9.79초를 1991년에 맞힐 수 있었을까 — 달리는 사람

탐구 주제

IYPT 1991 문제 7 ‘Runner’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1991 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「운동과 에너지」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」 · 과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」 / 물리학 「힘과 에너지」(뉴턴 운동 법칙, 운동량과 충격량) · 진로선택 「역학과 에너지」(시공간과 운동) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

구간 속도 곡선, 보폭(스텝 길이), 보빈도(스텝 빈도), 접지 시간, 체공 시간, 지면 반력, 충격량–운동량 정리, 프레임률, 시차, 외삽, 점근 모형

원리 살펴보기

달리기의 속력은 두 조각으로 쪼개진다 — 속력 = 보폭 × 보빈도다. 2009년 베를린 세계선수권에서 우사인 볼트가 9.58 s를 낼 때 독일육상연맹이 잰 60~80 m 구간 값은 보폭 2.77 m·보빈도 4.49 Hz, 곱하면 12.4 m/s, 시속 45 km다. 2위 타이슨 게이는 2.48 m·4.94 Hz로 12.2 m/s — 정반대 조합으로 거의 같은 속력에 닿았다. 그런데 이 곱셈은 속력의 정의를 고쳐 쓴 것일 뿐, 왜 하필 그 값에서 멈추는지는 말해 주지 않는다.

상한이 어디서 오는지는 문헌마다 답이 달랐다. “다리를 공중에서 되돌리는 속도”라는 답은 Weyand 팀이 먼저 지웠다 — 최고 속력이 6.2~11.1 m/s로 벌어진 33명에게서 다리를 되돌리는 시간은 차이가 없었고, 지면에 싣는 평균 힘만 1.26배 컸다. 그러면 최대 힘이 병목일까? 같은 팀이 10년 뒤 그 답도 지웠다 — 한 다리 홉핑에서는 몸무게의 2.71배(달리기는 2.08배)를 실었지만 접지 시간이 0.160 s로 길었고, 뒤로 달릴 때 접지 시간(0.116 s)도 앞으로(0.110 s)와 거의 같았다. 남는 답은 하나다 — 큰 힘을 실을 시간이 너무 짧다.

이 관점이면 최고 속력은 v ≈ (접지 동안 몸이 나아간 거리) ÷ (접지 시간)으로 어림된다. 1 m 남짓한 다리가 몸 앞뒤로 훑는 각도만큼 쓰면 접지 거리는 1.1~1.3 m, 접지 시간은 0.09~0.11 s이니 v는 10~14 m/s — 볼트의 12.4 m/s가 그 한가운데다. 이 셈법은 경기장 밖에서도 일한다. 스포츠 과학(훈련이 보폭과 보빈도 중 무엇을 건드리는지 가른다), 재활·부상 예방(접지 시간과 지면 힘이 곧 조직이 받는 부하다), 보행 로봇·의족 설계(짧은 접지에 큰 힘을 싣는 다리가 빠른 다리다), 스포츠 통계(같은 기록에 어떤 곡선을 맞추느냐가 미래를 갈라놓는다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

스마트폰(120 fps 이상 슬로모, 가능하면 240 fps), 삼각대, 40 m 줄자, 라인테이프나 분필, 영상 분석 프로그램(Tracker 등), 기온·바람 기록지, 평탄하고 마른 직선 주로.

변인

독립변인은 출발점부터의 거리 구간(0–10, 10–20, 20–30, 30–40 m)이다. 종속변인은 구간 평균 속력과 그 구간의 보폭·보빈도이고, 240 fps로 찍었다면 접지 시간을 더한다. 통제변인은 같은 주자·신발·노면, 프레임률과 카메라 위치·높이, 출발 방식, 준비운동, 기온과 바람이다.

실험 순서

1. 직선 주로에 40 m를 재어 0·10·20·30·40 m에 레인을 가로지르는 납작한 테이프 선을 붙이고, 결승선 뒤 20 m 이상을 감속 구간으로 비운다.

2. 카메라를 20 m 표시 맞은편·주로에서 25 m 떨어진 곳에 삼각대로 세우고 120 fps 이상(접지 시간까지 재려면 240 fps)으로 맞춘다. 40 m가 한 화면에 안 들어오면 삼각대를 돌려 따라가도 된다(통과 판정은 렌즈 위치로 정해져 회전과 무관하다).

3. 준비운동을 마친 뒤 선 자세로 40 m를 달린다(한 사람당 3회, 회차 사이 3분 이상 휴식). 영상에서 엉덩이가 각 선을 지나는 프레임을 읽되 “선을 넘은 첫 프레임”처럼 규칙을 하나로 정해 모든 구간에 똑같이 쓴다.

4. 구간 시간에서 평균 속력을 구하고, 스텝은 구간 둘을 합친 20 m에서 세어 보폭(20 m ÷ 스텝 수)과 보빈도(스텝 수 ÷ 시간)를 얻는다. 240 fps 영상은 발이 닿은 프레임부터 떨어진 프레임까지로 접지 시간을 재고, 볼트의 값(12.4 m/s·2.77 m·4.49 Hz)과 견준다.

안전 안내

전력 질주는 부상 위험이 높은 활동이다. 조깅과 관절 가동 운동으로 10분 이상 준비운동을 하고, 60~70 % 강도로 두세 번 달린 뒤 전력 질주로 넘어간다. 노면은 마르고 평탄한 트랙·우레탄으로 하고 젖은 바닥과 파인 잔디는 피하며 운동화를 신는다(스파이크 금지). 결승선 뒤 20 m 이상을 감속 구간으로 두고 그 끝 5 m 안에 벽·펜스·기구가 없게 한다. 주로 위에는 납작한 테이프·분필만 두고 삼각대는 주로 밖에 세운다. 최근 다리 부상이나 심장·호흡기 질환이 있거나 컨디션이 나쁜 학생은 달리지 않고 촬영·분석을 맡는다. 한 사람당 3회를 넘기지 않고 회차 사이 3분 이상 쉬며 통증이 있으면 즉시 멈춘다. 기록은 익명 부호로 다루고 순위표로 게시하지 않는다 — 빠르기를 겨루는 것이 목적이 아니다. 전 과정은 교사 감독 아래 진행한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

최고 속력은 몇 m 지점에서 나올까 — 20 m쯤일까, 40 m 가까이일까? 속력이 커질 때 보폭과 보빈도 중 무엇이 먼저 멈출까? 1991년까지의 기록만으로 2000년의 세계기록을 적어 두었다가 실제 값과 맞춰 보자.

자료 정리

구간별 시간·평균 속력·보폭·보빈도를 한 표에 모으고, 가로축을 거리로 한 속도 곡선을 그린다(축과 개형만). 보폭과 보빈도를 오른쪽 축으로 겹쳐 무엇이 먼저 포화하는지 본다. 기록 예측은 따로 그린다 — 1991년 이전 값만 골라 연도–기록 그래프에 올리고, 직선과 아래로 휘어 평평해지는 곡선을 각각 2000년까지 늘여 실제 값과 나란히 적는다. 양 끝 두 점만 이은 직선과 모든 점을 맞춘 직선이 서로 다른 답을 내놓는지도 함께 본다 — 그 차이가 곧 외삽의 위험이다.

결과의 의미

최고 속력은 대체로 20~40 m 구간에서 나타날 것이다(볼트는 60~80 m였다). 곡선이 끝까지 오르막이면 최고 속력은 그 너머 — 이 값은 하한이다. 빨라지는 것은 다리를 더 빨리 휘젓기 때문이 아니라 짧은 접지 시간 안에 더 큰 힘을 싣기 때문이다 — 그렇다면 접지 시간과 보빈도는 묶여 있어야 한다. 몸무게를 계속 떠받쳐야 하므로 (평균 지면 힘 ÷ 몸무게) = (스텝 시간 ÷ 접지 시간)이고, Weyand 팀의 2.08배와 0.108 s를 넣으면 4.45 Hz — 볼트의 4.49 Hz와 거의 같다. 이 관계는 속력이 거의 일정한 구간에서만 성립한다. 예측 쪽은 더 얄궂다. 1968년 9.95 s와 1991년 9.86 s를 잇는 직선은 2000년을 9.82 s로 짚어 실제 9.79 s에 가까웠지만, 2009년까지 늘이면 9.79 s가 나오고 실제는 9.58 s였다. 게다가 9.86은 이 문제가 나온 대회(1991년 7월) 두 달 뒤의 기록이다 — 대회 시점 기록 9.90으로 그으면 2000년은 9.88 s가 되고, 여러 점을 함께 맞추면 또 다른 값이 나온다. 가까운 미래에 맞는 모형이 먼 미래에도 맞는다는 보장은 없다.

더 탐구하기

1. 같은 영상을 30 fps로 솎아 다시 분석해 보자 — 시간 눈금이 0.033 s로 거칠어지면 이웃 구간의 속력 차이가 오차에 묻힌다.

2. 2004년 Nature의 직선 외삽은 2008년 올림픽 남자 우승 기록을 9.73 ± 0.144 s로 맞혔지만(실제 9.69 s), 2156년에 여자가 남자를 앞지른다는 결론도 낳았다 — 어디부터가 과장인지 토의해 보자.

3. 접지 시간을 사람마다 재어 (지면 힘 ÷ 몸무게) = (스텝 시간 ÷ 접지 시간)으로 지면 힘을 되짚고, 그 값이 Weyand 팀의 2.08배와 같은 자리인지 견주어 보자(기록은 익명 부호로 다룬다).

연결 주제

IYPT 1992 문제 5 ‘높이뛰기 선수’도 “2000년”의 기록을 묻지만, 그 원고는 ½mv² = mgh라는 에너지 장부로 상한(높이뛰기 약 2.5 m·장대높이뛰기 약 6 m)을 뽑는다 — 그쪽 병목은 에너지를 높이로 바꾸는 효율, 이쪽은 힘을 실을 시간이다. IYPT 1993 문제 6 ‘가가린의 기록’은 로그 그래프 외삽으로 지구 일주 비행의 하한(약 84분)을 구하고 기록 공인 규정까지 다룬다 — 외삽으로 한계를 재는 같은 연장통이다.

참고문헌

[학생] World Athletics 기록 페이지 — 100 m 세계기록 9.58 s(볼트, 2009 베를린), 전자 계시 첫 공인 9.95 s(하인스, 1968), 1991년 9.86 s(루이스, 도쿄), 2000년 시점 9.79 s(그린, 1999) / 독일육상연맹 「Biomechanics Report WC Berlin 2009 · Sprint Men」(R. Graubner 분석, worldathletics.org 공개 PDF) — 볼트 결승의 구간 시간·보폭·보빈도 원표. [심화] P. G. Weyand 외, J. Appl. Physiol. 89(5), 1991–1999 (2000), doi:10.1152/jappl.2000.89.5.1991 — 스윙 시간이 아니라 지면 힘이 달라진다 · 같은 팀, J. Appl. Physiol. 108(4), 950–961 (2010), doi:10.1152/japplphysiol.00947.2009 — 한계는 최대 힘이 아니라 힘을 실을 최소 시간 · A. J. Tatem 외, Nature 431(7008), 525 (2004), doi:10.1038/431525a와 반박 K. Rice, Nature 432(7014), 147 (2004), doi:10.1038/432147b · M. W. Denny, J. Exp. Biol. 211(24), 3836–3849 (2008), doi:10.1242/jeb.024968 — 점근 모형으로 남자 100 m 한계 9.48 s · A. Heck, T. Ellermeijer, Am. J. Phys. 77(11), 1028–1038 (2009), doi:10.1119/1.3187150 · B. Johansen, R. van den Tillaar, Sensors 22(7), 2774 (2022), doi:10.3390/s22072774 — 240 fps 스마트폰 계시는 공인 자동 계시와 편차 없음(±0.001 s), 출발 판정 규칙을 바꾸면 240 fps에서 +0.004 s, 120 fps에서 +0.008 s의 계통 편차(각각 한 프레임 주기). · C. Balsalobre-Fernández, S. Agopyan, J.-B. Morin, J. Appl. Biomech. 33(3), 222–226 (2017), doi:10.1123/jab.2016-0104 — 아이폰 앱이 접지·체공 시간에서 최대 상대 힘까지 산출(광전 대조 r = .94~.99). ※ 성인·정예 주자 대상 스마트폰 검증은 이미 있으나, 청소년 주자를 학교 운동장에서 일반 스마트폰만으로 잰 공개 자료는 찾지 못했다 — 이 탐구의 개방 지점이다.