) 번갈아 끼우고, 겹침 길이를 자로 맞춘 뒤 손바닥으로 고르게 밀어 맞붙인다.

2. 한 책의 책등을 스탠드에 고정하고 다른 책의 책등에 용수철저울(또는 추걸이)을 걸어, 두 책등을 잇는 축 방향으로만 당기도록 정렬한다.

3. 저울을 천천히 당기거나 추를 조금씩 더해, 두 책이 미끄러져 분리되는 순간의 힘(또는 버틴 최대 무게)을 읽는다(조건마다 3회 반복).

4. 번갈아 끼운 페이지 수를 단계적으로 늘려 가며 같은 측정을 되풀이해, 페이지 수에 따른 분리 힘의 변화를 모은다.

5. 이번엔 페이지 수는 고정하고 겹침 길이(삽입 깊이)만 바꿔 가며, 분리 힘이 어떻게 달라지는지 따로 측정한다.

안전 안내

큰 힘으로 당기던 책이 갑자기 미끄러져 분리되면, 팽팽하던 저울·끈이 튕기고 손이 뒤로 크게 쏠려 부딪칠 수 있다 — 당기는 방향의 앞뒤에 사람과 물건이 없게 하고, 장갑을 껴 손을 보호한다. 무거운 추를 매달아 당길 때는 분리되는 순간 추가 발 위로 떨어질 수 있으니 발을 빼고 추 아래에 완충재를 둔다. 종이 가장자리에 손을 베지 않도록 주의하고, 힘이 지나치게 커지는 조건에서는 끈이 끊어지거나 장비가 부러지기 전에 멈춘다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

번갈아 끼운 페이지 수를 두 배로 늘리면, 두 책을 떼는 데 드는 힘은 두 배가 될까, 아니면 그보다 훨씬 더 가파르게 커질까?

자료 정리

페이지 수(또는 겹침 길이)별로 측정한 분리 직전의 최대 힘을 표로 모아, 가로축을 페이지 수, 세로축을 분리 힘으로 그래프를 그린다. 직선이 아니라 위로 급격히 휘어 오르는지 살피고, 세로축을 로그로 바꾸면 곧게 펴지는지(거의 지수적 증가인지) 확인한다. 페이지 수의 제곱을 가로축으로 삼아 보는 것도 좋다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

페이지 수를 늘리면 분리 힘은 직선을 넘어 위로 급히 치솟고, 세로축을 로그로 그리면 거의 직선에 가까워질 것으로 예상된다. 이는 마찰이 접촉면 수만큼 단순히 더해지는 것이 아니라, 당기는 힘이 수직항력을 키우고 그 수직항력이 다시 마찰을 키우는 양성 피드백으로 스스로 증폭된다는 뜻이다. 종이 한 장의 마찰 계수는 작지만, 이 기하학적 되먹임이 그 작은 마찰을 전차도 못 당길 힘으로 부풀린다. 다만 알라르콘 연구진은 정밀 시험기로 통제된 소책자를 당겨 이 결과를 얻었으므로, 학교의 문고본과 용수철저울로 같은 지수적 경향과 증폭 계수를 어디까지 재현할 수 있는지는 직접 확인해 볼 몫이다.

더 탐구하기

1. 한 번에 끼우는 장수를 한 장씩·두 장씩·다섯 장씩으로 바꿔, 총 페이지 수가 같아도 끼우는 방식에 따라 분리 힘이 달라지는지 비교해 보자.

2. 겹침 길이(삽입 깊이)를 바꿔 가며 분리 힘을 재고, 페이지 수·책등–겹침 거리·두께를 묶은 무차원 증폭 계수로 여러 조건의 데이터가 한 곡선에 모이는지(자기유사 곡선) 확인해 보자.

3. 종이 종류(코팅지·신문지·복사지)를 바꿔, 마찰 계수의 차이가 분리 힘에 어떻게 나타나는지 살펴보자.

4. 밧줄을 기둥에 감는 캡스턴 실험(감은 각도에 따라 잡는 힘이 지수적으로 커지는지)과 견주어, ‘기하가 마찰을 증폭한다’는 같은 원리를 확인해 보자.

연결 주제

완성 원고인 2020년 문제 13 ‘마찰 진동자’와는 마찰력이 수직항력에 비례한다는 아몽통·쿨롱 법칙(F = μN)을 공유하고, 거시적인 힘·운동에서 거꾸로 마찰 계수를 읽어 낸다는 발상도 같다. 다만 그쪽은 서로 반대로 도는 두 원통이 만드는 수직항력의 ‘차이’를 복원력으로 바꿔 단순 조화 운동을 얻는 반면, 이 문제는 당기는 힘이 수직항력 ‘자체’를 부풀려 마찰이 당김을 되먹임으로 증폭한다는 점이 다르다.

참고문헌

[학생] phys.org 해설 기사 "Researchers explain why it’s nearly impossible to separate two interleaved phonebooks"(2015, 알라르콘 연구 해설) · Science Buddies "Phone Book Friction" 가정 실험 · 다큐 〈MythBusters〉 시즌 6 7화 "Phone Book Friction"(2008 — 사람도 자동차도 못 떼 전차로 당겼고, 그 힘은 약 3.6톤 무게(8,000 파운드)에 맞먹었다) / 검색어 “interleaved phone book friction”, “capstan equation demonstration” / [심화] H. Alarcón, T. Salez, C. Poulard, J.-F. Bloch, É. Raphaël, K. Dalnoki-Veress, F. Restagno, "Self-Amplification of Solid Friction in Interleaved Assemblies," Physical Review Letters 116(1), 015502 (2016), DOI 10.1103/PhysRevLett.116.015502 (arXiv:1508.03290, 프리프린트 제목은 "The enigma of the two interleaved phonebooks" — 통제된 소책자를 당겨 분리 힘이 무차원 증폭 계수 α=2μεM²/d[μ 마찰 계수·ε 종이 두께·2M 각 책의 장수·d 책등 클램프에서 겹침 구간까지의 거리 — 겹침 길이는 L−d다]에 거의 지수적으로 의존함을 보이고 한 자기유사 곡선으로 모음) · D. Van Domelen, "Showing Area Matters: A Work of Friction," The Physics Teacher 48(1), 28–29 (2010), DOI 10.1119/1.3274355 (겹친 종이 마찰 시연의 교육적 해설). ※ 마찰이 수직항력에 비례한다는 법칙과 알라르콘 모형은 문헌으로 확립돼 있으나, 정밀 시험기가 아닌 학교의 문고본·용수철저울로 α의 지수적 증폭과 자기유사 곡선을 어디까지 정량 재현할 수 있는지, 종이 종류·압착 정도에 따른 흩어짐이 얼마나 큰지는 이 탐구의 개방 지점이다.