2026년 9월 30일 · 용티IYPT 2010 · 문제 14 · 역학·진동

허공에 뜬 채 위아래로 떠는 자석 — 자기 용수철

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 2010 문제 14 ‘Magnetic spring’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2010 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「전기와 자기」(자기력·자기장·자석의 성질) / 고등학교 과학탐구실험1(탐구 과정과 절차) · 물리학 「힘과 에너지」(단진동·역학적 에너지 보존) · 「전기와 자기」(자기력) · 진로선택 「역학과 에너지」(진동과 파동) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

자기 반발력, 자기 쌍극자, 쌍극자-쌍극자 힘, 거리의 네제곱 의존(1/d⁴), 자기 부양, 언쇼 정리(Earnshaw), 복원력, 평형점, 유효 용수철 상수, 후크 법칙, 단순 조화 운동, 비조화(anharmonic) 진동, 진폭 의존 주기, 경화(hardening) 용수철, 뒤핑 진동자(Duffing), 감쇠, 맴돌이 전류, 강제 진동·공명, 진동 에너지 수확

원리 살펴보기

두 자석을 같은 극끼리 마주보게 포개면 위 자석은 아래 자석을 밀어내는 자기 반발력에 얹혀 어디에도 닿지 않고 공중에 뜬다. 위 자석에는 아래로 중력이, 위로 반발력이 작용하는데 이 두 힘이 균형을 이루는 높이가 평형점이다. 반발력은 두 자석이 가까워질수록 급격히 세지므로, 위 자석을 살짝 눌러 내리면 더 큰 반발력이 되밀어 올리고 너무 올라가면 반발력이 약해져 중력이 끌어내린다. 닿지 않는 자기력이 곧 복원력이 되어, 위 자석은 평형점을 중심으로 위아래로 진동한다 — 보이지 않는 용수철에 매달린 셈이다. 그래서 이 계를 자기 용수철이라 부른다. 다만 자기 부양은 언쇼 정리 때문에 저절로 옆으로 쓰러지려 하므로, 실제로는 비자성 안내봉이나 관으로 좌우를 잡아 수직 진동만 남긴다.

진짜 용수철과 자기 용수철의 결정적 차이는 복원력의 모양에 있다. 후크 법칙을 따르는 용수철은 힘이 늘어난 길이에 정비례하지만, 자석 사이의 반발력은 거리에 정비례하지 않고 훨씬 가파르게 변한다 — 점쌍극자 근사로는 힘이 거리의 네제곱에 반비례해(F ∝ 1/d⁴), 아래로 눌러 가까워지면 급격히 세지지만 위로 멀어지면 중력에 눌려 복원이 약해지는 비대칭 용수철처럼 행동한다. 그래서 진폭이 작을 때는 단순 조화 운동에 가깝지만, 진폭이 커지면 주기가 진폭에 따라 달라지는 비조화(anharmonic) 진동이 된다 — 이것이 자기 용수철 진동의 핵심이다. 평형점 부근만 보면 힘–거리 곡선의 기울기(−dF/dd)가 곧 유효 용수철 상수이고, 얹은 질량이 바뀌면 평형 높이와 이 상수가 함께 변한다. 또 진동은 공기 저항과, 근처에 도체가 있으면 맴돌이 전류로 서서히 잦아들며(감쇠), 받침을 주기적으로 흔들어 주면 특정 진동수에서 진폭이 최대가 되는 공명이 나타난다.

평형점을 중심으로 떠서 떠는 이 자석은 신기한 장난감을 넘어 여러 곳에서 일한다. 진동 에너지 수확(떠 있는 자석이 코일 속에서 흔들리며 미세 진동을 전기로 바꾼다 — 걸음이나 기계 진동으로 센서에 전력을 공급하는 비선형 발전기), 자기 방진·서스펜션(자기 반발의 부드러운 비선형 복원력으로 장비를 진동에서 격리한다 — 음강성 자기 용수철), 자기 베어링(접촉 없이 축을 반발력으로 띄워 마찰 없이 회전시킨다), 자기 부상 수송(마그레브 열차처럼 반발·유도로 차체를 띄운다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

같은 크기의 원반형 또는 링형 네오디뮴 자석 2개 이상, 비자성 안내봉(연필·나무젓가락·플라스틱 빨대·유리관 중 자석 구멍에 맞는 것), 자와 모눈 배경판, 스마트폰(슬로모 영상·가속도 센서 앱)과 삼각대, 스톱워치, 위 자석에 얹을 비자성 추(작은 와셔·클립), 전자저울, (선택) 알루미늄·구리 관(맴돌이 전류 감쇠용), 받침을 흔들 소형 진동자나 스피커.

변인

독립변인은 위 자석에 더하는 질량이다(비자성 추를 단계적으로 얹으며 한 번에 이 값만 바꾼다). 종속변인은 두 자석 사이의 평형 간격과 미소 진동의 주기이다. 통제변인은 자석의 크기·세기·개수, 안내봉의 재질과 굵기, 실온, 안내봉과의 마찰이다. 비조화성을 볼 때는 진폭을 독립변인으로, 주기를 종속변인으로 바꾸어 따로 측정한다.

실험 순서

  1. 아래 자석을 바닥에 고정하고 비자성 안내봉을 수직으로 세운 뒤, 위 자석을 같은 극이 마주보도록 끼워 공중에 뜨게 한다 — 두 자석 사이의 평형 간격을 모눈 배경으로 읽는다.

  2. 위 자석을 살짝 아래로 눌렀다 놓아 작은 진폭으로 진동시키고, 스마트폰 슬로모 영상이나 가속도 앱으로 여러 주기를 기록해 평균 주기를 구한다 — 작은 진폭에서 단순 조화 운동에 가까운지 확인한다.

  3. 진폭을 단계적으로 키우며 같은 방식으로 주기를 재어, 주기가 진폭에 따라 달라지는지(비조화성) 조사한다.

  4. 위 자석에 비자성 추를 중심을 맞춰 하나씩 더 얹어 평형 간격과 미소 진동 주기가 어떻게 변하는지 재고, 얹은 질량과 평형 간격의 관계로 자석 사이의 힘–거리 곡선을 역산한다. 추를 얹어 갈 때와 덜어 낼 때를 따로 재어, 평형 간격이 갈라지는 폭을 안내봉 마찰의 크기로 삼는다.

  5. (감쇠) 알루미늄이나 구리 관을 씌우거나 그 안에서 진동시켜, 맴돌이 전류에 의한 감쇠로 진폭이 얼마나 빨리 줄어드는지 시간에 따라 기록한다.

  6. (강제 진동) 아래 자석 받침을 소형 진동자로 위아래로 흔들며 구동 진동수를 바꿔, 진폭이 최대가 되는 공명 진동수를 찾는다.

안전 안내

⚠ 안전

네오디뮴 자석은 매우 강력하다 — 두 자석이 순식간에 서로 달라붙으며 그 사이에 손가락·피부가 끼면 심하게 멍들거나 살을 문다. 항상 가장자리를 잡고 천천히 다룬다. 세게 부딪치면 잘 깨지며 날카로운 파편이 튀므로 보안경을 쓴다. 강한 자기장은 심장박동기 등 의료기기, 자기 카드, 하드디스크·스마트폰을 손상시키니 멀리 둔다. 작은 자석을 여러 개 삼키면 장을 뚫는 중대한 위험이 있으므로 어린이·반려동물의 손이 닿지 않게 하고, 실험 후 즉시 지정된 곳에 보관한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

위 자석을 조금만 눌렀다 놓을 때와 많이 눌렀다 놓을 때, 진동 주기는 같을까 달라질까? 그리고 위 자석에 질량을 더 얹으면 진동은 느려질까, 빨라질까?

자료 정리

진폭별 주기를 표로 모아 가로축을 진폭, 세로축을 주기로 그린다 — 선형 용수철이면 수평선, 자기 용수철이면 진폭에 따라 휘는 곡선이 나온다. 얹은 질량과 평형 간격의 관계는 힘–거리 곡선(평형에서 mg = F(d) ± 안내봉 마찰)으로 역산하고, 로그–로그 그래프의 기울기로 거듭제곱 지수가 점쌍극자의 4에 가까운지 본다 — 한쪽 방향만 쓰면 마찰이 기울기를 3 쪽으로 끌어내릴 수 있으니, 얹을 때와 덜 때 두 값의 중점을 써서 마찰을 상쇄한다. 감쇠 실험은 진폭의 시간 감소를 반로그로 그려 감쇠 상수를, 강제 진동은 구동 진동수–진폭 곡선으로 공명 진동수를 읽는다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

진폭이 작을 때 주기는 얹은 질량과 평형점의 유효 용수철 상수로 정해지는 단순 조화 운동에 가깝고, 진폭을 키우면 주기가 진폭에 따라 변할 것으로 예상된다. 선형 용수철이라면 주기가 진폭과 무관해야 하므로, 진폭에 따라 주기가 달라진다는 사실 자체가 복원력이 비선형임을 — 자기 용수철이 비조화 진동자임을 — 말해 준다. 이 배치처럼 고정 자석 하나 위에 중력으로 떠 진동할 때는 큰 진폭일수록 멀어지는 쪽의 복원이 중력값으로 포화되어 주기가 길어지는 연화가 예상되고, 자석 두 개 사이에 갇힌 대칭 배치라면 반대로 주기가 짧아지는 경화가 되므로, 어느 쪽인지는 측정으로 가른다. 평형 간격과 얹은 질량의 관계를 뒤집으면 자석 사이의 힘–거리 곡선을 얻어 거듭제곱 지수가 점쌍극자의 4에 가까운지, 근접에서 얼마나 벗어나는지 확인할 수 있다.

더 탐구하기

  1. 자석의 개수(2개 → 3개 쌓기)나 세기·크기를 바꿔 평형 높이와 유효 용수철 상수, 그리고 주기가 어떻게 달라지는지 조사해 보자.

  2. 위 자석을 일부러 기울이거나 안내봉을 잠깐 치워, 언쇼 정리대로 수직이 아닌 방향이 왜 불안정한지·안내봉이 왜 꼭 필요한지 확인해 보자.

  3. 도체 관의 재질(구리·알루미늄)과 두께를 바꿔 맴돌이 전류 감쇠의 크기를 정량 비교하고, 감쇠가 도체의 전기 전도율에 어떻게 의존하는지 살펴보자.

  4. 강제 진동으로 구동 진동수–진폭 곡선을 그려 비선형 공명 특유의 휘어짐과 이력(같은 진동수에서 진폭이 두 값을 갖는 현상)을 관찰하고, 진동 에너지 수확과 연결해 보자.

연결 주제

이 원고의 핵심 — 비선형 복원력이 만드는 비조화 진동, 즉 진폭에 따라 변하는 주기 — 은 큰 진폭 단진자나 뒤핑 진동자처럼 복원력이 휘어지는 모든 진동 탐구의 뼈대다. 평형점 주변의 유효 용수철 상수를 힘–거리 곡선에서 역산하는 방법은 자석·용수철·전기력 등 복원력을 다루는 다른 문제로 그대로 이어지고, 도체 관 속 맴돌이 전류 감쇠라는 곁가지는 도체 근처에서 움직이는 자석을 다루는 자기 감쇠·자기 부양 계열 탐구와 짝을 이룬다.

참고문헌

[학생] R. Edge, “Levitation using only permanent magnets,” The Physics Teacher 33, 252–253, 1995, DOI 10.1119/1.2344210 — 비자성 막대에 링 자석을 같은 극끼리 끼워 위 자석을 띄우는 이 실험의 원형(교사·학생용 시범) / 위키백과 “Magnetic levitation”·“Earnshaw’s theorem(언쇼 정리)” / 영상 검색어 “magnetic spring ring magnets oscillation” / [심화] B. P. Mann · N. D. Sims, “Energy harvesting from the nonlinear oscillations of magnetic levitation,” Journal of Sound and Vibration 319(1–2), 515–530, 2009, DOI 10.1016/j.jsv.2008.06.011 — 부양된 자석을 비선형(뒤핑형) 진동자로 모형화·실험 검증한 이 문제의 핵심 문헌 · D. Vokoun 외, “Magnetostatic interactions and forces between cylindrical permanent magnets,” J. Magn. Magn. Mater. 321(22), 3758–3763, 2009, DOI 10.1016/j.jmmm.2009.07.030 — 동축 원통형 영구자석 사이 힘–거리 법칙의 해석적 근거 · M. J. Moloney, “Coupled oscillations in suspended magnets,” American Journal of Physics 76(2), 125–128, 2008, DOI 10.1119/1.2820394 — 부양된 자석들의 진동을 다룬 교육 논문 · J. O. Oyelade 외, “Experiment study on nonlinear oscillator containing magnetic spring with negative stiffness,” Int. J. Non-Linear Mech. 120, 103396, 2020, DOI 10.1016/j.ijnonlinmec.2019.103396 — “자기 용수철”(음강성) 비선형 진동자의 실험 연구. ※ 자기 부양과 힘–거리 법칙은 잘 정립됐으나, 학교 재료(네오디뮴 링 자석·스마트폰)로 주기–진폭 관계(비조화성)를 정량 재현하고 힘–거리 지수를 역산하며 맴돌이 감쇠와 강제 진동의 비선형 공명을 오차와 함께 확인하는 것이 이 탐구의 개방 지점이다.

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