한 바퀴가 통째로 달려간다 — 진자 사슬 위의 솔리톤

탐구 주제

IYPT 2013 문제 4 ‘Soliton’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2013 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「빛과 파동」(파동의 발생과 전달) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템) · 과학탐구실험1(측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」(뉴턴 운동 법칙·역학적 에너지 보존) · 진로선택 「역학과 에너지」(탄성파와 소리) — 사인-고든 방정식과 킹크 솔리톤은 교육과정 밖 심화 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

고립파, 솔리톤, 킹크, 사인-고든 방정식, 비선형 파동, 결합 진자, 복원 토크, 관성 모멘트, 결합 강성, 특성 속도, 킹크 폭, 분산 관계, 이산 격자, 감쇠, 고속 촬영 분석

원리 살펴보기

사슬 끝의 진자를 손으로 한 바퀴 돌렸다 놓으면, 그 “한 바퀴”가 흩어지지 않고 덩어리째 사슬을 따라 달려간다. 진자 하나하나는 제자리에서 돌 뿐인데, 이미 돈 구간과 아직 돌지 않은 구간의 경계가 옆으로 이동한다. 형태를 잃지 않고 이동하는 이런 파형이 고립파(솔리톤)이고, 360° 뒤틀림이 만드는 종류를 킹크라 부른다. 킹크가 흩어지지 않는 이유는 모양이 아니라 셈에 있다 — 사슬의 양 끝이 모두 아래를 향한 채 그 사이가 한 바퀴 감겨 있다면, 그 감김은 끝까지 밀려 나가기 전에는 어떤 방법으로도 풀리지 않는다. 시간이 갈수록 넓어지고 낮아지는 보통의 파동과 결정적으로 다른 점이 여기에 있다.

그렇다면 “속도는 얼마인가”에 답 하나가 있을까? 진자의 관성 모멘트를 I, 중력의 복원 토크 세기를 mgl, 이웃을 붙잡는 결합의 세기를 κ, 진자 간격을 a라 하면, 이 사슬이 신호를 보낼 수 있는 가장 빠른 속도는 c₀ = a√(κ/I)이다. 킹크는 0과 c₀ 사이의 어떤 속도로도 달릴 수 있고 빠를수록 폭이 좁아진다 — 속도를 정하는 것은 사슬이 아니라 킹크에 실어 준 에너지다. 반면 상한 c₀와 느린 킹크의 폭 d = a√(κ/mgl)는 온전히 사슬의 설계값이다. 그래서 이 문제의 답은 숫자 하나가 아니라 “무엇이 속도를 정하는가”이며, 마찰로 킹크가 점점 느려지는 것까지 함께 봐야 한다.

진자 사슬은 장난감이지만, 이 사슬이 보여 주는 솔리톤은 여러 분야에 같은 얼굴로 나타난다. 광섬유 통신(1980년 광섬유에서 확인된 퍼지지 않는 빛 펄스 솔리톤이 장거리 전송 연구로 이어졌다), 초전도 조셉슨 소자(접합 안을 달리는 자속 양자가 바로 이 킹크로, 초고속 소자의 정보 단위가 된다), 자성체의 도메인 벽(자화가 뒤집히는 경계가 킹크처럼 이동하며, 이 벽으로 정보를 옮기는 메모리가 연구된다), 금속 속 전위(원자면의 어긋남이 킹크처럼 미끄러져 금속은 부러지지 않고 휜다)까지 같은 발상이 흐른다.

실험 설계

준비물

곧은 축(지름 8 mm 강봉이나 바깥지름 10 mm 알루미늄 관, 길이 1 m — 가는 축은 제 무게로 처져 등간격이 무너진다)과 스탠드 2개, 진자 30개분 재료 — 가벼운 막대(대꼬치), 축에 끼울 짧은 빨대 조각(회전 허브)과 스페이서, 5 g 이하의 무른 추(지우개 조각·점토)를 축에서 3~4 cm 아래에, 균형추를 반대쪽 2 cm 안팎에 달아 관성은 남기고 복원 토크만 낮춘다, 축에서 1 cm 지점에 맬 작은 고리(핀·클립), 가는 낚싯줄, 도르래와 장력용 추 여러 개(0.1~0.8 kg), 슬로모션이 되는 스마트폰과 삼각대, 조명, 모눈 배경판, 보안경.

변인

독립변인은 결합 실의 장력과, 끝 진자에 실어 준 초기 각속도이다(놓는 순간의 슬로모션 프레임에서 회전각을 읽어 구한다)(장력은 도르래에 매단 추의 질량으로 정하며, 결합 강성 κ는 장력 T와 실이 매인 반지름 r, 간격 a로 대략 Tr²/a이다). 종속변인은 360° 킹크의 전파 속도와, 동시에 기울어져 있는 진자 개수로 읽는 킹크의 폭이다. 통제변인은 진자의 개수와 간격, 추의 질량과 위치, 실의 종류와 반지름, 킹크를 만드는 위치, 축의 수평과 마찰, 촬영 프레임률이다.

실험 순서

1. 축을 두 스탠드 사이에 수평으로 걸고, 빨대 허브를 끼운 진자 30개를 간격 2~3 cm로 스페이서와 함께 늘어놓는다 — 자유롭게 돌되 옆으로는 못 움직여야 하고, 손을 떼면 모두 아래를 향해야 한다.

2. 축에서 반지름 1 cm 지점의 고리마다 실을 꿰어, 한쪽 끝은 스탠드에 고정하고 다른 쪽은 도르래를 넘겨 추를 달아 장력을 건다.

3. 작은 흔들림부터 잰다 — 진자의 고유 진동 주기를 재고, 끝을 살짝 튕긴 잔물결이 사슬을 지나는 시간에서 특성 속도 c₀를 어림한다(이 어림값은 실제 c₀보다 조금 작게 나온다).

4. 끝 진자를 손으로 천천히 한 바퀴(360°) 돌렸다 놓아 킹크를 만들고, 사슬 전체가 들어오도록 옆에서 120~240 fps 슬로모션으로 촬영한다. 놓는 순간의 몇 프레임에서 첫 진자의 회전각을 읽어 초기 각속도를 구해 적는다.

5. 프레임을 한 장씩 넘기며 “아직 돌지 않은 진자와 이미 돈 진자의 경계”가 몇 번째인지 읽어 위치–시간 그래프를 그리고 기울기로 속도를 구한다(3회 반복).

6. 같은 장력에서 초기 각속도를 세 단계로 달리해(매번 ④의 방법으로 실측한다) 보내 속도를 견주고, 추를 바꿔 장력을 여러 값으로 바꾸며 ④~⑤를 반복한다. 여유가 있으면 마주 보낸 두 킹크가 충돌 뒤에도 폭과 속도를 지키는지 본다.

안전 안내

팽팽하게 당긴 실은 끊어지면 튕긴다 — 장력용 추는 1 kg을 넘기지 말고, 장력을 걸거나 풀 때는 보안경을 쓰고 실의 연장선에 얼굴을 두지 않는다. 스탠드는 클램프로 책상에 고정해 장력에 끌려 넘어지지 않게 한다. 추는 5 g 이하의 가볍고 무른 것만 쓰고 금속 너트는 쓰지 않으며, 대꼬치의 뾰족한 끝은 잘라 다듬는다. 킹크는 손으로 돌려 만들되, 축이 흔들릴 만큼 급하게 돌리거나 모터로 돌리거나 세게 후려치지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

실의 장력을 네 배로 키우면 킹크의 속도도 네 배가 될까, 두 배에 그칠까? 그리고 빠르게 돌려 보낸 킹크와 천천히 돌려 보낸 킹크의 속도는 같을까?

자료 정리

프레임 번호를 시간으로 바꾸어 킹크 경계의 위치–시간 그래프를 장력 조건마다 겹쳐 그리고, 각 선의 기울기를 속도로 읽는다. 그다음 가로축을 장력의 제곱근으로 바꾸어 속도를 찍어 원점을 지나는 직선이 되는지 본다. 킹크가 걸친 진자 개수도 폭으로 읽어 정리하고, 사슬의 앞부분과 뒷부분 속도를 따로 적어 감속 여부를 드러낸다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

킹크는 사슬을 지나는 동안 폭과 모양을 크게 잃지 않고, 속도는 대략 장력의 제곱근에 비례해 커질 것으로 예상된다. 초기 각속도가 큰 킹크가 더 빠르고 더 좁게 나타난다면, 속도가 사슬만으로 정해지는 상수가 아니라 킹크가 지닌 에너지의 함수임을 직접 본 셈이다. 반대로 어떤 방법으로도 넘지 못하는 속도가 드러난다면 그것이 특성 속도 c₀이며, ③에서 어림한 값과 견줄 수 있다. 결합이 너무 약해 킹크 폭이 진자 두세 개로 좁아지면 격자에 걸려 멈추기도 하는데, 이 실패조차 사슬을 연속체로 보는 근사가 언제 무너지는지를 알려 준다.

더 탐구하기

1. 추의 위치만 축 쪽으로 올려 중력 복원 토크를 줄여 보자 — 킹크 폭 d = a√(κ/mgl)이 넓어지면서 더 매끄럽게 달리고 덜 느려지는지 확인해 보자.

2. 반대로 돌려 만든 반킹크를 마주 보내 충돌시키고, 두 파형이 서로를 통과한 뒤 각자의 폭과 속도를 되찾는지 보자 — 고립파와 솔리톤을 가르는 기준이다.

3. 가운데 진자 하나만 추의 위치를 조금 내리거나 그 자리의 간격만 벌려 “결함”을 만들고, 킹크가 반사되는지 그냥 통과하는지 관찰해 보자.

4. 작은 각도로만 흔들어 여러 진동수의 잔물결을 만들고 파장을 재어 분산 관계를 그린 뒤, 거기서 얻은 속도의 상한을 실제 킹크 속도와 비교해 보자.

연결 주제

같은 해 문제 2 ‘탄성 공간(Elastic space)’ — 막 위를 구르는 구슬로 중력을 흉내 내는 모형과 짝을 이루므로, 탁상 위 모형이 원본을 어디까지 대신하는지 나란히 따져 보자.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘솔리톤’·‘사인-고든 방정식’ / 영상 검색어 “pendulum chain soliton” / [심화] A. C. Scott, “A nonlinear Klein-Gordon equation,” American Journal of Physics 37(1), 52–61, 1969, DOI 10.1119/1.1975404 (이 방정식을 학부 수준으로 다룬 고전 — 아날로그 모형과 비선형 파형의 안정성) · C. Zhu 외, “Experimental observation of solitary waves in a new designed pendulum chain system,” European Journal of Physics 36(4), 045002, 2015, DOI 10.1088/0143-0807/36/4/045002 (결합 진자 사슬로 킹크·반킹크·브리더의 전파를 고속 카메라로 관찰) · C. Liang 외, “An undergraduate experiment of wave motion using a coupled-pendulum chain,” American Journal of Physics 83(5), 389–394, 2015, DOI 10.1119/1.4905842 (결합 진자 사슬로 정상 모드·분산 관계·소멸파를 재현한 학부 실험) · L. Q. English, “Experimental results for the sine-Gordon equation in arrays of coupled torsion pendula,” 『The sine-Gordon Model and its Applications』(Springer, 2014), 111–129, DOI 10.1007/978-3-319-06722-3_5 (비틀림 결합 진자 배열이 이산 사인-고든 계임을 보인 실험). ※ 원문 그대로 ‘가벼운 실’로 이웃을 이은 사슬에서 실의 장력이 킹크의 속도와 폭을 어떻게 정하는지 실측한 연구는 찾기 어렵다 — 그 관계를 직접 재어 보이는 것이 이 탐구의 개방 지점이다.