2026년 9월 30일 · 용티IYPT 1991 · 문제 11 · 열·상전이

한 면만 해를 보는 금덩이 — 금 정육면체

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 1991 문제 11 ‘Gold cube’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1991 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「열」(전도·복사와 열평형)·「태양계」 / 고등학교 통합과학2 「환경과 에너지」 / 과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」(어림) / 진로선택 「역학과 에너지」(열과 에너지 — 열전도·복사 평형) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

복사 평형, 슈테판–볼츠만 법칙, 태양 상수, 태양 흡수율, 방사율, 선택적 표면, 열전도도, 열확산율, 정상 상태, 전도–복사 매개변수, 하겐–루벤스 관계, 조석 고정

원리 살펴보기

한 면만 해를 보는 금덩이 — 그 면과 뒤통수의 온도 차를 묻는다. 먼저 떠오르는 계산은 흑체다. 태양 상수 1,361 W/m²를 삼키고 같은 면으로 되쏜다고 놓으면 σT⁴ = 1,361에서 394 K가 나온다. 그런데 금에서는 이 답이 크게 틀린다. 금은 햇빛의 약 20 %를 삼키면서도 자기 적외선은 2~3 %밖에 내놓지 못하는 ‘선택적 표면’이기 때문이다. 노랗게 보이는 것이 그 증거다 — 광학 상수표로 반사율을 구하면 520 nm(2.4 eV) 부근에서 0.45가 0.93으로 꺾이고, 적외선에서는 0.98을 넘는 거울이 된다. α와 ε의 비가 5~10이니 평형은 εσT⁴ = αS에서 잡히고, 햇빛 쪽 면은 흑체 답보다 약 200 K 뜨거운 590~700 K가 된다.

그렇다면 그늘 면은? 여기서 답이 하나로 정해지지 않는다는 사실이 드러난다. 그늘 면을 데우는 통로는 전도뿐인데, 전도가 나르는 열은 한 변 a에 비례하고(k·a·ΔT) 면이 버리는 복사는 넓이 a²에 비례한다. 두 몫의 비 N = k/(εσT³·a)가 크면(작은 정육면체) 여섯 면이 한 몸이 되고, 작으면(큰 정육면체) 앞뒤가 서로를 잊는다 — 열전달에서 전도–복사 매개변수라 부르는 저울이다. 금은 열전도도가 310 W/(m·K)로 좋아 경계가 a* ≈ 0.6~3 km다. 1차원 막대 모형을 풀면 한 변 1 m에서 여섯 면이 모두 404 K로 차이가 0.4 K, 100 m면 39 K, 1 km면 202 K, 20 km면 456 K로 벌어진다. 답은 하나의 숫자가 아니라 한 변 길이가 정하는 범위다.

아무 크기나 되지도 않는다. 정육면체는 여덟 꼭짓점이 곧 산이어서, 자체 중력의 차등 응력이 강도를 넘으면 구로 무너진다 — 1990년 문제 5가 그 한계를 묻는다. 그 식에 금의 밀도 19.3 g/cm³를 넣으면 정육면체로 남을 수 있는 한계가 한 변 20~70 km이니, 현실적인 답은 온도 차 대략 430~570 K(앞면 550~680 K, 그늘 면 90~160 K)다. 다만 한 변 20 km가 정상 상태에 이르는 데 a²/κ ≈ 10만 년이 걸리고, 궤도가 0.2~0.3 au 안쪽이면 앞면이 금의 녹는점 1,337 K에 닿아 문제 자체가 무너진다. 같은 α/ε 저울은 인공위성 열제어(금박 단열재로 궤도 온도를 맞춘다), 태양열 선택 흡수막(햇빛은 삼키고 적외선은 안 낸다), 복사 냉각 소재(거꾸로 햇빛을 되쏘아 전기 없이 식힌다), 적외선 온도계(방사율을 틀리면 광택 금속을 수십 K 낮게 읽는다)에서 매일 돌아간다.

실험 설계

준비물

한 변 40 mm 정육면체 3개(알루미늄·스테인리스강·아크릴), 무광 검정 스프레이, 금색 포일, K형 열전대 2개와 온도 기록계(두 개를 역직렬로 이으면 온도 차를 바로 읽는다), 뜨거운 물을 담을 금속 통, 적외선 온도계, 150 W 이하 유리 커버형 반사갓 스탠드, 코르크 받침, 집게, 내열 장갑.

변인

독립변인은 정육면체 재료의 열전도도(알루미늄 약 200, 스테인리스강 약 15, 아크릴 약 0.2 W/(m·K))와 표면 마감이고, 종속변인은 정상 상태에서 앞면과 뒷면의 온도 차이다. 통제변인은 한 변 길이, 램프의 전력·거리, 도장 상태, 실내 온도와 공기 흐름, 열전대 부착 방법, 가열 경과 시간이다.

실험 순서

  1. 세 정육면체를 모두 무광 검정으로 칠하고 앞면과 뒷면 한가운데에 열전대를 붙인다. 코르크 받침에 올리고 램프를 정면 15 cm 이상 거리에 고정한다.

  2. 램프를 켜고 두 온도를 1분 간격으로 20~30분 기록해 곡선이 평평해지는 정상 상태를 확인한 뒤 온도 차를 읽는다. 앞면이 60 °C에 가까워지면 램프를 더 멀리 옮긴다. 세 재료를 같은 조건에서 3회씩 반복한다.

  3. 알루미늄 정육면체의 마주 보는 두 면을 무광 검정과 금색 포일로 바꾸고, 어느 쪽을 램프로 향하게 하느냐에 따라 평형 온도가 갈리는지 비교한다.

  4. 방사율 비교는 램프 대신 뜨거운 물(약 80 °C)을 채운 금속 통에서 한다 — 램프로 데운 블록은 실온보다 겨우 5~20 K 높아 겉보기 온도 차가 묻힌다. 접촉 온도와 방사율 0.95로 맞춘 적외선 온도계의 겉보기 온도를 검은 면과 금색 면에서 읽어 방사율 차이를 확인하고, 그 값과 금의 열전도도를 넣어 1차원 막대 모형을 표계산으로 풀어 온도 차–한 변 길이 곡선을 그린다.

안전 안내

⚠ 안전

무광 검정 스프레이 도색은 환기되는 곳에서 미리 해 말려 둔다. 램프와 시료는 뜨겁다. 램프는 150 W 이하, 석영관이 드러나지 않은 유리 커버형만 쓰고 시료와의 거리를 15 cm 아래로 줄이지 않는다. 앞면 온도가 60 °C를 넘으면 즉시 램프를 멀리 옮기거나 전원을 끈다 — 아크릴은 그보다 높은 온도에서 변형되므로 이 상한이 안전과 시료 보호를 함께 맡는다. 가열 중과 끈 직후에는 맨손으로 만지지 말고 집게나 내열 장갑을 쓰며, 전원을 끄고 10분 이상 식힌 뒤 정리한다. 램프 30 cm 안에 종이·천을 두지 않고, 켜진 램프를 오래 보지 않는다. 전 과정은 교사 감독 아래 진행한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

한 변 1 m와 20 km인 금 정육면체 중 앞뒷면 온도 차가 큰 쪽은 어디이며 몇 배나 벌어질까? 금을 흑체로 놓고 계산하면 햇빛 쪽 면의 온도는 실제보다 높게 나올까, 낮게 나올까?

자료 정리

세 재료의 앞면·뒷면 온도를 시간에 대해 겹쳐 그려 곡선이 평평해지는 정상 상태부터 확인하고, 그 뒤의 온도 차를 열전도도에 대해(가로축 로그) 찍는다(축과 개형만). 실험의 무차원 수 N = k/(h·a)와 우주의 N = k/(εσT³·a)를 조건마다 계산해 나란히 적으면 세 블록이 어느 크기의 금 정육면체에 해당하는지 드러난다. 모형 곡선은 양쪽 축을 로그로 잡고, 방사율 0.02와 0.05의 두 곡선을 겹쳐 답의 폭을 보자.

결과의 의미

알루미늄은 온도 차가 0.1 K 아래로 사실상 0이고(대조군), 스테인리스강은 0.5 K 안팎, 아크릴은 20 K 가까이 벌어질 것으로 예상된다 — 크기도 표면도 같은데 열전도도 하나로 수백 배가 갈린다. 무차원 수로 환산하면 — 손실을 선형으로 눌러 잡은 차수 어림이지만 — 알루미늄은 한 변 약 7 m, 스테인리스강은 약 90 m, 아크릴은 약 7 km인 금 정육면체와 같은 처지다. 적외선 온도계는 같은 온도의 금색 면을 20 K 넘게 낮게 읽을 텐데, 그 ‘오차’가 곧 방사율이고, 바로 그 값이 금 행성의 앞면을 흑체 394 K에서 600 K대로 밀어 올린다. 크기를 주지 않은 문제에 단일 숫자로 답할 수 없는 이유가 손바닥만 한 실험에서 드러난다.

더 탐구하기

  1. 램프 거리를 15 cm 아래로는 내리지 말고 20 cm·25 cm로 늘려 조사 세기를 바꿔 보자 — 온도 차는 세기에 거의 비례할 것이다. 우주와 달리 이 좁은 온도 범위에서는 손실이 사실상 선형이라는 점이 축소 모형의 한계다.

  2. 같은 재료로 한 변 20 mm·40 mm·60 mm 블록을 구해 크기만 바꿔 보자 — 무차원 수가 크기에 반비례한다는 예측을 직접 시험한다.

  3. 수치 모형에서 방사율만 0.02에서 0.3까지 바꿔 보자(풍화로 거칠어지거나 먼지를 덮어쓰면 이만큼 커진다) — 어림 문제에서 어떤 입력값이 답을 좌우하는지가 드러난다.

  4. 태양 상수를 1/d²로 바꿔 궤도 반지름을 훑으며 앞면이 금의 녹는점 1,337 K에 닿는 거리를 찾아보자.

연결 주제

IYPT 1990년 문제 5 ‘행성’은 이 정육면체 행성이 얼마나 커질 수 있는지 묻는다 — 꼭짓점의 차등 응력이 강도를 넘으면 구로 무너진다는 식(한 변 ≈ 1.6√(σ_y/2Gρ²))에 금의 밀도를 넣으면 한 변 20~70 km가 나와, 이 원고의 온도 계산을 어디서 멈춰야 하는지 정해 준다. 1997년 문제 10 ‘식어 가는 지구’는 반대쪽 끝이다 — 그쪽에서 지열 0.09 W/m²가 지표 온도의 바닥을 약 35 K로 떠받치듯, 여기서는 전도로 새어 온 열류가 그늘 면의 바닥 온도를 정한다.

참고문헌

[학생] 검색어 “Leslie cube emissivity”, “selective surface” / D. M. Pickup, G. E. Roch, Physics Education 60(3), 035010 (2025), doi:10.1088/1361-6552/adba32 — 레슬리 정육면체를 아두이노 적외선 계측기로 재어 81 °C에서 무광 검정 면 497 W/m², 광택 금속 면 57 W/m²를 얻는다(③④의 근거). [심화] J. H. Henninger, NASA Reference Publication 1121 (1984), 우주선 열제어 코팅의 태양 흡수율·방사율 표 — 증착 금 α_s = 0.19·ε = 0.02, 전기도금 금 0.23·0.03 / P. B. Johnson, R. W. Christy, Phys. Rev. B 6(12), 4370–4379 (1972), doi:10.1103/PhysRevB.6.4370 — 금의 광학 상수표(반사율을 5,772 K 플랑크 스펙트럼으로 가중하면 α_s = 0.20·본 원고 계산) / E. Hagen, H. Rubens, Ann. Phys. 316, 873–901 (1903), doi:10.1002/andp.19033160811 — 금속의 적외선 방출률 ∝ √(비저항/파장)(금은 300 K에서 0.017, 650 K에서 0.04) / R. W. Powell, C. Y. Ho, P. E. Liley, NSRDS-NBS 8 (1966) — 금의 비저항 2.2 μΩ·cm(293 K)와 로렌츠 수 2.37 × 10⁻⁸ V²/K²에서 열전도도 약 310 W/(m·K) / G. Kopp, J. L. Lean, Geophys. Res. Lett. 38(1), L01706 (2011), doi:10.1029/2010GL045777 — 태양 상수 1,360.8 W/m². ※ 전도–복사 매개변수를 다룬 열전달 문헌은 많으나, 학교 축소 모형의 대류 손실이 우주의 복사 손실을 얼마나 정량적으로 대신하는지 재현한 기록은 찾지 못했다 — 그 대응의 검증이 이 탐구의 개방 지점이다.

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