2026년 9월 30일 · 용티IYPT 1990 · 문제 13 · 역학·진동

주고받을수록 흩어진다 — 우주비행사 구름

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 1990 문제 13 ‘Cosmonauts cloud’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1990 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(힘의 평형과 알짜힘) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템 — 운동량 보존) · 과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」(측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」(운동량과 충격량) · 진로선택 역학과 에너지 「시공간과 운동」 — 마구잡이 걸음과 자체 중력 어림은 교육과정 밖이다 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

운동량 보존, 충격량, 반동, 완전 비탄성 충돌, 각운동량 보존, 질량 중심, 마구잡이 걸음, 제곱평균제곱근 속력, 기체 운동론, 자체 중력, 중력 결합 에너지, 탈출 속도, 교환 입자 유비, 페르미 추정

원리 살펴보기

공을 던지는 것은 운동량을 실어 보내는 일이다. 규격 축구공(m = 0.43 kg)을 v = 10 m/s로 던지면 4.3 kg·m/s가 손을 떠나고, 우주복까지 M = 200 kg인 사람은 그만큼 뒤로 밀린다 — Δv = (m/M)v = 2.15 cm/s. 던진 사람은 공이 날아간 반대쪽으로, 받은 사람은 공이 가던 쪽으로 밀리므로 두 사람 사이의 직접 교환은 예외 없이 서로를 밀어낸다. 소립자 물리에서 입자를 주고받아 힘이 생긴다는 그림도 ‘공 던지기’로는 척력까지만 그려진다 — 물리 교육 연구는 인력과 척력의 구분이 단순한 입자 모형으로 그려지지 않는다고 정리한다. 다만 셋 이상이면 다르다 — 바깥 사람을 밀어낸 대가로 안쪽 무리는 모을 수 있다.

구름을 붙잡을 것이 있는가. 1,000명이 반지름 70 m 안에 있다면(평균 간격 11 m — 조준 오차 3°로 팔이 닿는 0.8 m 안에 넣을 한계 거리 15 m보다 좁다) 구름 전체 질량은 2.0 × 10⁵ kg, 표면 탈출 속도는 0.62 mm/s뿐이다. 한 번의 반동 2.15 cm/s는 그 35배여서, 공을 주고받은 두 사람은 첫 던지기 하나로 이미 구름을 벗어난다 — 다만 에너지는 그 둘과 공에만 국소적으로 들어가므로, 그것이 곧 1,000명 전체가 풀린다는 뜻은 아니다(그 한 번이 넣는 21.5 J은 구름의 중력 결합 에너지 23 mJ의 940배다). 자체 중력 성단이라는 유비는 여기서 끊긴다. 그렇다고 던진 에너지가 그대로 구름을 부풀리지도 않는다 — 몸으로 받기는 완전 비탄성 충돌이라, 팔이 한 일 중 두 사람의 속도로 남는 몫은 μ = m/M에 대해 η = μ(2+μ)/(1+μ)²이고, μ = 0.00215인 우주에서는 η ≈ 2μ = 0.43 %뿐이다. 나머지는 우주복 안에서 열이 된다.

운동량을 주고받는 이 셈은 실제로 쓰인다. 우주 유영의 자세·위치 제어(붙잡을 벽이 없으면 무엇이든 뒤로 던지는 것이 추진이다), 기체 운동론과 압력(분자가 실어 나르는 운동량이 곧 압력이다), 인공위성의 반작용 휠, 우주 로봇 팔의 반동 보정(물체를 놓고 잡을 때 본체가 밀리는 만큼을 미리 셈한다)이다.

실험 설계

준비물

역학 수레 3대(길이 20 cm급)와 길이 2 m의 수평 트랙, 수레용 추(0.5·1.0 kg), 용수철 발사 장치, 찍찍이, 스펀지 완충재, 저울, 삼각대와 고속 촬영(240 fps)이 되는 스마트폰, 영상 분석 도구(Tracker), 스프레드시트.

변인

독립변인은 질량비 μ = m/M이다 — 공 수레를 0.25 kg으로 고정하고 던지는 수레와 받는 수레에 같은 추를 얹어 M을 0.5·1.0·1.5 kg으로 바꾼다(μ = 0.5·0.25·0.167). 종속변인은 교환 뒤 두 수레에 남은 운동 에너지의 비율 η와 던진 쪽의 후퇴 속도 Δv이다. 통제변인은 발사 장치의 단수(가장 약한 단), 트랙의 수평, 초기 배치, 촬영 설정이다.

실험 순서

  1. 수레와 추의 질량을 0.1 g까지 재고 트랙을 수평으로 맞춘다 — 가만히 놓은 수레가 5초 동안 5 mm 넘게 구르지 않으면 잔여 가속도가 0.4 mm/s² 아래라, 1초 구간 속도에 0.8 %만 실린다.

  2. 길이 2 m 트랙에 A(던지는 수레)를 0.60~0.80 m, B(공 수레)를 그 앞 0.80~1.00 m, C(받는 수레)를 1.40~1.60 m에 놓는다 — B–C 간격 0.40 m, A의 왼쪽 여유 0.60 m, C의 오른쪽 여유 0.40 m다.

  3. A의 용수철을 가장 약한 단으로 발사해 B가 C의 찍찍이에 붙게 하고 240 fps로 옆에서 찍는다. μ = 0.5면 B가 0.30 m/s, A가 0.15 m/s로 물러나, 공이 1.3초 만에 건너가는 동안 A는 0.20 m만 움직인다(여유 0.40 m).

  4. Tracker로 A·B·C의 속도를 1초 구간에서 읽어 발사 직후와 포구 직후의 운동량 합이 0에 머무는지, A와 C가 서로 멀어지는지 확인한다. 발사 방향을 반대로(C가 A에게) 바꿔도 같은지 본다.

  5. 추를 갈아 μ를 0.5·0.25·0.167로 바꾸며 조건마다 3회 되풀이하고, η = (교환 뒤 두 수레의 운동 에너지 합) ÷ (발사 직후 A와 B의 합)을 구한다.

  6. 측정한 η를 μ에 대해 그려 η = μ(2+μ)/(1+μ)²와 견주고 우주 조건 μ = 0.43/200까지 외삽한다. 이어 스프레드시트에서 크기 Δv인 속도 변화를 무작위 방향으로 k번 더해 v_rms = √k · Δv를 확인하고, 같은 판을 ‘안쪽으로만 던지기’ 규칙으로 돌린다.

안전 안내

⚠ 안전

수레를 사람 쪽으로 발사하지 않는다. 발사 장치는 가장 약한 단만 쓴다 — 이 설계와 아래 추가 실험의 모든 속도는 0.4 m/s 이하여서 더 센 단은 필요 없고, 센 단은 수레를 트랙 밖으로 날려 보낸다. 트랙 양 끝에는 스펀지 완충재를 두어 수레가 바닥으로 떨어지지 않게 하고, 트랙은 허리 높이 아래에 둔다. 추는 수레에 단단히 고정한다. 실내에서 사람끼리 무거운 공을 던져 이 실험을 대신하지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

공 수레는 그대로 두고 던지는 수레와 받는 수레만 무겁게 하면, 교환이 끝난 뒤 두 수레에 남는 운동 에너지의 비율은 커질까, 작아질까?

자료 정리

조건마다 (μ, 공의 속도, Δv, 포구 뒤 속도, 발사 직후와 교환 뒤의 운동 에너지, η)를 한 줄로 적는다. 가로축 μ·세로축 η로 그려 μ(2+μ)/(1+μ)² 곡선과 겹쳐 보고, 운동량 합이 0 근처인지는 따로 확인한다. (수치는 실측으로 채운다.)

결과의 의미

세 조건의 점은 η = μ(2+μ)/(1+μ)² 위에 놓이고 운동량 합은 0에서 몇 퍼센트 안에 머물 것으로 예상된다. 던지기가 넣은 에너지의 대부분을 받기가 버리고, 남는 몫은 질량비가 정한다. ⑴ 가까운 이웃 중 아무에게나 던지면 속도는 마구잡이 걸음으로 커져 v_rms = √k · Δv가 되고, 1인당 스무 번 남짓·6분이면 구름이 1.3배로 부풀어 평균 간격이 조준 한계 15 m에 이른다 — 공을 잃지 않으려면 멈춰야 한다. 이후 0.10 m/s로 자유 팽창해 두 시간 반이면 반지름 1 km다. ⑵ 안쪽에만 던지면 중간에 낀 사람은 받은 충격과 던진 반동이 상쇄되어, 바깥 900명은 밖으로 딱 한 번의 반동만큼(2.15 cm/s), 안쪽 100명은 안으로 0.19 m/s로 갈려 3분이면 핵이 반지름 2~3 m로 모인다. 그런데 몸으로 받기가 완전 비탄성이라면 방사상으로 모여든 367 J이 우주복에서 다 사라져 핵은 그 자리에 멎고, 정지한 20 t 덩어리는 탈출 속도(약 1 mm/s)를 넘지 못해 묶인 채 남는다. 껍질은 흩어지고 핵은 뭉치는 셈이다 — 공이 안쪽에 다 쌓이면 규칙 자체도 멎으니, "공을 잃지 않으면서"라는 한 구절이 구름의 시계를 정한다.

더 탐구하기

  1. 접선 방향으로만 던지는 규칙도 넣어 보자. 총 각운동량은 처음 값 그대로여야 하니, 안팎이 반대로 도는 층이 생기는지 확인한다.

  2. 던지는·받는 수레에 추를 더 얹어(수레가 견디는 하중 안에서) μ를 0.1까지 낮춰 보자. η가 2μ에 가까워지는지가 우주 조건 외삽의 신뢰도를 가른다.

  3. 한 사람이 여러 개를 같은 방향으로만 던지는 경우를 계산해 보자. Δv는 던진 개수에 비례하지만 던질 공이 떨어지면 멈춘다 — 로켓이 추진제를 싣는 이유다.

연결 주제

IYPT 1990 문제 3 ‘공과 피스톤’ — 되풀이되는 충돌이 속도를 마구잡이 걸음으로 키우는 기제가 같다(그쪽은 진동판이, 이쪽은 팔이 에너지를 넣는다). IYPT 1989 문제 9 ‘우주인의 최대 여행 거리’ — 공을 던지는 우주비행사는 반작용 질량이 축구공인 로켓이어서, 치올콥스키 식의 Δv가 이 편의 2.15 cm/s로 곧장 이어진다.

참고문헌

[학생] 국제축구평의회(IFAB) 경기규칙 제2조 ‘공’(theifab.com) — 둘레 68~70 cm, 경기 시작 시 질량 410~450 g / S. K. Moore, J. Marmolejo(NASA), “Extravehicular Activity (EVA) Hardware and Operations Overview,” NTRS 20120011735 — 미국 EMU 우주복 약 280 lb(127 kg), 러시아 오를란-M 약 230 lb(104 kg) / The Physics Classroom, ‘Momentum Conservation’의 exploding carts 자료(physicsclassroom.com) — 수레 폭발에서 운동량은 보존되고 운동 에너지는 보존되지 않음을 다룬 수업 자료. [심화] O. Passon, T. Zügge, J. Grebe-Ellis, “Pitfalls in the teaching of elementary particle physics,” Physics Education 54(1), 015014 (2019), doi:10.1088/1361-6552/aadbc7 — 공 던지기 유비는 척력까지만 그리며, 인력과 척력의 구분은 단순한 입자 모형으로 그릴 수 없고 장 개념이 필요하다고 정리 · J. McIntyre, M. Zago, A. Berthoz, F. Lacquaniti, “Does the brain model Newton’s laws?” Nature Neuroscience 4(7), 693–694 (2001), doi:10.1038/89477 — 우주인이 0 g에서 공을 받을 때 1 g에서보다 이른 시점에 동작을 시작했고, 뇌가 중력의 내부 모형으로 접촉 시각을 어림한다고 결론 · D. Brown, A. J. Cox, “Innovative Uses of Video Analysis,” The Physics Teacher 47(3), 145–150 (2009), doi:10.1119/1.3081296 — Tracker 영상 분석 사용법. ※ 우주비행사 구름을 관측한 자료는 없다. 두 진화는 위 규격값과 운동량 보존만으로 세운 어림이고, 조준 한계 15 m와 교환 주기 15초는 가정값 — 그 둘이 이 탐구의 개방 지점이다.

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