돌릴수록 길어지는 용수철 — 회전 용수철

탐구 주제

IYPT 2010 문제 16 ‘Rotating spring’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2010 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(탄성력) / 과학탐구실험1(탐구 과정과 절차) / 물리학 「힘과 에너지」(등속 원운동·구심력·원심력·탄성력) · 진로선택 「역학과 에너지」(회전 운동과 회전 좌표계) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

원심력, 구심력, 등속 원운동, 각속도, 후크 법칙, 용수철 상수(강성), 탄성력, 선밀도, 자중, 정상 형상, 비균일 팽창, 원뿔 형상(코닝), 임계 각속도, 회전 불안정, 위험 속도(critical speed), 원심 조속기, 회전 좌표계, 관성 모멘트

원리 살펴보기

나선형 용수철의 한쪽 끝을 수직축에 고정하고 그 축을 중심으로 돌리면, 용수철은 바깥쪽으로 쭉 늘어난다. 함께 도는 관점에서 보면 각 부분은 바깥으로 밀려나는 원심력을 받는데, 그 크기는 회전 반지름 r과 각속도의 제곱(ω²)에 비례한다. 용수철의 각 코일은 이 원심력에 밀려 바깥으로 벌어지려 하고, 이를 안으로 당기는 것은 후크 법칙을 따르는 용수철 자신의 탄성력(장력)이다. 두 힘이 균형을 이루는 지점에서 코일 간격이 정해지므로, 회전이 만드는 정상 형상은 곧 원심력과 탄성력이 팽팽히 맞선 결과다. 다만 각 코일이 얼마나 벌어지는가는 그 코일이 받는 원심력이 아니라 그 자리의 장력이 정한다 — 장력은 그 바깥에 있는 모든 코일의 원심력을 누적해 지탱하므로 축(고정단)에서 가장 크고 자유단에서 0이다. 그래서 팽창은 고르지 않아, 축 쪽 코일이 가장 넓게 벌어지고 자유단으로 갈수록 촘촘해진다(수직으로 매단 슬링키가 위는 벌어지고 아래는 뭉치는 것과 같은 이치다).

이 방식의 핵심은 원심력이 각속도의 제곱에 비례한다는 데 있다. 회전을 조금만 빠르게 해도 팽창은 그보다 훨씬 가파르게 늘어나며, 자유단에 부가질량을 매달면 끝단이 받는 원심력(m ω² r)이 커져 같은 속도에서도 용수철이 한층 더 늘어난다. 그러나 팽창은 한없이 커지지 않는다. 각속도가 어느 문턱을 넘으면 원심에 의한 바깥 당김이 용수철의 복원력을 이기기 시작해, 형상이 원기둥에서 원뿔로 무너지거나(코닝) 팽창이 급격히 폭주하는 회전 불안정이 나타난다 — 원심 조속기의 추가 벌어지는 것, 회전축의 위험 속도와 같은 물리다. 부가질량은 이 임계 각속도를 앞당기는 쪽으로 작용한다. 여기에 용수철 자신의 무게에 의한 중력 처짐이 겹치고, 크게 늘어나면 실제 용수철은 후크 법칙에서 벗어나기도 한다. 에센과 노르드마르크(2010)는 무거운 용수철의 정적 변형을 중력과 원심력에 대해 연속체로 풀어 위치에 따른 비균일 팽창을 정량화했다.

“돌리면 바깥으로 벌어지고, 벌어짐이 탄성과 균형을 이룬다”는 이 원리는 기계 곳곳에서 일한다. 원심 조속기(엔진 회전이 빨라지면 플라이볼이 원심력으로 벌어지며 스프링과 균형을 이뤄 연료를 줄여 속도를 스스로 조절한다 — 이 문제와 똑같은 원심력–복원력 균형), 원심 클러치(예초기·스쿠터에서 회전이 빨라지면 원심력이 스프링을 이겨 마찰 슈가 벌어지며 동력을 잇는다), 회전축의 위험 속도(회전 기계의 축은 원심력과 탄성 복원력의 균형이 깨지는 임계 속도에서 크게 휘므로, 그 속도를 피하도록 설계한다), 원심분리기와 회전 놀이기구(원심력으로 내용물이나 탑승자를 바깥으로 밀어내는 회전체)에 두루 나타난다.

실험 설계

준비물

나선형 인장 용수철(부드럽게 잘 늘어나는 것, 용수철 상수가 다른 여러 개 — 용수철 상수 k와 보호막 안지름의 절반 r로 계산한 ½kr²이 1 J을 넘지 않게 고른다), 속도를 조절할 수 있는 저전압 DC 모터나 수동 회전판(용수철을 축에 단단히 고정할 클램프 포함), 회전 속도 측정용 스트로보스코프·광센서 타코미터(또는 스마트폰 고속 촬영), 자유단에 매달 여러 무게의 작은 추, 자와 모눈 배경판, 촬영용 스마트폰, 투명 보호막, 보안경.

변인

주된 독립변인은 회전 각속도이다(모터 전압으로 바꾸고 타코미터·스트로보로 실제 값을 확인하며, 한 번에 이 값만 바꾼다). 두 번째 독립변인은 자유단 부가질량의 유무와 크기이다(문제가 요구하는 비교). 종속변인은 용수철의 팽창량, 즉 회전으로 늘어난 전체 길이(또는 사진에서 읽은 위치별 코일 간격 분포)이다. 통제변인은 용수철의 종류(용수철 상수·선밀도·자연 길이·감김 수), 초기 장력, 회전축의 정렬과 고정, 실온, 촬영 조건이다.

실험 순서

1. 먼저 용수철을 수직으로 매달아 추를 단계적으로 걸며 후크 법칙으로 용수철 상수를 재고, 전체 질량과 길이로 선밀도를 구한다 — 회전 실험을 해석할 기준값이다.

2. 용수철의 한쪽 끝을 회전축에 단단히 고정하고, 자유단에는 추 없이, 모눈 배경 앞에서 정지 상태의 코일 분포를 촬영한다 — 이것이 팽창의 영점이다.

3. 각속도를 일정 간격으로 올려 가며 형상이 더 변하지 않는 정상 상태를 기다려 고속 촬영하고, 사진에서 전체 길이와 코일 간격을 읽어 팽창–각속도 관계를 만든다(ω는 타코미터·스트로보로 확인).

4. 자유단에 여러 무게의 추를 달아 앞 단계를 반복해, 같은 각속도에서 부가질량이 팽창을 얼마나 키우는지, 팽창–각속도 곡선이 얼마나 더 가팔라지는지 비교한다.

5. 각속도를 서서히 더 높여 형상이 원기둥에서 원뿔로 바뀌거나(코닝) 팽창이 급격히 커지는 임계 각속도가 있는지, 그리고 부가질량이 그 임계값을 앞당기는지 관찰한다 — 이상 진동이 보이면 즉시 속도를 낮춘다.

6. (심화) 사진의 코일 분포를 자중 처짐 성분과 원심 팽창 성분으로 나누어, 연속체 모형이 예측하는 비균일 팽창 개형과 견주어 본다.

안전 안내

이탈한 용수철·추는 1 J이 넘는 운동에너지로 튀어 나가 보안경(고충격 정격 약 0.9 J)만으로는 막지 못한다 — 회전 반경 전체를 투명 보호막으로 두르고 덮개를 닫은 채로만 돌리며, 스위치는 반경 밖에 두고 보안경도 함께 쓴다. 회전 반경 안에 사람·얼굴·물건이 없도록 거리를 둔다. 용수철 끝과 추, 축을 클램프로 단단히 고정하고, 머리카락·옷소매가 회전부에 감기지 않도록 한다. 모터는 저전압만 쓰고 젖은 손으로 만지지 않으며, 통전 중 배선에 손대지 않는다. 임계 각속도 근처에서는 진폭이 갑자기 커지므로 속도를 천천히 올리고, 이상 진동·소음이 나면 즉시 전원을 끄고 회전이 멎은 뒤 다룬다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

각속도를 두 배로 올리면 팽창량도 두 배가 될까, 아니면 훨씬 더 크게 늘어날까? 그리고 자유단에 추를 달면 같은 속도에서 팽창이 얼마나 더 커지고, 불안정이 시작되는 임계 각속도는 앞당겨질까 늦춰질까?

자료 정리

각속도별 팽창량(전체 길이 증가)을 표로 모아, 가로축을 각속도로 한 그래프와 각속도의 제곱(ω²)으로 바꾼 그래프를 나란히 그린다(원심력이 ω²에 비례하므로 후자에서 더 단순한 관계가 드러나는지 본다). 부가질량 없음·있음(무게별) 곡선을 한 그래프에 겹쳐 질량 효과를 비교하고, 코일 간격을 축으로부터의 거리에 대해 그려 축 쪽이 가장 넓고 자유단으로 갈수록 촘촘해지는 비균일 팽창을 확인한다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

팽창량은 각속도에 대해 위로 휘는 곡선을 그리고, 가로축을 ω²으로 바꾸면 거의 비례에 가까워질 것으로 예상된다. 이 비선형이 곧 이 계의 성격이다 — 회전이 조금만 빨라져도 팽창이 급증하며, 자유단 부가질량은 끝단 원심력을 키워 같은 속도에서 팽창을 크게 늘리고 회전 불안정(임계 각속도)을 앞당긴다. 임계 각속도 부근에서 원심 당김이 용수철의 복원력을 이기기 시작하면 형상이 원뿔로 무너지거나 팽창이 폭주하는데, 이는 조속기 플라이볼이 벌어지고 회전축이 위험 속도에서 휘는 것과 같은 물리다. 팽창–각속도·부가질량 관계를 수치로 말할 수 있게 되는 순간, 돌아가는 용수철이 원운동·후크 법칙·회전 불안정을 한꺼번에 재는 정량 실험이 된다.

더 탐구하기

1. 용수철 상수·선밀도·감김 수가 다른 여러 용수철로 반복해, 팽창이 무차원 조합(예: m ω²/k)으로 정리하면 하나의 곡선으로 겹쳐지는지 확인해 보자.

2. 회전을 갑자기 걸었다 멈추는 과도 상태(스핀업·스핀다운)를 고속 촬영해, 정상 형상에 이르기까지의 진동과 걸리는 시간을 조사해 보자.

3. 임계 각속도 부근에서 원뿔 형상(코닝)의 벌어짐 각을 덮개를 닫은 채 사진으로 재어, 조속기·회전축 위험 속도 이론의 임계 조건과 비교해 보자.

4. 용수철을 수직으로 매달아 돌리는 경우와 수평으로 뻗어 돌리는 경우를 비교해, 자중 처짐과 원심 팽창을 분리해 보자.

연결 주제

같은 해 문제 14 ‘자기 용수철(Magnetic spring)’과 ‘용수철·진동’이라는 소재를 나누어 갖지만 물리는 뚜렷이 다르다 — 자기 용수철은 자석의 반발력이 만드는 비선형 복원력으로 진동하는 문제이고, 이 문제는 회전 원심력이 후크 탄성과 균형을 이루며 늘어나는 정적 팽창과 회전 불안정을 다룬다. 원심력·회전 좌표계라는 뼈대는 등속 원운동·구심력을 다루는 탐구, 회전하는 유연한 물체의 정상 형상·안정성을 따지는 탐구로 이어진다.

참고문헌

[학생] IYPT 2010 아카이브 참가 보고서 — R. M. Namin(이란), “A numerical and experimental analysis on the expansion of horizontally rotating helical springs”(archive.iypt.org) — 모터로 회전시키며 사진의 코일 밀도로 팽창을 재고 원뿔 형상·불안정까지 다룬 보고서로, 이 원고 실험의 원형 / 위키백과 “Centrifugal governor(원심 조속기)” — 회전이 빨라지면 원심력으로 추가 벌어지며 스프링과 균형을 이루는, 이 문제와 같은 균형의 대표 기계 / 영상 검색어 “rotating spring centrifugal”, “원심력 회전 용수철” / [심화] H. Essén · A. Nordmark, “Static deformation of a heavy spring due to gravity and centrifugal force,” European Journal of Physics 31(3), 603–609, 2010, DOI 10.1088/0143-0807/31/3/017 — 무거운 용수철이 중력과 원심력으로 겪는 정적 변형을 이산·연속체 모형으로 유도해 위치에 따른 비균일 팽창을 준 이 문제의 핵심 문헌 · T. J. Allen · J. R. Schmidt, “Vibrational modes of a rotating string,” Canadian Journal of Physics 76, 965–975, 1998, DOI 10.1139/p99-006 — 한쪽을 축에 고정해 회전시킨 유연한 줄의 정상 형상과 안정성을 다뤄 회전 불안정·임계 속도 해석의 틀을 준다 · J.-M. Noël 외, “Natural configurations and normal frequencies of a vertically suspended, spinning, loaded cable with both extremities pinned,” European Journal of Physics 29(5), N47–N53, 2008, DOI 10.1088/0143-0807/29/5/N02 — 양 끝이 핀으로 고정된 채 하중을 매달고 회전하는 케이블의 형상과 고유진동수를 구해, 장력이 위치에 따라 변하는 회전계의 형상 문제를 다룬다. ※ 회전 용수철의 정적 팽창은 에센–노르드마르크가 잘 덮지만, 학교 재료로 팽창–각속도·부가질량 관계를 정량 재현하고 원기둥→원뿔 전이의 임계 각속도(부가질량이 그 값을 앞당기는 정도)를 오차와 함께 측정하는 것, 자중 처짐과 원심 팽창을 분리하는 것이 개방 지점이다.