림 위의 5 g이 훔쳐 간 시간 — 자전거 경주

탐구 주제

IYPT 1996 문제 3 ‘Cycle racing’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1996 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「일과 에너지」 / 고등학교 통합과학1 「과학의 기초」·과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」 / 진로선택 「역학과 에너지」(시공간과 운동·에너지의 전환과 보존) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

미끄러짐 없는 굴림, 순간 회전 중심, 회전 운동 에너지, 관성 모멘트, 평행축 정리, 유효 질량, 굴림 저항 계수, 공기 저항 계수, 일·에너지 정리, 일정 출력 조건, 회전 불균형, 원심력, 공진, 차수 어림

원리 살펴보기

겨우 5 g짜리 너트 하나가 100 km 경주의 승부를 가를 수 있을까? 자전거를 아는 사람은 곧바로 “림에 붙은 무게는 두 배로 세어진다”고 답한다. 구르는 바퀴 위의 질량은 나아가면서 축도 돌아야 하므로, 속력을 바꿀 때 드는 힘이 같은 질량을 프레임에 매달았을 때의 두 배가 된다. 그러나 재미는 ‘두 배’가 아니라 그 절대 크기에 있다. 선수와 자전거를 합친 80 kg에 견주면 5 g은 1만 6천분의 1이다.

구르는 바퀴의 순간 회전 중심은 접지점이다. 그래서 림 위 한 점의 지면 기준 속력은 바닥에서 0, 꼭대기에서 자전거 속력 v의 두 배까지 오르내리고, 제곱의 평균이 2v²이 되어 운동 에너지가 ½mv²의 꼭 두 배가 된다. 그런데 이 손해는 속력을 바꿀 때만 생긴다 — 일정한 속력으로 달리는 동안에는 여분의 일이 한 푼도 들지 않는다. 그렇다면 100 km 내내 남는 것은 5 g만큼 무거워진 몸이 무는 굴림 저항, 가속과 제동에서 오가는 운동 에너지, 한 바퀴에 한 번씩 자전거를 흔드는 불균형 원심력(36 km/h에서 1.5 N 남짓), 그리고 림 위에서 최대 2v로 도는 돌출물이 긁어내는 공기다. 공기 저항의 일률은 속력의 세제곱에 비례하므로, 세제곱의 평균은 같은 물체를 프레임에 붙였을 때의 3.4배가 된다. 네 채널 가운데 가장 큰 것이 회전 관성이 아니라는 점, 그것이 이 문제의 반전이다.

이 저울질은 자전거만의 일이 아니다. 자동차·오토바이 휠 밸런싱(정비소에서 림에 추를 붙여 이 문제의 범인과 정반대되는 일을 한다), 회전 기계의 진동 관리(세탁기 드럼·터빈 로터의 불균형을 g 단위로 잡는다), 차량 주행 저항 시험(연비 인증에 쓰는 타력 주행 시험이 이 원고의 측정법이다), 경기용 휠 설계(림 무게와 공기역학의 맞교환)에서 같은 계산이 되풀이된다.

실험 설계

준비물

축에서 분리할 수 있는 자전거 바퀴, 자전거 거치대, 0.1 g 단위 전자저울, 줄자, 스톱워치, 스탠드와 클램프, 20~200 g 범위의 너트·와셔 추, 케이블 타이와 절연 테이프, 보안경, 스마트폰(고속 촬영과 가속도·자이로 센서 앱).

변인

독립변인은 바퀴 림에 덧붙인 질량 m이다(한 번에 이 값만 바꾼다). 5 g은 학교 계측의 분해능 아래이므로 20~200 g으로 키워 재고, 비례가 확인되면 그 직선을 따라 5 g으로 되돌린다. 종속변인은 진자 주기에서 구한 바퀴의 관성 모멘트와, 자유 회전시킨 바퀴의 각속도가 절반으로 줄어드는 시간이다. 통제변인은 바퀴·타이어와 공기압, 추를 붙인 반지름, 진자의 회전축과 초기 진폭, 초기 각속도, 실내 무풍 조건이다.

실험 순서

1. 바퀴를 축에서 빼내 질량 M과 반지름 R을 잰다. 림의 한 점을 클램프에 걸어 5° 이내로 흔들며 10회 진동 시간을 세 번 재고, 복합 진자 식으로 관성 모멘트를 구한다.

2. 정반대쪽 림에 20 g, 50 g, 100 g, 200 g을 차례로 묶으며 ①을 되풀이해, 늘어난 관성 모멘트를 질량에 대해 그린다.

3. 같은 추를 스포크 중간(반지름 약 R/2)으로 옮겨 ①②를 되풀이해, 관성 모멘트가 반지름의 제곱을 따르는지 본다.

4. 바퀴를 거치대에 끼워 힘껏 돌린 뒤 손을 떼고, 밸브 표식을 고속 촬영해 각속도–시간 곡선을 얻는다. 추가 없을 때·림에 있을 때·축 가까이 있을 때를 비교한다.

5. 같은 질량을 튀어나온 너트로 붙였을 때와 테이프를 겹쳐 얇게 붙였을 때로 나눠 ④를 되풀이해, 관성 탓과 공기 저항 탓을 가른다 — 이 비교는 돌출물 효과가 있는지를 가릴 뿐, 주행 중 항력으로 환산하지는 않는다.

6. 포크 끝에 스마트폰을 고정하고 가속도 센서로 ④를 되풀이해, 진동의 세기를 질량별로 기록하고 유독 커지는 회전수를 찾는다.

안전 안내

회전하는 바퀴와 스포크에 머리카락·옷이 말려 들어가지 않도록 묶고 걷어붙이며 보안경을 쓴다. 덧붙인 추는 원심력으로 튀어나갈 수 있으니 케이블 타이와 테이프로 이중 고정하고 사람이 없는 쪽을 향하게 둔다. 자전거는 거치대에 고정하고 매단 바퀴의 걸이를 확인한다. 무엇보다 일부러 불균형하게 만든 바퀴로 도로를 달리지 않는다 — 조향과 제동에 영향을 주며, 남의 자전거에 손대는 것이야말로 이 문제 속 범인이 한 짓이다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

림에 5 g짜리 너트 하나가 붙은 선수는 100 km 뒤에 얼마나 늦게 들어올까? 분 단위일까, 초 단위일까, 아니면 눈금에도 잡히지 않을까?

자료 정리

덧붙인 질량을 가로축, 늘어난 관성 모멘트를 세로축으로 그려 기울기가 반지름의 제곱과 맞는지 본다. 스핀다운 곡선은 세로축 로그로 감속의 성격을 살핀다. 마지막으로 네 채널이 100 km 동안 요구하는 추가 일을 나란히 놓고, 선수의 출력으로 나눠 지연 시간을 어림한다. 일정한 출력에서는 속력이 조금 떨어져 공기 저항 손실도 함께 줄기 때문에, 실제 지연은 이 어림값의 3분의 1 남짓이 된다. (그래프는 축과 개형만 잡는다.)

결과의 의미

늘어난 관성 모멘트는 덧붙인 질량에 정비례하고, 기울기는 반지름의 제곱과 맞을 것으로 예상된다. 곧 림 위의 5 g은 가속에서 10 g처럼 행동한다. 그러나 그 10 g은 80 kg짜리 계의 8천분의 1에 지나지 않아, 회전 관성으로 잃는 시간은 1초에 미치지 못한다. 굴림 저항으로 무는 값은 그보다도 훨씬 작아 100분의 1초 수준이고, 정작 가장 큰 몫은 돌출물이 치르는 공기 저항으로 몇 초 규모다. 결국 답은 ‘길어야 몇 초’ — 자유흐름 어림의 상한이고, 바퀴가 끌고 도는 공기와 프레임 가림을 생각하면 그 절반 아래로도 줄 수 있다. 문제가 말하는 뒤처짐을 설명하기에는 턱없이 작지만, ‘절대적으로 똑같은’ 두 선수 사이에서는 승부를 가르고도 남는다. 다만 항력 몫은 실측이 없는 개방 지점이다. 어느 채널이 지배하는지 차수로 가려내는 것이 이 문제의 물리다.

더 탐구하기

1. 정반대쪽 림에 똑같은 추를 하나 더 붙여 균형만 되돌려 보자. 관성 모멘트는 더 커졌는데 진동은 사라져 두 효과를 갈라낼 수 있다.

2. 추를 여러 반지름에 옮겨 붙이며 진동의 세기를 재어, 원심력이 부착 반지름과 회전수에 어떻게 의존하는지 확인해 보자.

3. 경사로에서 바퀴를 굴려 도착 시간으로 관성 모멘트를 다시 구하고, 진자법 값과 맞춰 보자.

4. 자전거를 타고 타력 주행(코스트다운) 시험을 해 굴림 저항·공기 저항 계수를 직접 구한 뒤, 그 값으로 지연 시간을 다시 계산해 보자.

연결 주제

같은 1996년 문제 12 ‘자동차’ — 일정한 출력으로 달리던 차의 저항이 조금 늘 때 속력 변화를 묻는다. 추가 일을 지연 시간으로 바꾸는 계산이 그대로 쓰인다. 문제 9 ‘바닥 광택기’는 회전하는 원반이 병진 운동에 무는 값을 다룬다.

참고문헌

[학생] OpenStax 『University Physics Volume 1』 11.1 ‘Rolling Motion’(굴림 운동 에너지의 병진·회전 분해) · phyphox(무료 스마트폰 센서 앱 — 각속도·진동 기록) · R. Cross, “Kinetic energy of a rolling bicycle wheel,” Physics Education 61(2), 023006 (2026) (조각마다의 운동 에너지를 더해 확인; DOI 10.1088/1361-6552/ae4c12) · P. F. Hinrichsen, “A Simple Moment of Inertia Measurement,” The Physics Teacher 60(4), 292–295 (2022) (복합 진자로 관성 모멘트를 재는 학교 수준 방법; DOI 10.1119/10.0009995) / [심화] F. Grappe 외, “Influence of tyre pressure and vertical load on coefficient of rolling resistance and simulated cycling performance,” Ergonomics 42(10), 1361–1371 (1999) (타력 주행 감속법으로 굴림 저항 계수 0.0035~0.0101 실측; DOI 10.1080/001401399185009) · T. Danek 외, “On modelling bicycle power-meter measurements: Part I,” arXiv:2005.04229 (2020) (부록 B는 가속 항에 바퀴 질량을 한 번 더 세우고, 부록 D는 회전 바퀴의 공기 저항을 별도 항으로 다룬다) · D. I. Greenwell 외, “Aerodynamic characteristics of low-drag bicycle wheels,” The Aeronautical Journal 99(983), 109–120 (1995) (측풍에서 항력은 휠 형상에 민감하나 회전수에는 거의 무관; DOI 10.1017/S0001924000028281) · D. G. Wilson·T. Schmidt, 『Bicycling Science』 4판, MIT Press (2020). ※ 림 돌출물이 회전 바퀴 항력을 얼마나 키우는지(끌고 도는 공기·포크 가림 탓에 세제곱 평균 어림은 과대평가일 수 있다), 바퀴 불균형이 흩뜨리는 에너지와 공진 여부는 직접 잰 문헌이 드물다 — 이 둘이 개방 지점이다.