두 번째 튐이 사라진다 — 물을 담은 탁구공의 충돌

탐구 주제

IYPT 2013 문제 3 ‘Bouncing ball’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2013 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「운동과 에너지」(역학적 에너지 전환과 보존) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(충격량과 운동량) · 과학탐구실험1(측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」 · 진로선택 「역학과 에너지」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

반발 계수, 운동량과 충격량, 비탄성 충돌, 역학적 에너지 전환과 손실, 슬로싱(출렁임), 자유 표면, 액체 제트, 점성, 채움 비율, 질량비, 감쇠, 동조 액체 댐퍼

원리 살펴보기

물이 조금 든 탁구공은 더 튈까, 덜 튈까? 빈 탁구공은 충돌하는 짧은 순간 껍질이 눌렸다가 스프링처럼 되펴지며 에너지의 약 80 %를 돌려준다 — 국제탁구연맹 규격은 30.5 cm 높이에서 강철 블록에 떨어뜨린 공이 24~26 cm까지 되튀도록 정해 두었으니 반발 계수가 약 0.9인 셈이다. 물을 넣으면 무거워지니 덜 튈 것 같지만, 실제 실험은 뜻밖의 답을 준다 — 첫 번째 되튐은 거의 그대로이고, 달라지는 것은 두 번째 충돌부터다. 처음 떨어지는 동안 액체는 바닥에 고인 채 공과 함께 얌전히 내려오지만, 그 첫 충돌이 액체의 자유 표면을 흔들어 놓기 때문이다.

한번 흔들린 액체는 다음 충돌에서 껍질과 따로 논다. 액체는 껍질보다 빠르게 충돌에 반응해 공 안에서 위로 솟는 제트를 만들고, 그 반작용으로 공 바닥을 아래로 눌러 되튀어 오르려는 껍질의 운동 에너지를 빼앗는다. 빼앗긴 에너지는 출렁이는 액체(슬로싱) 속에서 점성으로 흩어진다. 그래서 되튐을 줄이는 데에는 알맞은 양이 있다 — 액체가 너무 적으면 빼앗을 몫이 작고, 가득 채우면 출렁일 자리가 없어 공은 다시 딱딱한 덩어리처럼 군다. 구 실험은 2차 되튐에서 채움 30 % 안팎이 가장 크게 줄었다고 보고한다 — 감쇠가 몇 번째 충돌에 나타나는지는 용기의 모양과 껍질의 무름에 달렸다. 같은 부피라면 액체의 종류를 바꿔도 되튐은 크게 달라지지 않았다. 다만 그 실험들은 탁구공보다 무겁고 두꺼운 용기로 한 것이어서, 2.7 g짜리 얇은 공에서도 최적점이 같은 자리인지는 직접 재 보아야 한다.

출렁임을 다스리는 이 원리는 여러 현장에서 일한다. 탱크로리(절반만 채운 화물이 출렁이면 제동·선회가 불안정해져 안쪽에 방벽을 둔다)·액화가스 운반선(출렁임이 탱크 벽을 때리지 않도록 적재 수위를 제한한다), 로켓 추진제 탱크(연료 출렁임이 자세 제어와 얽히지 않도록 배플로 감쇠시킨다), 동조 액체 댐퍼(위층 수조의 물이 건물과 엇박자로 출렁이게 주기를 맞춰 흔들림을 흡수한다), 충격 흡수 장비(액체·알갱이를 채운 댐퍼로 라켓·공구의 되튐과 진동을 줄인다)에 쓰인다.

실험 설계

준비물

비셀룰로이드(‘40+’ 플라스틱) 탁구공 여러 개, 지름 1 mm 안팎의 드릴날 또는 가는 송곳, 눈금 주사기(1 mL·10 mL)와 가는 바늘, 방수 테이프, 0.01 g 단위 전자저울, 두께 20 mm 이상의 석재·강판 타일과 미끄럼 방지 받침, 모눈 배경지와 줄자, 낙하 높이 고정용 스탠드, 스마트폰(120~240 fps 고속 촬영), 글리세린 수용액과 식용유.

변인

독립변인은 공 안에 넣은 액체의 부피이다 — 지름 40 mm 공의 속부피는 약 31 mL이다(겉지름으로 계산한 33.5 mL에서 두께 0.4~0.5 mm의 껍질을 뺀 값). 공 하나를 희생해 물을 가득 채우고 질량을 재면 자기 공의 속부피를 직접 확인할 수 있고, 채움 비율은 넣은 부피를 그 값으로 나눈 값으로 쓴다. 종속변인은 회차별 반발 계수(직전 높이에 대한 되튐 높이의 비의 제곱근)이며, 1차와 2차 이후를 반드시 나누어 기록한다. 통제변인은 공의 규격(지름 40 mm·질량 2.7 g)과 제조사, 낙하 높이, 충돌면의 재질과 고정 상태, 구멍 크기와 밀봉 방법, 회전 없이 가만히 놓는 방식, 그리고 놓기 전에 액체 표면이 잔잔해지도록 스탠드에 걸어 30초 이상 두는 것이다.

실험 순서

1. 구멍을 내지 않은 새 공과, 구멍만 뚫고 도로 밀봉한 빈 공을 같은 높이(예: 50 cm)에서 회전 없이 가만히 놓아 3회씩 촬영한다 — 구멍과 테이프 자체가 되튐을 바꾸지 않는지 먼저 확인하는 기준값이다.

2. 주사기로 정한 부피의 물을 넣고 밀봉한 뒤 전자저울로 질량을 재어 실제 주입량을 확인한다. 채움 비율이 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.7이 되도록 계열을 만든다.

3. 각 조건마다 스탠드에 걸어 액체가 잔잔해질 때까지 기다린 뒤 같은 높이에서 놓고 모눈 배경으로 고속 촬영해, 1차·2차·3차 되튐의 최고 높이를 각각 읽는다. 채움 비율마다 공을 따로 세 개 이상 만들어 공 하나에서 3회씩 놓고, 공 사이의 차이와 같은 공 안의 흩어짐을 나누어 적는다.

4. 회차별 반발 계수를 구해 채움 비율에 대한 그래프로 옮긴다 — 1차와 2차 이후를 반드시 다른 곡선으로 나누어 그린다.

5. 같은 부피의 글리세린 수용액과 식용유로 바꿔 ③④를 되풀이해, 되튐을 정하는 것이 액체의 ‘양’인지 ‘성질’인지 가른다.

안전 안내

구멍은 가는 드릴이나 송곳으로만 낸다 — 불꽃이나 달군 바늘은 쓰지 않는다. 특히 옛 셀룰로이드 탁구공은 매우 잘 타므로, 반드시 비셀룰로이드(‘40+’ 플라스틱) 공만 사용한다. 낙하 높이는 1 m를 넘기지 않으며, 충돌판은 바닥에 안정되게 고정하고 깨질 수 있는 유리판은 쓰지 않는다. 흘린 물과 기름은 곧바로 닦아 미끄럼 사고를 막고, 튀어 오른 공이 얼굴로 오지 않도록 보안경을 쓴다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

물을 조금 넣으면 공은 더 튈까, 덜 튈까? 그리고 첫 번째 되튐과 두 번째 되튐 중 어느 쪽이 먼저 달라질까?

자료 정리

가로축을 채움 비율, 세로축을 반발 계수로 두고 1차·2차·3차 곡선을 한 그래프에 겹쳐 그린다. 같은 자료를 가로축만 질량비(넣은 액체의 질량을 공의 질량 2.7 g으로 나눈 값)로 바꿔 다시 그려, 두 기준 중 어느 쪽이 곡선을 더 잘 겹치게 하는지 본다. 액체 종류별 결과는 같은 축 위에 다른 기호로 얹고, 오차 막대는 공 사이의 흩어짐으로 그리고, 같은 공 안의 반복은 그 공의 평균을 내는 데만 쓴다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

빈 공의 반발 계수는 회차가 바뀌어도 거의 일정하지만, 액체를 넣은 공은 1차 되튐이 크게 달라지지 않은 채 2차부터 뚜렷하게 낮아질 것으로 예상된다. 되튐을 지우는 것은 늘어난 무게가 아니라, 충돌 순간 껍질에서 액체로 넘어간 뒤 출렁임과 점성으로 흩어져 버리는 에너지다. 채움 비율을 늘려 갈 때 되튐이 가장 작아졌다가 다시 커지는 골짜기가 나타나는지, 그리고 그 골짜기의 자리가 부피 기준과 질량비 기준 가운데 어느 쪽으로 설명되는지가 이 탐구의 핵심이다. 두 축 중 하나에서 여러 조건의 곡선이 하나로 겹쳐진다면, 그것이 곧 이 현상을 지배하는 변수를 찾아냈다는 증거다.

더 탐구하기

1. 낙하 높이를 30 cm에서 80 cm까지 바꿔, 같은 채움 비율에서도 반발 계수가 충돌 속도에 따라 달라지는지 조사해 보자 — 속도는 액체가 반응할 시간을 바꾼다.

2. 놓기 직전 공을 연직축으로 돌려 액체를 벽 쪽에 붙여 놓고 떨어뜨려, 같은 양이라도 액체가 어디에 있느냐로 되튐이 달라지는지 확인해 보자(병 실험에서는 회전이 되튐을 크게 줄였다). 반대로 일부러 흔들어 표면을 미리 교란한 뒤 떨어뜨리면 1차 충돌부터 감쇠가 나타나는지도 함께 보자.

3. 물 대신 같은 부피의 좁쌀·모래를 넣어, 액체 댐퍼와 입자 댐퍼의 감쇠를 나란히 견주어 보자.

4. 되튐 소리를 녹음해 충돌 사이의 시간 간격에서 반발 계수를 구하고 영상으로 잰 값과 맞춰 보자 — 액체를 채운 공은 소리가 뭉개져 두 방법이 어긋날 수 있다.

연결 주제

IYPT 2015 문제 17 ‘커피 잔(Coffee Cup)’ — 같은 자유 표면 출렁임이지만, 그쪽은 걸음걸이가 슬로싱 고유 진동수와 맞아떨어지는 공명이 원인이라 한 번의 충격으로 끝나는 이 문제와 좋은 대조가 된다. 측정 쪽으로는 같은 해 문제 16 ‘후프(Hoops)’의 되튐 높이 촬영·분석 기법을 그대로 이어 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] FYFD(fyfluiddynamics.com) ‘Stopping a Bounce’·‘Bouncing with Liquids and Grains’ — 액체·알갱이를 채운 공의 되튐 감쇠를 고속영상으로 풀어 쓴 해설 / 국제탁구연맹 기술자료 T3(공 규격: 지름 40 mm·질량 2.7 g, 30.5 cm에서 강철 블록에 떨어뜨렸을 때 24~26 cm 되튐) / 영상 검색어 “fluid filled sphere rebound” / [심화] T. W. Killian, R. A. Klaus, T. T. Truscott, “Rebound and jet formation of a fluid-filled sphere,” Physics of Fluids 24(12), 122106, 2012, DOI 10.1063/1.4771985 (여러 액체를 채움 비율을 바꿔 가며 채운 구의 되튐 고속촬영 — 감쇠는 2차 되튐부터 나타나고 채움 30 % 부근에서 가장 크며 액체 종류에는 둔감) · K. Andrade 외, “Swirling fluid reduces the bounce of partially filled containers,” Physical Review Letters 130(24), 244001, 2023, DOI 10.1103/PhysRevLett.130.244001 (회전으로 액체 분포를 바꾸면 되튐이 크게 감소) · F. Pacheco-Vázquez, S. Dorbolo, “Rebound of a confined granular material…,” Scientific Reports 3, 2158, 2013, DOI 10.1038/srep02158 (액체는 첫 되튐을 거의 바꾸지 못한다는 대비 관찰과 입자 댐퍼) · C. E. Aguiar, F. Laudares, “Listening to the coefficient of restitution…,” American Journal of Physics 71(5), 499–501, 2003, DOI 10.1119/1.1524166 (되튐 소리 간격으로 반발 계수를 재는 방법). ※ 앞선 실험은 모두 탁구공보다 무겁고 두꺼운 구·병을 썼다 — 2.7 g짜리 얇은 공에서 최적 채움 비율이 어디이고 그 기준이 부피인지 질량비인지는 이 탐구의 개방 지점이다.