어느 쪽이 뿌리였을까 — 나무 정육면체

탐구 주제

IYPT 1991 문제 13 ‘Wooden cube’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1991 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「물질의 특성」·「열」(열전도) / 고등학교 과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」(변인 통제·눈가림 검정) / 진로선택 「역학과 에너지」(열과 에너지 — 열전도 / 탄성파와 소리 — 탄성률과 음속) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

이방성, 섬유 방향(결), 나이테, 길이·반경·접선 방향, 팽윤과 수축, 함수율, 섬유 포화점, 모세관 현상, 투과율, 헛물관·벽공, 열전도도, 탄성률과 음속, 2계 텐서, 가역성, 레이놀즈 수, 스토크스 흐름, 카이랄성과 극성, 대조군, 눈가림 시험

원리 살펴보기

나무는 굵기 수십 μm짜리 빨대를 줄기 축을 따라 다발로 묶어 놓은 재료다. 그래서 섬유를 따라가는 길이 방향, 나이테를 가로지르는 반경 방향, 나이테를 따라가는 접선 방향의 성질이 서로 크게 다르다. 초록 상태에서 완전히 말릴 때의 수축률은 길이 방향이 0.1~0.2 %인데 접선 방향은 그 수십 배이고, 접선은 반경의 약 두 배다. 기체 투과율은 길이 대 접선이 520~81,600배까지 벌어지는 반면, 음속은 결에 직각인 방향이 길이 방향의 1/5~1/3, 열전도는 길이 방향이 1.5~2.8배에 그친다. 축을 찾는 문제는 대비가 가장 큰 성질을 고르면 이긴다 — 열·전기는 두 배 안팎이고 소리는 서너 배지만 μs를 재야 하는 반면, 팽윤은 수십 배로 갈린다.

그런데 원문 괄호가 묻는 것은 축이 아니라 방향이다. 어느 쪽 끝이 뿌리였는가. 여기서 대칭성이 발목을 잡는다. 열전도도·전기전도도·투과율은 모두 2계 텐서여서 축을 통째로 뒤집어도 값이 그대로다. 즉 어떤 선형 수송 측정도 뿌리 쪽과 꼭대기 쪽을 구별하지 못한다. 방향이 생기려면 구조가 앞뒤로 비대칭이면서 그 비대칭을 정류할 비선형 기제까지 있어야 한다. 물이 1분에 2 cm 오르는 정도라면 지름 100 μm 물관에서도 레이놀즈 수가 0.03 남짓인 스토크스 흐름이다. 다만 침투는 접촉선이 움직이는 자유표면 문제라 이 논증만으로는 배제되지 않는다 — 그래서 아래 방향 검정이 필요하다. 세포벽의 미세섬유가 세포 축을 나선으로 감고 있지만 나선의 손대칭성은 극성이 아니다 — 오른나사는 어느 쪽에서 봐도 오른나사다.

남는 단서는 구조 자체의 앞뒤 비대칭뿐이다. 가지 흔적인 옹이는 줄기 축에 비스듬히 놓이니 후보가 되지만, 문제의 큐브는 줄기 지름보다 훨씬 작게 잘라낸 맑은 목재라 그런 표지가 아예 없을 수 있다. 줄기가 위로 갈수록 가늘어지는 테이퍼(둘레가 1 m당 1.7~3.7 cm 준다)도 극성을 품지만, 20 mm 안에서 나이테 간격이 달라지는 양은 1 %에도 못 미쳐 들쭉날쭉한 나이테 폭에 묻힌다. 그러니 정직한 답은 “축은 확실히 정하고, 방향은 눈가림 시험으로 검정한다”이다. 이 이방성은 산업에서 매일 쓰인다. 제재·목재 등급(레이저 빛이 결을 따라 길쭉하게 번지는 트라케이드 효과로 결 각을 잰다), 악기 제작(사운드보드를 결 방향 음속으로 고른다), 목재 건조(접선이 반경의 두 배로 줄어 판재가 휜다), 연륜연대학(나이테로 연도를 읽는다)이 그렇다.

실험 설계

준비물

나무 정육면체(한 변 약 20 mm), 디지털 캘리퍼스(0.01 mm), 전자저울(0.01 g), 식용 색소를 푼 물, 얕은 접시, 종이 타월, 유성펜, 확대경(또는 스마트폰 접사), 스톱워치, 고운 사포, 보안경·방진 마스크·장갑, 검정용으로는 자를 때 위쪽을 표시해 둔 곧은 줄기 토막에서 교사가 잘라 낸 같은 크기의 큐브 여러 개.

변인

독립변인은 큐브의 세 축(그리고 섬유 축의 두 끝 가운데 어느 쪽을 아래로 두는가)이고, 종속변인은 침지 뒤 각 축의 길이 변화율과 질량 증가량, 색소 물이 오른 높이이다. 통제변인은 침지 시간과 수온, 물 깊이, 시료의 크기와 표면 상태, 측정 위치, 같은 나무에서 잘라 낸 시료라는 점이다.

실험 순서

1. 큐브의 세 축에 A·B·C 이름을 적고 각 축 길이를 캘리퍼스로 세 자리에서 재 평균을 내고 질량도 기록한다. 한 면의 나이테 호의 오목한 쪽으로 나무 중심(수) 방향도 표시한다.

2. 큐브를 상온의 물에 24시간 담갔다가 표면 물기를 닦고 같은 자리에서 세 축과 질량을 다시 잰다. 팽윤률이 0.1 % 수준에 그치는 축이 섬유 축이고, 남은 둘 가운데 큰 쪽이 접선 방향, 그 절반쯤인 쪽이 반경 방향이다.

3. 위쪽을 표시해 자른 줄기 토막에서 만든 큐브들을 색소 물 2 mm 깊이의 접시에 축을 바꿔 세우고, 2분 뒤 옆면에서 색소가 오른 높이를 재 ②의 판정을 독립적으로 확인한다.

4. 방향 검정 — 같은 막대에서 이웃하게 잘라 낸 큐브 두 개를 한 짝으로, 대조 짝은 둘 다 같은 끝을 아래로, 시험 짝은 서로 반대 끝을 아래로 세워 10·20·30·60·120초에 꺼내 표면 물기를 닦고 달아 질량 증가를 √시간 축의 초기 기울기로 비교한다. 어느 쪽이 위였는지는 짝꿍이 감춘 채 열 짝 이상 되풀이한다.

안전 안내

나무를 자르고 사포질하는 작업은 교사가 맡거나 교사 감독 아래 보안경과 방진 마스크를 쓰고 한다(톱·칼에 베임, 목재 분진 흡입). 모서리와 거스러미는 미리 곱게 다듬는다. 젖은 시료와 전기 기구를 함께 다루지 않는다 — 전기저항을 재 보고 싶다면 마른 시료에 전지로 구동되는 멀티미터(9 V 이하)만 쓰고, 콘센트 전원은 어떤 경우에도 쓰지 않는다. 따뜻한 물도 50 ℃를 넘기지 않으며, 시료를 말릴 때는 오븐·전열기 대신 자연 건조나 제습 용기를 쓴다. 담가 둔 물은 매번 새로 갈고 실험 뒤 손을 씻는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

섬유 축의 팽윤률은 나머지 두 축의 몇 분의 일일까? 뿌리 쪽 끝을 아래로 두면 물이 더 빨리 빨려 올라갈까, 어느 쪽으로 세우든 같을까?

자료 정리

세 축의 팽윤률(%)을 막대로 나란히 세우고, 질량 증가를 √시간 축에 찍어 축별 초기 기울기를 견준다(축과 개형만). 방향 검정은 짝마다 질량 증가의 차이를 구해 대조 짝과 시험 짝의 분포를 겹쳐 그린다 — 시험 짝의 차이가 대조 짝의 흩어짐에 묻히면 방향 신호는 없는 것이다.

결과의 의미

한 변 20 mm 큐브라면 접선 방향은 0.5~1.5 mm, 반경 방향은 그 절반쯤 늘어나는 반면 섬유 축은 0.02 mm 남짓 — 캘리퍼스 눈금 두어 칸, 측정 오차와 구별되지 않는 수준에 그칠 것으로 예상된다. 바로 그 “거의 변하지 않음”이 섬유 축을 가리키는 신호이고, 남은 두 축의 2 대 1 비가 접선과 반경을 갈라 준다(24시간으로는 속까지 젖지 않아 절대값은 낮다 — 2 대 1은 다 말릴 때의 문헌 비이니 크고 작음의 순서로 읽고 ①의 나이테 표시와 맞는지 보자). 방향 검정에서는 시험 짝의 차이가 대조 짝의 흩어짐에 묻힐 가능성이 크다 — 그것은 실패가 아니라 “선형 수송은 앞뒤를 모른다”는 대칭 논증이 닿지 못하는 비선형 통로에서도 극성이 잡히지 않았다는 결과이다. 되풀이해도 남는 차이가 나온다면 보고할 값어치가 있으니 나무 종류를 바꿔 재현부터 하자. 어디까지 말할 수 있는지 분명히 하는 것이 이 문제의 정직함이다.

더 탐구하기

1. 큐브 한 면을 50 ℃ 이하의 따뜻한 물병에 대고 반대 면의 온도가 오르는 시간을 축별로 재 보자 — 열확산율이 약 1.5×10⁻⁷ m²/s라 20 mm를 건너는 데 수십 분이 걸리고 결 방향이 겨우 1.8배 빠르다.

2. 소리로 재는 길이 왜 막히는지 계산해 보자. 음속 약 3,800 m/s와 890 m/s를 20 mm에 넣으면 통과 시간이 5 μs와 22 μs, 자유 진동수는 95 kHz와 22 kHz — 48 kHz 녹음 스마트폰으로는 잡기 어렵다. 20 cm 막대라면 어떨까?

3. 젖은 큐브를 자연 건조하며 하루 간격으로 세 축을 재, 수축이 같은 경로로 되돌아오는지(이력) 보자.

4. 교사가 잘라 준 옹이 든 조각들에서 옹이가 줄기 축에 대해 어느 쪽으로 기울어 박혔는지 견주고, 그 기울기가 위·아래의 표지가 될 수 있는지 눈가림으로 시험해 보자.

연결 주제

IYPT 1991 문제 11 「금 정육면체」는 같은 정육면체의 두 면의 온도 차를 따진다 — 거기서는 재질마다 다른 열전도도가 온도 차를 갈랐고, 여기서는 한 재질 안에서 방향에 따라 1.5~2.8배 갈리는 열전도도가 축을 가리킨다. IYPT 1997 문제 1(혼돈스러운 영향 아래 일정한 방향으로 움직이는 장치)은 두 번째 과제와 같은 교훈이다 — 솔의 기울기를 뒤집으면 진행 방향도 뒤집히는 대조로, 방향을 정하는 것은 흔들림이 아니라 장치의 비대칭임을 보인다. IYPT 1997 문제 3 「종이」는 셀룰로스 섬유와 물의 결합을 인장 강도로 재며 기계·가로 방향의 이방성을 다룬다.

참고문헌

[학생] R. J. Ross 편, 『Wood Handbook — Wood as an Engineering Material』, FPL-GTR-190, 미국 농무부 산림청 산림제품연구소(2010) — 무료 PDF. 4장: 길이 방향 수축은 초록에서 전건까지 0.1~0.2 %, 접선 수축은 반경의 약 2배, 결 방향 열전도는 직각의 1.5~2.8배(평균 1.8), 전기 전도 비 1.0 : 0.55 : 0.50. 5장: 결 직각 음속은 길이 방향의 1/5~1/3(예 3,800 m/s와 890 m/s). 6장: 줄기 둘레 테이퍼는 1 m당 1.7~3.7 cm. [심화] G. L. Comstock, “Directional permeability of softwoods,” Wood and Fiber 1970년 4호, 283–289쪽 — 투과율 비가 길이 대 접선 520~81,600, 길이 대 반경 15~547,000이며 세포 끝의 겹침과 벽공이 그 차이를 만든다. / J. Nyström, Computers and Electronics in Agriculture 41(1–3), 91–99 (2003), doi:10.1016/S0168-1699(03)00045-0 — 트라케이드 효과로 결 각 자동 측정. / J. R. Barnett, V. A. Bonham, Biological Reviews 79(2), 461–472 (2004), doi:10.1017/S1464793103006377 — 미세섬유각. ※ 옹이 없는 작은 큐브에서 뿌리–꼭대기 방향을 가려내는 학교 수준 방법은 찾지 못했다 — 이 원고의 개방 지점이다.