엔진 없이 도는 프로펠러 — 수동 모터

탐구 주제

IYPT 1991 문제 9 ‘Passive motor’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1991 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(중력·힘의 평형)·「운동과 에너지」(자유 낙하) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」·과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」 / 물리학 「힘과 에너지」·진로선택 「역학과 에너지」 중 「시공간과 운동」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

자동회전(autorotation), 회전 날개, 상대풍, 피치각, 구동 돌림힘, 양력, 항력, 유효 항력 면적, 쓸고 지나가는 원반 넓이, 날개하중, 종단 속도, 힘의 평형, 앞전 소용돌이(LEV)

원리 살펴보기

사과에 종이 프로펠러를 붙였을 뿐인데 무엇이 그것을 돌릴까? 답은 낙하 그 자체다. 아래에서 올라오는 상대풍이 비스듬히 접힌 날개에 부딪히면, 회전축에 가까운 안쪽에서는 양력의 앞 방향 성분이 항력의 뒤 방향 성분을 이겨 날개를 밀어 돌린다. 반대로 날개 끝 쪽은 접선 속도가 커서 항력이 우세해 회전을 붙잡는다. 두 돌림힘이 맞먹으면 회전수는 일정해진다. 엔진이 멎은 헬리콥터도 마찬가지다 — 미국 연방항공청 교범은 자동회전에서 로터가 위로 흐르는 공기만으로 돈다고 적는다. 연료도 전지도 없이 낙하만 먹고 도는 발동기, 원제의 ‘수동 모터’다.

그렇다면 회전은 어떻게 낙하를 늦출까? 회전은 항력 계수만 키우는 것이 아니라 그보다 크게, 공기를 미는 기준 넓이를 ‘날개 종이’에서 ‘날개가 쓸고 지나가는 원반’ 쪽으로 옮겨 놓는다. 멈춘 날개는 제 종이에 닿는 공기만 밀지만, 도는 날개는 반지름 L인 원 전체를 훑으며 그 원을 지나는 공기 기둥을 통째로 밀어낸다. 유효 넓이는 그 둘 사이 어딘가다(Annis). 외날개 시과 모형(원래 크기)의 수치 모의에서는 무게의 4할에 못 미치는 몫만 날개 넓이의 단순 항력이 받치고 나머지는 회전 추력이 받쳤다(Lolli 외). 사과(약 150 g)를 5 m/s로 내려오게 하려면 유효 넓이가 0.1 m²는 되어야 하니, 그 몫이 원반의 절반이라면 지름 50 cm 가까운 프로펠러가 든다.

이 원리는 여러 곳에서 일한다. 헬리콥터의 자동회전 비상 착륙(로터가 공기 흐름으로 돌며 강하를 늦춘다), 회전익 감속체(시과를 본뜬 회전 날개로 탑재물을 내려보낸다), 씨앗과 열매의 바람 산포 예측(천천히 내려올수록 멀리 실려 간다), 실험 설계 교육의 종이 헬리콥터(요인 실험을 가르치는 품질공학의 표준 과제다).

실험 설계

준비물

조밀한 종이(도화지 등 180~220 g/m²), 가위, 자, 각도기, 종이 클립, 0.01 g 단위 전자저울, 줄자·마스킹 테이프, 2.5 m 지점에 장치를 얹을 가벼운 막대, 스마트폰과 삼각대(120~240 fps), 밝은 표시 테이프, 온습도계, 실오라기.

변인

독립변인은 클립으로 조절하는 총질량과 날개 길이 L(회전 반지름)이며 한 번에 하나만 바꾼다. 종속변인은 종단 하강 속도 U와 회전 진동수 f, 그리고 거기서 얻는 항력(등속에서는 무게 mg)과 유효 항력 면적이다. 통제변인은 종이의 평량, 날개 폭, 피치각, 놓는 높이·자세, 실내 기류, 실온·습도, 촬영 프레임률이다. 날개 길이를 바꾸면 종이 질량도 변하므로 클립으로 총질량을 맞춘다.

실험 순서

1. 조밀한 종이를 폭 2.5 cm 띠로 잘라 가운데는 몸통으로 두고 양 날개를 서로 반대로 접어 피치각을 준다(각도기로 재어 적는다). 몸통 끝에 클립을 끼우고, 날개 길이 5·7·9·11 cm짜리를 클립 수로 총질량 3.0 g에 맞춘다. 두 날개를 평평하게 펴 돌림힘이 없는 같은 질량의 대조군도 만든다.

2. 바닥에서 1.5 m와 0.5 m 되는 두 지점을 벽에 표시해 그 1.0 m를 측정 구간으로 삼는다(놓는 높이는 2.5 m — 무겁거나 날개가 짧은 조건은 이 안에 등속에 못 들 수 있으니 판정은 ③의 등속 구간 기준을 따른다). 냉난방기·환풍기를 끄고 실오라기로 기류를 확인한 뒤, 바닥에 선 채 막대 끝에 얹어 정지 상태로 놓는다(의자·책상·사다리에 올라서지 않는다).

3. 옆에서 120~240 fps로 찍어 프레임별 높이로 시간–속도 그래프를 그린다. 속도가 더 커지지 않는 등속 구간에서만 U를 구하고, 없으면 이 높이에서 잴 수 없는 조건으로 적어 둔다. 표시 테이프의 한 바퀴 프레임 수로 f를 읽는다(240 fps 권장). 조건마다 5회 이상.

4. 날개 길이를 9 cm로 두고 총질량을 2·4·6·8 g으로 바꾸며 ③을 되풀이한 뒤, 총질량을 3.0 g으로 두고 날개 길이만 바꾸며 되풀이한다. 대조군도 같이 잰다.

안전 안내

원문의 상황(건물 발코니에서 사과를 떨어뜨려 친구가 손으로 받기)은 어떤 경우에도 재현하지 않는다. 발코니·창문·계단실 난간 너머로, 또 건물 밖이나 사람이 지나는 공용 공간 위로 무엇도 떨어뜨리지 않는다. 떨어지는 장치를 사람이 손으로 받지 않으며, 낙하 지점과 둘레 1 m 안에는 아무도 들어가지 않고 아래에서 올려다보지도 않는다 — 빠르게 도는 종이 날개 끝은 눈에 닿으면 위험하다. 높이는 바닥에 선 채로 막대를 써서 2.5 m로 한정하고 의자·책상·사다리에 올라서지 않는다. 추는 종이 클립처럼 가볍고 무딘 것만 쓰고 총질량은 10 g을 넘기지 않으며, 나사·쇠구슬처럼 단단한 것과 실제 과일은 쓰지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

날개 길이를 두 배로 늘리면 하강 속도는 절반이 될까, √2분의 1쯤에서 그칠까? 추를 무겁게 해 더 빨리 떨어뜨리면 회전도 함께 빨라질까, 회전수는 그대로일까?

자료 정리

측정마다 (날개 길이, 폭, 피치각, 총질량, U, f, 실온·습도)를 한 줄로 적는다. 질량 계열은 항력(= mg)과 U를 양쪽 로그 눈금에 찍어 기울기가 2인지 보고, 날개 길이 계열은 U와 L을 같은 눈금에 그려 기울기가 −1(원반 극한)과 −0.5(종이 넓이 극한) 사이 어디에 놓이는지 읽는다. 이어 유효 항력 면적 2mg/(ρU²)가 날개 종이 넓이와 원반 넓이 π(L²+W²) 사이 어디에 놓이는지, f·L/U가 일정한지 본다. (축과 개형만.)

결과의 의미

질량 계열의 항력–속도 로그 그래프는 기울기 2에 가깝고, 하강 속도는 날개 길이가 길수록 느려지되 그 기울기는 −1과 −0.5 사이의 어떤 값 — 그 값이 유효 넓이가 원반과 종이 중 어디에 가까운지 알려 준다 — 이며, f·L/U는 대체로 일정할 것으로 예상된다. 셋은 모두 한 식 — 무게 = ½ × 공기 밀도 × 유효 항력 면적 × 속도² — 의 다른 얼굴이고, 회전이 하는 일은 그 넓이를 종이 너머로 키우는 것이다. 다만 방향을 뒤집기 쉬운 함정이 있다. 날개를 키우면 느려진다는 결론은 탑재물 질량을 고정했을 때만 옳다 — 장치 전체를 닮은꼴로 키우면 무게는 세제곱, 원반은 제곱으로 늘어 오히려 빨라지고, 0.5·1·2배 시과 모형의 하강 속도도 수치 모의에서 크기와 함께 커졌다(Lolli 외). 등속 구간이 안 보이는 조건이 나오는 것도 실패가 아니다 — 같은 연구에서 자동회전이 자리 잡는 데 드는 최소 낙하 높이는 0.95 m에서 3.2 m까지 벌어졌다. 어디까지가 믿을 만한 측정인지 선을 긋는 일이 이 탐구다.

더 탐구하기

1. 피치각만 바꿔 가며 U와 f를 재 보자 — 너무 얕으면 회전이 시작되지 않고 너무 깊으면 항력이 회전을 눌러 다시 빨라지는, 최적의 각이 있는지 본다.

2. 날개 넓이는 같게 두고 폭과 길이를 반대로 바꿔 보자(폭 2.5 cm·길이 9 cm 대 폭 1.5 cm·길이 15 cm) — 유효 넓이를 정하는 것이 종이 넓이인지 회전 반지름인지 갈린다. 좁고 긴 날개가 처지는지, 여러 번 떨어뜨린 뒤 접힌 자리가 눌리거나 눅눅해져 값이 슬며시 움직이는지도 본다.

3. 대조군이 회전 대신 무엇을 하는지 영상으로 뜯어보자 — 팔랑이는지, 옆으로 미끄러지는지, 매번 다른지. 회전은 낙하를 늦출 뿐 아니라 재현 가능하게 만든다.

연결 주제

IYPT 2008 문제 2 「날개 달린 씨앗」 — 같은 자동회전이지만 외날개 시과라 탑재물이 없고, 이 편은 프로펠러에 추를 매달아 날개하중을 바꾼다. IYPT 2011 문제 15 「느린 낙하」 — 같은 유효 항력 면적 잣대를 쓰되 A4 한 장으로 질량이 못 박혀 있어 회전날개가 평판보다 빠를 수도 있다고 본다. IYPT 2021 문제 17 「손 헬리콥터」 — 저장한 회전 에너지로 올라가고 이 편은 낙하가 회전을 먹인다.

참고문헌

[학생] NASA 교육자 가이드 「Rotor Motor」(EG-2002-06-105-HQ, pp. 69~75) — 종이 회전 날개로 낙하와 회전을 재는 활동 / 조지 박스의 종이 헬리콥터 도면(williamghunter.net). [심화] 미국 연방항공청 Helicopter Flying Handbook(FAA-H-8083-21) 11장 — 자동회전에서 로터는 위로 흐르는 공기만으로 돈다 · R. A. Fauli, J. Rabault, A. Carlson, Physical Review E 100(1), 013108 (2019), doi:10.1103/PhysRevE.100.013108 — 종단 속도가 √(mg/A)(A는 날개가 쓸고 지나가는 넓이)를 따르고, 기하가 같으면 f·L/U가 일정하며 레이놀즈 수는 10³~10⁴ 대 · D. Lentink 외, Science 324(5933), 1438–1440 (2009), doi:10.1126/science.1174196 — 앞전 소용돌이가 자동회전 날개의 양력을 높인다 · A. Lolli 외, Bioinspiration & Biomimetics 21(2), 026017 (2026), doi:10.1088/1748-3190/ae4f46 — 0.5·1·2배 시과 모형에서 하강 속도가 크기와 함께 커지고, 원래 크기에서 무게의 3분의 2를 회전 추력이 받치며, 최소 낙하 높이는 0.95~3.2 m · D. H. Annis, The American Statistician 59(4), 320–326 (2005), doi:10.1198/000313005X70777 — 종이 헬리콥터의 유효 로터 넓이는 정지 날개 넓이와 회전이 그리는 원반 사이 어딘가이고, 긴 날개는 처져 그 넓이를 줄인다. ※ 탑재물 질량을 고정한 채 날개 길이만 키웠을 때 원반 기준 유효 넓이와 f·L/U가 유지되는지는 위 문헌이 재지 않았다 — 이 탐구의 개방 지점이다.