형상이 곧 강도다 — A4 한 장으로 만드는 다리

탐구 주제

IYPT 2013 문제 1 ‘Invent yourself’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2013 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(탄성력·힘의 평형) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템) · 과학탐구실험2 「생활 속의 과학 탐구」(설계와 최적화) / 물리학 「힘과 에너지」 — 굽힘 강성·단면 2차 모멘트·좌굴은 교육과정 밖 심화 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

굽힘 강성, 단면 2차 모멘트, 중립축, 탄성 계수(영률), 굽힘 응력, 처짐, 3점 굽힘, 국부 좌굴, 주름 구조, 샌드위치 구조, 관형·상자형 단면, 지간(경간), 구조 효율(무게당 하중), 종이의 결 방향, 이방성

원리 살펴보기

A4 한 장을 두 책 사이에 걸치면 제 무게로도 축 처지는데, 몇 번 접기만 하면 그 위에 물병을 올려도 버틴다. 종이는 그대로인데 무엇이 달라진 것일까? 휘어진 보의 윗면은 눌리고 아랫면은 늘어나며, 그 사이에는 길이가 변하지 않는 중립축이 있다. 힘을 실제로 감당하는 것은 중립축에서 멀리 떨어진 재료이므로, 같은 양의 재료라도 중립축에서 멀리 배치할수록 굽힘에 강해진다. 이 배치를 나타내는 양이 단면 2차 모멘트 I이고, 균질한 보라면 굽힘 강성은 탄성 계수 E와 I의 곱 EI로 정해진다 — 다만 접고 붙인 종이에서는 접힘선·이음·전단·국부 좌굴이 함께 들어가 우리가 재는 것은 유효 굽힘 강성이다. 평평한 A4는 두께가 0.1 mm뿐이라 I가 사실상 0이지만, 깊이 20 mm의 아코디언 주름으로 접으면 I가 만 배 이상으로 뛴다.

그렇다면 주름은 깊을수록 좋을까? 그렇지 않다. 같은 A4로 더 깊은 주름을 만들려면 주름 개수를 줄여 낱낱의 면을 넓게 잡아야 하는데, 넓고 얇은 면은 재료가 끊어지기 전에 먼저 우그러진다(국부 좌굴). 실제로 종이 다리는 찢어져 무너지는 일이 거의 없고, 압축을 받는 윗면이 주저앉으며 한순간에 무너진다. 강성을 키우는 방향(깊게)과 좌굴을 늦추는 방향(잘게)이 반대이므로, 그 사이 어딘가에 최적점이 생긴다. 문제가 “강도를 기술하는 변수들”을 도입하라고 한 이유가 여기에 있다 — 최대 하중, 처짐에 대한 저항, 무게당 성능은 서로 다른 조건에서 최대가 되기 때문이다.

이 원리는 우리 주변의 구조물을 떠받친다. 교량·건축의 형강(I형강·상자형 거더는 재료를 위아래로 몰아 더 큰 하중을 받는다), 골판지 포장(얇은 종이 사이에 물결 심재를 넣은 샌드위치 구조), 항공기 동체와 날개(얇은 외피 안쪽에 세로대·리브를 대어 좌굴을 막는다), 주름 강판 지붕과 컨테이너 벽(주름 하나로 강판을 얇게 하고도 버티게 함)에 쓰인다.

실험 설계

준비물

A4 용지 여러 장(같은 평량, 예: 80 g/m²), 딱풀 소량, 자와 접는 자, 커터와 커팅 매트, 두꺼운 책 두 무더기(지간 280 mm를 만든다), 전자저울 2종(다리 질량용 0.1 g 단위, 하중용 5 kg·1 g 단위 주방저울), 하중용 용기(작은 하중은 종이컵, 그 이상은 손잡이 달린 통이나 비닐봉지를 고리로 매단다)와 물·모래, 하중 분산판(두꺼운 종이), 모눈종이와 스마트폰(측면 촬영), 쿠션이나 수건.

변인

독립변인은 A4 한 장을 접어 만드는 단면의 형상과 깊이이다(아코디언 주름의 개수와 그에 따라 정해지는 단면 높이를 한 번에 하나씩 바꾼다). 종속변인은 무너지기 직전의 최대 하중과, 하중–처짐 그래프의 처음 직선 구간에서 얻는 기울기이다. 통제변인은 지간 280 mm, 종이 한 장이라는 재료량과 평량, 접착제의 양, 하중의 위치(지간 중앙)와 분산판 크기, 하중을 늘리는 속도, 양 끝이 받침에 걸치는 길이, 실내 온도와 습도이다.

실험 순서

1. 두 책 무더기를 안쪽 간격 280 mm로 놓고 A4 한 장을 그대로 걸쳐 본다 — 8 mm 남짓한 걸침으로는 제 무게조차 버티지 못하고 곧바로 틈으로 빠진다. 이 ‘걸치지도 못하는’ 상태가 형상을 바꾸기 전의 기준이다.

2. A4의 297 mm 방향이 지간을 가로지르도록 놓고(양 끝이 받침에 8 mm 남짓만 걸린다), 210 mm 방향을 정해진 개수로 눌러 접어 아코디언 다리를 만든다. 접는 선마다 자를 대고 그어 깊이를 고르게 한다.

3. 완성한 다리의 질량을 저울로 재어 기록하고, 지간 중앙에 분산판을 얹은 뒤 그 위에 빈 종이컵을 올린다(컵이 가득 차면 더 큰 용기로 바꿔 달되, 다리에 닿는 면적은 분산판 크기로 유지한다).

4. 컵에 물이나 모래를 조금씩 부어 하중을 천천히 늘리며(부은 양은 주방저울로 미리 재거나 용기째 저울에 올려 누적 하중을 읽는다), 일정한 하중마다 옆에서 촬영해 모눈종이 눈금으로 중앙 처짐을 읽는다.

5. 다리가 무너지거나 안전 상한에 이를 때까지 이어 가고, 그때의 하중과 무너진 위치·모양(윗면이 우그러졌는지, 받침이 눌렸는지)을 기록한다.

6. 주름 개수를 바꿔 ②~⑤를 반복하고(조건마다 새 종이로 3회), 가장 좋았던 조건을 원통관·상자형 단면과 같은 방법으로 비교한다.

안전 안내

무너지는 순간 하중이 그대로 떨어진다 — 다리 아래와 둘레에 쿠션이나 수건을 깔고, 손과 발을 하중 바로 아래에서 치운 뒤 재하한다. 하중은 금속 추나 벽돌 대신 물·모래를 담은 용기로 만들고, 총 하중은 5 kg를 넘기지 않는다(그 전에 무너지지 않으면 “상한 도달”로 기록). 재하 중에는 얼굴을 다리 위로 가져가지 않는다. 커터는 커팅 매트 위에서 쓰고, 접착제는 환기되는 곳에서 소량만 쓴다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

주름을 깊게 할수록 다리는 계속 강해질까, 아니면 어느 깊이에서 가장 강해지고 그보다 깊어지면 오히려 약해질까?

자료 정리

조건마다 하중–처짐 곡선을 한 그래프에 겹쳐 그린다(가로축 중앙 처짐, 세로축 하중). 각 곡선에서 처음 직선 구간의 기울기와, 곡선이 꺾여 내려앉는 점의 하중을 따로 읽어 두 지표를 만든다. 그다음 가로축을 주름 개수(또는 단면 높이)로 바꿔 두 지표를 각각 점으로 찍고, 다리 질량으로 나눈 무게당 최대 하중도 함께 얹는다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

평평한 A4는 제 무게조차 버티지 못하지만, 접거나 마는 순간 수백 그램에서 수 킬로그램까지 받치는 구조물이 될 것으로 예상된다. 재료를 한 톨도 더하지 않았는데 성능이 몇 자릿수 달라진다는 사실이, 굽힘 강성이 재료와 형상의 곱임을 눈으로 보여 준다. 무너진 자리에 찢어진 자국 대신 우그러진 주름이 남았다면, 한계를 정한 것은 인장 강도가 아니라 얇은 면의 좌굴이다. 기울기가 가장 큰 조건과 최대 하중이 가장 큰 조건이 어긋난다면, “강한 다리”가 숫자 하나로 정의되지 않음을 발견한 셈이다.

더 탐구하기

1. 같은 형상을 A4의 가로 방향과 세로 방향으로 각각 접어, 종이의 결 방향(이방성)이 기울기와 최대 하중을 얼마나 바꾸는지 재어 보자.

2. 접착제 없이 만든 열린 단면(주름·U자)과 붙여 닫은 단면(관·상자형)을 같은 재료량으로 견주어, 단면을 닫는 이득을 정량화해 보자.

3. 가장 좋았던 형상 그대로 지간만 240 mm·200 mm로 줄여 가며 작은 하중 범위에서 기울기만 재어, 유효 굽힘 강성 EI로 δ = FL³/48EI를 쓰면 강성이 지간의 세제곱에 반비례하는지 확인해 보자 — 접고 붙인 종이에서 우리가 재는 것은 순수한 EI가 아니라 접힘선·이음·전단·국부 좌굴을 함께 안은 유효 강성이다.

4. 같은 종이를 건조한 곳과 습한 욕실에 각각 몇 시간 두었다가 같은 형상으로 접어 시험해, 함수율이 강도를 얼마나 바꾸는지 보자.

연결 주제

물리 2013 문제 16 ‘후프(Hoops)’ — 눌렸다 풀린 탄성 고리가 튀어 오르는 문제로, 얇은 고리의 굽힘 강성을 다루므로 하중–처짐 측정과 유효 굽힘 강성 추출법을 그대로 이어 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] J. E. Gordon, 『Structures: Or Why Things Don’t Fall Down』(Penguin Books, 1978) — 형상이 강도를 만드는 이유를 풀어낸 고전 / 위키백과 ‘단면 2차 모멘트’·‘골판지’ / MIT OCW 2.081J ‘Plates and Shells’ 강의 노트 / 영상 검색어 “paper bridge challenge” / [심화] V. Pini 외, “How two-dimensional bending can extraordinarily stiffen thin sheets,” Scientific Reports 6, 29627, 2016, DOI 10.1038/srep29627 (A4 외팔보에 가로 곡률을 주면 거의 처지지 않고, 알루미늄 판은 강성이 3.6배) · S. R. Woodruff, E. T. Filipov, “Curved creases redistribute global bending stiffness in corrugations: theory and experimentation,” Meccanica 56(6), 1613–1634, 2021, DOI 10.1007/s11012-020-01200-7 (주름은 같은 재료량으로 강성을 약 1,000배까지 올리지만 직선 주름은 한 방향으로만 강하다) · A. McCracken, P. Sadeghian, “Corrugated cardboard core sandwich beams with bio-based flax fiber composite skins,” Journal of Building Engineering 20, 114–122, 2018, DOI 10.1016/j.jobe.2018.07.009 (골판지 심재 보의 4점 굽힘 — 파괴가 재료 파단이 아니라 하중점 함몰·압괴로 일어났다) · E. T. Filipov 외, “Origami tubes assembled into stiff, yet reconfigurable structures and metamaterials,” PNAS 112(40), 12321–12326, 2015, DOI 10.1073/pnas.1509465112 (얇은 판으로 만든 관을 맞물려 결합하면 강성이 약 100배 오른다). ※ 위 문헌은 산업용 판재·필름·골판지를 다루며, A4 한 장으로 280 mm를 건너는 다리에서 주름 개수와 단면 높이의 최적점을 실측한 연구는 찾기 어렵다 — 그 최적점 찾기가 개방 지점이다.