아무렇게나 구겼는데 왜 늘 비슷한 크기일까 — 종이뭉치

탐구 주제

IYPT 1996 문제 2 ‘Paper clot’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1996 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「물질의 특성」(밀도)·「여러 가지 힘」(탄성력) / 고등학교 통합과학1 「과학의 기초」(측정과 표준)·과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」(측정과 오차, 자료 해석) / 진로선택 「역학과 에너지」(힘과 변형, 에너지 흡수) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

구김(crumpling), 굽힘 강성, 능선(ridge)과 꼭짓점(vertex), 소성 변형, 유효 밀도, 질량–지름 멱법칙, 질량 프랙탈 차원, 로그–로그 그래프, 히스토그램, 평균과 표준편차, 상대 표준편차, 로그정규 분포, 평량(g/m²), 측정 프로토콜

원리 살펴보기

아무렇게나 구겼는데 뭉치는 왜 늘 비슷한 크기가 될까? A4 한 장의 질량은 약 5 g이고 종이 자체가 차지하는 부피는 6 cm³ 남짓인데, 손으로 뭉친 공의 지름은 3.5 cm 안팎이 된다. 측정된 뭉치의 유효 밀도는 종이 밀도의 3분의 1 정도다 — 곧 종이뭉치는 부피의 3분의 2가 공기다. 그 빈 공간을 떠받치는 것은 접힌 자리를 따라 생긴 능선(ridge)과 능선이 만나는 꼭짓점의 뼈대다.

이 뼈대는 놀랄 만큼 힘에 둔감하다. 무작위로 구긴 공의 지름 R와 구김 힘 F 사이에 R ∝ F^(−δ)라는 멱법칙이 보고되었고, 알루미늄 시트에서 측정된 δ는 0.21 ± 0.02였다 — 지름을 절반으로 줄이려면 힘을 스물몇 배나 키워야 한다는 뜻이다. 게다가 지름은 부피의 세제곱근이라, 부피가 30 % 흔들려도 지름은 10 %만 흔들린다. 쥐는 힘이 매번 달라도 지름이 좁은 구간에 모이는 까닭이다. 한편 종이 크기를 바꾸면 질량 M과 지름 D 사이에 M ∝ D^d라는 관계가 나타나는데, 이 지수 d가 2와 3 사이에 놓인다. 뭉치가 납작한 면(2차원)도 꽉 찬 덩어리(3차원)도 아닌, 그 사이 어딘가라는 뜻이다.

이 물리는 쓰레기통 밖에서도 일한다. 완충 포장재(구긴 종이 충전재는 밀도가 낮으면서 압축에 잘 버티고 충격 에너지를 흡수한다), 자동차 충돌 흡수 구조와 금속 캔(얇은 껍질이 찌그러지며 에너지를 먹는 같은 물리), 그래핀 같은 2차원 소재 가공(구겨 놓으면 서로 달라붙지 않아 전극 재료로 쓸 수 있다), 접어 넣는 전개 구조물(인공위성 태양전지판, 에어백, 혈관 스텐트처럼 얇은 막을 작게 접었다 펴는 설계)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

같은 묶음의 A4 복사용지 30장 이상(80 g/m²), 평량이 다른 종이(70·100·120 g/m², 신문지, 습자지)와 알루미늄 포일, 캘리퍼스, 30 cm 자, 0.01 g 단위 전자저울, 커터와 자르는 판, 모눈 배경과 스마트폰, 지퍼백, 스프레드시트.

변인

독립변인은 종이의 넓이(A4를 1/8·1/4·1/2·1장으로 나눈다)와 평량(g/m²)으로, 한 번에 하나만 바꾼다. 종속변인은 뭉치의 평균 지름이다. 앞부분의 히스토그램 실험에서는 독립변인 없이 같은 조건을 30회 이상 반복해 분포 자체를 본다. 통제변인은 구기는 사람과 손동작(쥐는 시간과 세기), 접는 순서를 정하지 않는 ‘아무렇게나’ 규칙, 실내 온도와 습도, 지름을 재는 방법이다.

실험 순서

1. A4 30장 이상을 같은 규칙으로 구긴다 — 한 손에 넣고 정해진 시간(예: 5초) 동안 최대한 세게 쥐었다 놓는다. 규칙은 글로 적어 두고 구기는 사람도 바꾸지 않는다.

2. 뭉치마다 모눈 배경에서 서로 수직인 세 방향을 먼저 촬영한 뒤, 같은 방향의 지름을 캘리퍼스로 재어 평균을 낸다. 죔쇠는 닿는 순간까지만 조이고, 한 뭉치는 3회 반복 측정해 측정 오차를 구한다.

3. 평균 지름 30개 이상을 계급 폭을 바꿔 가며 히스토그램으로 그리고, 평균·표준편차·상대 표준편차를 구한다.

4. ②의 사진으로 지름을 읽어 캘리퍼스 값과 견준다 — 그 차이는 죔쇠가 누른 몫과 투영·축 선택이 섞인 값이므로 ‘측정법 차이’로만 기록한다.

5. A4를 1/8·1/4·1/2·1장으로 잘라 크기마다 5개 이상 뭉치를 만들고, 질량과 평균 지름을 재어 log M–log D 그래프의 기울기에서 d를 구한다.

6. 평량이 다른 종이와 알루미늄 포일로, 젖은 휴지와 함께 지퍼백에 하룻밤 둔 종이로 ①~③을 반복한다.

안전 안내

커터와 가위는 자르는 판 위에서 날을 몸 반대쪽으로 두고 쓴다. 종이와 알루미늄 포일의 가장자리는 날카로워 손을 베기 쉬우니 모서리를 훑듯 잡지 않는다. 수십 번을 힘껏 쥐면 손목과 손가락에 무리가 가니 중간중간 쉬고, 통증이 있으면 멈춘다. 젖은 종이는 곰팡이가 피기 전에 버리고, 실험이 끝난 종이는 분리배출한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

같은 A4를 30번 구기면 지름 히스토그램은 넓게 퍼질까, 놀랄 만큼 좁게 모일까? 종이 넓이를 2배로 늘리면 지름은 2배가 될까, 그보다 훨씬 덜 커질까?

자료 정리

지름 값을 계급 폭 0.5 mm·1 mm·2 mm로 바꿔 가며 히스토그램을 그리고 평균·표준편차·상대 표준편차를 구한다. 같은 뭉치를 반복 측정한 표준편차와 견주어 퍼짐의 출처를 가른다. 가로축을 log D로 바꾼 히스토그램도 그려 좌우 대칭인지 살핀다(대칭이면 로그정규에 가깝다). 지름을 시행 순서대로도 찍어 뒤로 갈수록 커지는 추세(악력 피로)가 없는지 확인하고, 있으면 앞뒤 절반을 나눠 비교한다. 두 번째 실험은 log M–log D 기울기에서 d를 읽고, 유효 밀도 M/((π/6)D³)도 크기별로 표시한다. (그래프는 축과 개형만 잡고, 실측 전에는 수치를 채우지 않는다.)

결과의 의미

히스토그램은 예상보다 훨씬 좁게, 평균 둘레에 종 모양으로 모일 것으로 예상된다. 무작위해 보이는 과정도 거시적 결과는 재현된다는 것 — 이것이 이 문제가 던지는 통계물리의 메시지다. 그 폭의 얼마가 구김의 무작위성이고 얼마가 측정 탓인지는 같은 뭉치를 되풀이해 잰 값의 퍼짐이 드러낸다. 지수 d는 3보다 작게도, 3에 가깝게도 나올 수 있다. d가 3이면 유효 밀도가 크기와 무관하다는 뜻이고, 3보다 작으면 큰 뭉치일수록 더 성글다는 뜻이다. 문헌에도 2.4·2.7과 d ≈ 3이 함께 보고돼 있어, 누르며 재느냐 닿지 않고 재느냐로 지수가 갈릴 수 있다. 측정 프로토콜을 글로 못 박는 일이 성패를 가른다.

더 탐구하기

1. 같은 뭉치를 폈다 다시 구기기를 열 번 넘게 되풀이하며 지름이 달라지는지 재 보자 — 접힌 자국이 다음 구김을 쉽게 만드는 ‘기억’ 효과를 볼 수 있다.

2. 뭉치 위에 책이나 저울추로 일정한 하중을 걸어 두고 며칠에 걸쳐 높이를 재 보자 — 하중이 그대로인데도 높이가 시간의 로그로 줄어드는 느린 완화가 보고되어 있다.

3. 종이 대신 알루미늄 포일·셀로판·비닐로 바꿔, 되튀는 재료와 되튀지 않는 재료가 같은 지수를 주는지 비교해 보자.

4. 뭉치를 반으로 잘라 단면을 촬영하고, 바깥에서 안쪽으로 갈수록 종이 층이 어떻게 겹치는지 세어 보자.

연결 주제

같은 1996년 문제 4 ‘더미의 자기 형성’ — 무질서해 보이는 알갱이의 움직임에서 재현 가능한 형태가 나오는, 같은 종류의 물음이다. 같은 조건을 되풀이해 히스토그램으로 결론을 내는 방식도 그대로 옮겨 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] T. Bansal 외, “Effective Density of Crumpled Paper Balls,” Student Journal of Physics 7(1), 45–49 (2018) (유효 밀도 0.25 ± 0.06 g/cm³, 곧 d ≈ 3) ·C. Zhou, C. Witkov, “Fractal dimensions of crumpled paper,” Journal of Emerging Investigators 6 (2023) (A4를 나눠 구겨 d = 2.40; DOI 10.59720/21-261) / [심화] M. A. F. Gomes, “Fractal geometry in crumpled paper balls,” Am. J. Phys. 55(7), 649–650 (1987) (M ∝ D^d 관점의 출발점; DOI 10.1119/1.15094) · K. Matan 외, “Crumpling a Thin Sheet,” Phys. Rev. Lett. 88, 076101 (2002) (하중이 일정해도 높이가 로그로 줄어듦; DOI 10.1103/PhysRevLett.88.076101) · A. S. Balankin 외, “Scaling properties of randomly folded plastic sheets,” Phys. Rev. E 75, 051117 (2007) (알루미늄에서 힘 지수 δ = 0.21 ± 0.02; DOI 10.1103/PhysRevE.75.051117) · A. D. Cambou, N. Menon, “Three-dimensional structure of a sheet crumpled into a ball,” PNAS 108(36), 14741–14745 (2011) (내부는 등방·균질; DOI 10.1073/pnas.1019192108) · Y. Hayase 외, “Fold analysis of crumpled sheets using microcomputed tomography,” Phys. Rev. E 104, 025005 (2021) (질량 프랙탈 차원 2.7 ± 0.1; DOI 10.1103/PhysRevE.104.025005) · E. Sultan, A. Boudaoud, “Statistics of Crumpled Paper,” Phys. Rev. Lett. 96, 136103 (2006) (마디 길이가 로그정규; DOI 10.1103/PhysRevLett.96.136103). ※ 같은 A4를 여러 장 구겼을 때 지름 히스토그램의 모양과 폭을 정면으로 다룬 문헌은 찾기 어렵다 — 이 탐구의 개방 지점이다.