2026년 9월 30일 · 용티IYPT 1991 · 문제 5 · 역학·진동

세모난 길을 도는 행성 — 우주 기념비

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 1991 문제 5 ‘Cosmic monument’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1991 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「태양계」·「힘의 작용」(중력) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템) / 물리학 「힘과 에너지」(만유인력) · 진로선택 역학과 에너지 「시공간과 운동」(천체의 운동·케플러 법칙) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

만유인력, 케플러 제3법칙, 삼체 문제, 라그랑주 정삼각형 해, 행성–위성 위계 구조, 주전원(에피사이클), 에피트로코이드, 궤도 공명, 순행·역행 궤도, 힐 구(힐 반지름), 질량중심, 수치 적분(속도 베를레 방법)

원리 살펴보기

정삼각형 하면 먼저 떠오르는 것은 라그랑주의 고전 해다 — 세 천체를 정삼각형 꼭짓점에 놓고 알맞은 속도를 주면 배치를 유지한 채 함께 돈다. 그러나 그 해에서 세 행성이 각각 그리는 길은 삼각형이 아니라 원(타원)이다. 원문은 배치가 아니라 한 행성의 궤적이 삼각형에 가깝기를, 이어 거의 정사각형인 궤도까지 요구한다 — 삼각형 배치에는 사각형 대응물이 없다는 점도 이 독해를 민다. 그래서 이 원고는 한 행성이 그리는 길 자체를 다각형으로 조각하는 쪽으로 읽되, 라그랑주 배치 독해는 5절의 탐구로 열어 둔다.

설계의 핵심은 큰 원에 작은 원을 얹는 것이다. 무거운 행성 A 주위를 행성 B가 반지름 R로 돌고, 기념비 행성 C(질량은 무시할 만큼 작게)는 B 주위를 반지름 r로 돈다 — 단, 공전과 반대 방향(역행)으로. 관성계에서 C의 길은 두 원운동의 합성, 에피트로코이드다. B가 한 바퀴 도는 동안 C가 상대적으로 꼭 세 번 돌면(위성 공전주기 = 공전주기의 1/2, 역행) 길은 3중 대칭이 되고, 꼭짓점마다 두 속도가 반대로 겹쳐 행성이 잠시 느려지며 모서리를 꺾는다. 남은 자유는 반지름비 r/R뿐인데, 케플러 제3법칙이 질량비를 함께 못 박는다: m_B/(M_A+m_B) = 4(r/R)³. r/R = 1/4이면 질량비 1:15, 속도비는 위성 궤도 속도가 공전 속도의 절반인 1:2(역행)다. 사각형은 공명만 3:1 역행으로 바꾸면 된다 — r/R ≈ 1/6, 질량비 1:23, 속도비 역시 1:2. A를 목성 질량, R = 1 au로 환산하면 B는 지구 질량 21배(해왕성급)·주기 약 31년·속도 약 0.95 km/s, C는 0.25 au를 약 0.5 km/s로 거슬러 도는 위성이다.

진짜 시험대는 모양이 아니라 생존이다. B가 위성을 붙들 수 있는 힐 구(반지름 r_H) 안에서도, 작은 질량비(10⁻³급) 계의 수치 실험은 순행 위성은 0.49 r_H, 역행 위성은 0.93 r_H까지만 안정하다고 말한다. 공명이 질량비를 정하는 순간 r/r_H도 반지름비와 무관하게 고정된다 — 삼각형(2:1)은 0.91로 역행 한계의 코앞, 순행 한계는 훌쩍 넘는다. 삼각형 기념비는 역행이라야만 지을 수 있고, 목성·토성의 가장 바깥 위성들이 대부분 역행인 것도 같은 물리다. 두 원운동으로 모양을 조각하는 이 기하는 방켈 로터리 엔진(하우징 안벽이 2엽 에피트로코이드), 사이클로이드 감속기·스피로그래프(로봇 관절의 트로코이드 치형), 우주 임무 설계(라그랑주점 헤일로 궤도 — 우주망원경의 주차 궤도), 플라네타륨·천문 소프트웨어(행성의 겉보기 역행 고리가 같은 합성 곡선이다)로 이어진다.

실험 설계

준비물

파이썬을 돌릴 컴퓨터(구글 코랩이면 설치 불요), 스프레드시트, 모눈종이와 컴퍼스(두 원 합성을 손으로 그려 보기), (선택) PhET 「중력과 궤도」.

변인

독립변인은 위성 궤도의 반지름비 r/R와 공전 방향(순행·역행)이다. 종속변인은 궤적의 꼭짓점 반지름과 변 중점 반지름의 비, 그리고 계가 흐트러지지 않고 버티는 공전 수이다. 통제변인은 공명비(2:1 또는 3:1 — 질량비를 케플러 제3법칙으로 연동), 초기 이심률(0), 적분 시간 간격과 총 적분 시간이다.

실험 순서

  1. 속도 베를레(도약법) 적분기를 작성하고, 먼저 A·B 둘만으로 원 궤도를 재현해 총 에너지의 상대 변화가 10⁻⁶ 아래로 유지되는 시간 간격(공전주기의 1/10⁴ 정도)을 정한다 — 적분기 검증이 먼저다.

  2. 무차원 단위(G = 1, A 질량 = 1, R = 1)로 C를 넣는다: m_B = 1/15, m_C ≤ 10⁻⁶으로 두고 C를 B에서 r = R/4에 놓아 위성 원궤도 속도 √(Gm_B/r)를 공전 반대 방향으로 준 뒤, 질량중심 관성계에서 궤적을 10공전 이상 그린다.

  3. r/R를 0.15~0.35에서 바꾸며(질량비도 4(r/R)³로 연동) 꼭짓점과 변 중점 반지름의 비를 재어 목표값 2.0에 가장 가까운 설계를 찾고, 같은 기하의 순행 배치도 돌려 몇 공전 만에 이탈하는지 기록한다.

  4. 공명을 3:1 역행·r/R ≈ 1/6·질량비 1:23으로 바꿔 사각형 판(목표비 √2 ≈ 1.41)을 만들고, 두 설계를 100공전 이상 장기 적분해 유지 시간을 비교한다.

안전 안내

⚠ 안전

종이 위 계산과 컴퓨터 시뮬레이션만 쓰므로 물리적 위험 요소가 없다. 장시간 적분 시 노트북의 발열과 전원을 확인하고, 한 시간마다 눈과 몸을 쉬게 하자. 공용 클라우드에 개인정보 파일을 올리지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

같은 자리에서 방향만 순행으로 바꾸면 기념비는 살아남을까? r/R를 키우면 모서리가 또렷해지는 대신 무엇이 위태로워질까? 사각형은 삼각형보다 짓기 쉬울까?

자료 정리

설계별 궤적을 나란히 놓고, r/R마다 꼭짓점 반지름·변 중점 반지름·그 비·버틴 공전 수를 표로 모은다. 가로축 r/R, 세로축 반지름비 그래프에 목표선(삼각형 2.0·사각형 √2 ≈ 1.41)을 긋고 측정점이 이를 가로지르는 지점을 읽는다(축과 개형만 — 값은 시뮬레이션으로 채운다). 순행·역행의 버틴 공전 수는 막대로 비교한다.

결과의 의미

모양비 (1+r/R)/(1−r/R)는 r/R와 함께 커져, 삼각형은 r/R = 1/3에서 목표 2.0에 정확히 닿고(질량비 1:5.8·속도비 2:3), 속도비를 1:2로 묶는 r/R = 1/4에서는 1.67에 머문다 — 모양과 속도비 중 무엇을 우선할지가 설계자의 선택이다. 3:1 역행 사각형은 r/R ≈ 1/6에서 두 목표가 거의 함께 만족된다(모양비 1.40, 목표 1.41). 같은 기하를 순행으로 돌리면 한 바퀴도 못 돌고 위성이 뜯겨 나갈 것이다. 다각형의 모양은 공명이 정하고, 그 생사는 힐 구가 정한다 — 공명이 질량비를 못 박으면 r/r_H는 (3/(N−1)²)^⅓로 함께 못 박혀 삼각형 0.91, 사각형 0.69가 된다 — 삼각형이 이 계열에서 가장 아슬아슬한 기념비다. r/R를 키우면 r/r_H는 그대로인데 질량비가 커져 역행 안정 한계 쪽이 조금씩 내려오고, 속도비도 1:2에서 멀어진다. 다만 문헌 한계값을 1/15인 우리 설계에 그대로 옮길 수는 없다 — 실제 경계는 장기 적분이 답할 질문이다. 공명이 2:1에서 살짝 어긋나면 다각형 전체가 천천히 도는 세차가 나타난다 — 회전하는 기념비도 하나의 설계다.

더 탐구하기

  1. 오각형·육각형으로 일반화해 보자 — 공명 (N−1):1 역행에서 r/r_H = (3/(N−1)²)^⅓이 되는지, 변이 많을수록 기념비가 오히려 안전해지는지 확인해 보자.

  2. 다른 독해였던 라그랑주 정삼각형 배치도 놓아 보자 — 세 궤적이 원임을 확인하고, 한 질량이 전체의 약 96 %를 넘어야(Routh 조건) 오래 버티는지 시험해 보자.

  3. 문헌의 초기 조건으로 세 등질량이 8자를 그리는 코레오그래피를 재현해 보자 — 모양 있는 궤도의 전혀 다른 갈래다.

  4. 초기 속도를 1 %씩 흩뜨려 삼각형이 몇 공전 대칭을 유지하는지 재어 기념비의 수명 지도를 그려 보자.

연결 주제

1995년 문제 4(아령 우주선)는 궤도 위 두 끝이 받는 중력의 차이(조석력·중력 기울기)를 추진 손잡이로 쓴다 — 위성을 뜯어내는 힐 구의 물리와 뿌리가 같고, 그쪽은 그 힘으로 궤도를 올린다. 1993년 문제 3(중력과 지구)은 각운동량 보존과 케플러 제3법칙으로 G가 변한 지구의 궤도 응답을 계산한다 — 이 원고가 질량비를 못 박을 때 쓴 도구다.

참고문헌

[학생] PhET 「중력과 궤도(Gravity and Orbits)」(phet.colorado.edu, 콜로라도대·한국어 무료) — 코드를 짜기 전 궤도의 감을 잡는 출발점 / 영상 검색어 "three-body problem orbits", "figure-eight orbit" [심화] R. C. Domingos, O. C. Winter, T. Yokoyama, "Stable satellites around extrasolar giant planets," Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 373(3), 1227–1234 (2006), doi:10.1111/j.1365-2966.2006.11104.x — 원궤도 위성의 안정 한계 순행 0.4895 r_H·역행 0.9309 r_H(질량비 10⁻³·10⁴ 공전 수치 실험; 이 원고의 순행·역행 판정 근거) / Z. E. Musielak, B. Quarles, "The three-body problem," Reports on Progress in Physics 77(6), 065901 (2014), doi:10.1088/0034-4885/77/6/065901 — 삼체 종설: 라그랑주 해의 세 궤적이 타원임과 L4·L5의 Routh 안정 한계(질량비 ≈0.0385)를 정리 / C. Moore, "Braids in classical dynamics," Physical Review Letters 70(24), 3675–3679 (1993), doi:10.1103/PhysRevLett.70.3675 — 8자 궤도의 수치적 발견 / A. Chenciner, R. Montgomery, "A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses," Annals of Mathematics 152(3), 881 (2000), doi:10.2307/2661357 — 8자 해의 존재 증명. ※ 다각형 궤적의 행성계 설계를 다룬 심사 문헌은 찾지 못했다(주전원 합성은 고전 기하) — 큰 질량비에서 역행 위성의 안정대가 존속하는지는 열린 문제가 아니다 — D. Benest, Astron. Astrophys. 32, 39–46 (1974) 이하 3부작이 질량비 0에서 1까지 그 안정 영역을 조사했다. 남는 개방 지점은 이 위계 구조에서 속도비 1:2와 모양비 2.0을 동시에 만족시킬 수 없다는 것, 그리고 다른 배치로 둘을 함께 얻을 수 있는지다.

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