2026년 9월 30일 · 용티IYPT 1990 · 문제 14 · 비선형·복잡계, 물성·재료

기울기 2.7이 나와도 프랙탈이 아니다 — 실타래

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 1990 문제 14 ‘Fractal?’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1990 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「물질의 특성」(밀도) / 고등학교 통합과학1 「과학의 기초」(측정과 어림) · 과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」(변인 설정, 측정과 오차) — 거듭제곱 법칙과 프랙탈 차원은 교육과정 밖 심화다 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

질량–지름 관계, 거듭제곱 법칙, 로그–로그 그래프, 기울기와 지수, 겉보기 밀도, 프랙탈 차원, 자기 유사성, 척도 불변, 교차 구간, 권취 장력, 섬유 압축 법칙, 등가 지름, 기하평균, 계통 오차

원리 살펴보기

프랙탈이냐는 물음은 “질량이 지름의 몇 제곱으로 자라느냐”로 번역된다. 속까지 고르게 찬 덩어리면 지수는 3이고, 3보다 작으면 큰 타래일수록 속이 성글다는 뜻 — 그것이 프랙탈의 표지다. 감기는 어느 쪽일까. 실 한 겹이 장력 F로 감기면 그 아래를 누르고, 반지름 r이 받는 압력은 p = nF·ln(R/r)로 쌓인다(n은 단위 부피당 실 길이, 곧 밀도÷선밀도이며 여기서는 7×10⁵ m⁻²다). 로그는 R과 r의 비만 보므로 공이 커져도 압력은 r/R의 같은 함수다 — 감는 과정에는 고유한 길이가 없다. 그러니 밀도 분포도 크기와 무관한 같은 모양이 되고, 평균 밀도가 일정해 지수는 정확히 3이 된다(F = 0.5 N이면 반지름의 3분의 1 되는 자리가 0.4 MPa로 눌린다). 두께 0.02 mm·폭 2 mm의 얇은 띠를 구겨 만든 공에서 잰 지수도 3.0 ± 0.1이다.

그런데 실제로 재면 3보다 작게 나온다. 범인은 시작점이다. 할머니는 손가락에 열댓 번 감아 만든 다발부터 시작하는데, 나란히 누운 실은 이리저리 엇갈려 쌓인 층보다 촘촘하다. 그 다발이 1 g 남짓이고 등가 지름이 1.6 cm면, 같은 크기의 고른 공(0.35 g/cm³로 0.75 g)보다 0.3 g 무겁다. 이 여분은 아무리 감아도 남아 작은 타래의 점을 위로 밀어 올려 기울기를 깎는다. 어림하면 지름 1.6~4 cm 구간은 2.67, 6.8~11.8 cm 구간은 2.99, 전 구간을 한 직선으로 뭉뚱그리면 2.87이다 — 굵은 철사를 공동에 밀어 넣어 잰 2.7 ± 0.1과 헷갈리기 딱 좋은 숫자다. 진짜 자기 유사한 구조는 자기 유사가 성립하는 척도 범위 안에서는 어느 구간에서 재도 같은 기울기를 준다. 기울기가 크기를 따라 움직인다면 그것은 프랙탈이 아니라 심(心)의 흔적이다.

감는 장력이 밀도를 정한다는 이 얼개는 염색용 실패 권취(실패 밀도가 고르지 않으면 염액이 통과하지 못해 색이 얼룩진다), 필라멘트 와인딩(압력용기를 섬유로 감을 때 장력이 부피 분율과 파열 압력을 좌우한다), 실 감은 골프공(감은 코어의 장력이 반발 탄성을 정한다), 응집체 진단(알갱이의 질량–크기 지수로 얼마나 성근지를 읽는다)에 쓰인다.

실험 설계

준비물

중간 굵기 털실(100 g에 200 m인 타래) 5개, 0.01 g까지 읽고 용량이 500 g 이상인 전자저울, 150 mm 디지털 캘리퍼스, 규격 탁구공(지름 40 mm·질량 2.7 g), 흰 배경지와 삼각대·스마트폰, 실루엣 면적을 재는 이미지 도구(ImageJ 등), 줄자, 가위, 지퍼백.

변인

독립변인은 실타래의 지름 D, 종속변인은 그때까지 감긴 실의 질량 M이다. 통제변인은 같은 실(선밀도 λ는 5 m를 잘라 재어 확정한다), 방향을 바꿔 가며 감는 방식, 권취 장력(0.5 N 안팎으로 일정하게), 그리고 심의 종류다. 심은 한 번만 따로 바꾼다 — 첫 타래는 손가락에 감은 다발로, 둘째 타래는 지름과 질량을 아는 탁구공으로 시작한다.

실험 순서

  1. 실 5 m를 잘라 재어 λ를 구한다(100 g·200 m면 0.50 g/m). 흰 배경지 위 정해진 자리에 탁구공을 놓고 삼각대에 고정한 스마트폰으로 찍어 픽셀당 길이를 정한다 — 이 배율 검정이 모든 지름의 기준이니 타래도 같은 자리에 놓는다.

  2. 손가락 두 개에 실을 헐겁게 열댓 번 감아 곧바로 빼낸 뒤 접어 심으로 삼고, 감는 방향을 조금씩 돌려 가며 공 모양을 유지한다. 한 방향으로만 감으면 납작한 실패 모양이 된다.

  3. 지름이 약 1.2배가 될 때마다 멈춘다(1.6 · 1.9 · 2.3 · 2.8 · 3.3 · 4.0 · 4.8 · 5.7 · 6.8 · 8.2 · 9.8 · 11.8 cm, 12점). 멈출 때마다 질량을 재고, 서로 수직인 세 방향의 지름을 캘리퍼스로 재어 기하평균을 구하고, 정해진 자리에서 사진을 한 장 찍는다. 11.8 cm면 약 300 g으로 저울 용량 안이다.

  4. 캘리퍼스는 날이 닿는 순간 멈춘다 — 물렁한 겉을 같은 두께만큼 누르면 작은 타래일수록 상대적으로 더 깎여 기울기가 낮아진다(보풀과 방향이 반대라 둘이 엇비슷하면 서로 상쇄된다). 사진에서는 실루엣 면적 A로 등가 지름 2√(A/π)를 얻는다. 두 값의 차이가 크기를 따라 달라지지 않는지가 이 측정의 검정이다.

  5. 새 실로 둘째 타래를 만든다. 이번에는 탁구공을 심으로 넣고 지름 5.0 cm부터 10.0 cm까지 1.08배씩 10점을 같은 방식으로 잰다. 감는 동안 심이 찌그러지는 소리가 나면 장력을 줄이고, 끝난 뒤 심이 찌그러졌으면 그 타래는 버린다.

  6. 두 벌을 로그–로그 그래프에 겹쳐 그리고, 각 벌의 앞 절반과 뒤 절반의 기울기를 따로 구한다.

안전 안내

⚠ 안전

실을 손가락이나 손목에 감은 채 당기지 않는다 — 살을 파고들어 피가 통하지 않는다. 심을 만들 때 손가락에 거는 실도 헐겁게 감아 곧 빼낸다. 감을 때 실은 손바닥에 걸쳐 쥐고, 당기는 힘은 아프게 파고들지 않는 정도(0.5 N, 약 50 g중)로 유지한다. 장력을 바꾸는 확장에서는 손 감각 대신 추를 매달아 정하고 5 N(약 500 g중)을 넘기지 않는다 — 그 위로는 실이 끊기며 튄다. 목에는 어떤 경우에도 실을 두르지 않는다. 가위는 날을 접어 두고 자른 실 토막은 바로 지퍼백에 모은다 — 어린아이와 반려동물이 실을 삼키면 장이 막혀 위험하다. 저울 용량(500 g)을 넘는 것은 올리지 않고, 300 g까지 무거워진 타래는 작업대 안쪽에 둔다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

속이 빈 탁구공을 심으로 넣고 감으면, 질량–지름 그래프의 기울기는 3보다 커질까 작아질까?

자료 정리

측정마다 (세 방향 지름과 기하평균, 실루엣 등가 지름, 질량, 심의 종류)를 한 줄로 적는다. 로그–로그 그래프에 두 벌을 겹쳐 그리고 기울기 3의 보조선을 함께 긋는다. 손으로 당기는 장력은 일정하게 유지하려 애쓰되 기록되지 않는 조건이고 한 타래에 이어 감은 점들은 제작 이력을 공유하므로, 높은 R²가 곧 보편 지수를 뜻하지는 않는다. 이어 겉보기 밀도 M ÷ ((π/6)D³)를 D에 대해 그린다 — 지수의 어긋남이 밀도의 흐름으로 확대돼 잘 보인다. 끝으로 심의 질량을 뺀 값을 (D³ − D_심³)에 대해 보통 눈금으로 그린다. 원점을 지나는 직선이면 그 기울기가 곧 (π/6)×평균 밀도다. (수치는 실측으로 채운다.)

결과의 의미

두 벌 다 한 직선에 놓이지 않고, 기울기가 크기를 따라 3으로 다가갈 것으로 예상된다. 손가락 심은 앞 절반 2.67·뒤 절반 2.99로 아래에서, 탁구공 심은 전 구간 3.60으로 위에서 다가간다. 심 하나만 바꿨는데 어긋남의 방향이 뒤집힌다면, 그 어긋남은 프랙탈이 아니라 시작점의 흔적이다 — 자기 유사한 구조라면 무엇으로 시작하든 같은 기울기를 준다. 판정이 되는지 따져 두자. 지름을 2 % 정확도로 재고 열두 점을 0.87자릿수에 고루 놓으면 기울기의 통계 오차는 0.03, 앞뒤로 갈라 여섯 점씩 쓰면 각각 0.08이다. 예상되는 앞뒤 차이 0.32는 그 세 배쯤이지만, 지름을 실 한 올보다 정밀하게 정의할 수는 없으니 앞뒤를 갈라 재는 판정은 아슬아슬하다. 다만 보풀 때문에 외곽선이 1 mm 부풀기만 해도 그것만으로 기울기가 0.08 높아지므로, 3과 2.9를 가르겠다는 목표는 이 장비로 무리다. 전 구간에서 3과 2.7을 가르는 일과 심을 바꿔 어긋남의 부호가 뒤집히는지 보는 일 — 이 둘이 통계 오차의 예닐곱 배로 이 설계의 정직한 사정거리이며, 그 안에서 “실타래는 프랙탈이 아니다”라고 말할 수 있다.

더 탐구하기

  1. 장력을 바꿔 보자. 실을 매끄러운 봉에 걸고 200 g 추(약 2 N, 안전 상한 5 N 아래)로 장력을 정해 감으면, 섬유 압축 법칙대로 평균 밀도가 장력의 제곱근을 따라가는지(0.5 N → 2 N에 두 배) 볼 수 있다. 그 예측이 어디서 깨지는지가 볼거리다.

  2. 털실 대신 낚싯줄이나 구리선처럼 뻣뻣한 줄로 지름 5 cm까지만 감아 보자(굵은 줄은 무거워 금세 저울 용량을 넘고, 잘린 끝이 날카롭다). 뻣뻣할수록 층이 떠서 겉보기 밀도가 낮아지는지, 그래서 기울기가 3에서 떨어지는지 — 철사에서 2.7이 보고된 까닭이 여기 있는지 확인하는 셈이다.

  3. 다 감은 타래를 반으로 잘라 단면을 찍고 중심에서 바깥으로 층 간격을 세어 보자. 압력이 로그로 쌓인다는 모형이 맞으면 층 간격은 안쪽에서 좁고 바깥에서 넓어야 한다.

연결 주제

IYPT 1996 문제 2 ‘종이뭉치’ — 구긴 종이 뭉치의 유효 밀도가 크기와 무관한지를 묻는 같은 질량–지름 지수의 문제이고, 1차원 실 대신 2차원 종이를 구긴다. 누르며 재느냐로 지수가 갈린다는 경고까지 같다. IYPT 2001 문제 6 ‘프랙탈 회절’ — 로그–로그 기울기를 차원으로 읽는 도구가 같다. 그쪽은 정말 자기 유사한 구조를 만들어 놓고 재므로 이쪽과 좋은 대조가 된다.

참고문헌

[학생] OpenStax 대학물리 1권 1장 ‘단위와 측정’(어림·유효숫자·차원) · ImageJ 공식 문서(imagej.net)의 Analyze Particles(실루엣 면적에서 등가 지름 구하기) / [심화] A. S. Balankin 외, “Topological crossovers in the forced folding of self-avoiding matter,” Physica A 388(9), 1780–1790 (2009), doi:10.1016/j.physa.2009.01.021 — 두께 0.02 mm(알루미늄)·폭 2 mm의 띠와 종이 띠를 구겨 만든 공에서 질량이 지름의 3.0 ± 0.1 제곱으로 자란다고 보고(납작한 1차원 물체는 구겨도 공간을 꽉 채운다) · M. A. F. Gomes, V. P. Brito, M. S. Araújo, “Geometric properties of crumpled wires and the condensed non-solid packing state of very long molecular chains,” Journal of the Brazilian Chemical Society 19(2), 293–298 (2008), doi:10.1590/S0103-50532008000200014 — 지름 1.5 mm 땜납 철사를 반지름 0.90~7.50 cm의 딱딱한 공동에 밀어 넣었을 때 채워진 질량이 공동 반지름의 2.7 ± 0.1 제곱으로 자라고 평균 밀도가 −0.3 ± 0.1 제곱으로 옅어진다고 보고 — 두 값의 차이는 구기는 방식보다 단면의 납작함과 ‘크기’를 무엇으로 재느냐(공동 반지름이냐 공의 지름이냐)에서 온다 · C. M. van Wyk, “Note on the compressibility of wool,” Journal of the Textile Institute Transactions 37(12), T285–T292 (1946), doi:10.1080/19447024608659279 — 양모 뭉치를 누르는 압력이 부피 밀도의 세제곱에 비례한다는 압축 법칙 · B. B. Mandelbrot, 『The Fractal Geometry of Nature』(Freeman, 1982) — 실타래를 예로 들어 보는 거리에 따라 점·3차원 공·1차원 실로 차원이 달라진다고 설명. ※ 구긴 1차원 물체의 지수는 위 문헌에 있으나, 일부러 구형으로 감은 실타래의 질량–지름 지수를 잰 보고는 찾지 못했다 — 그 정량 재현이 이 탐구의 개방 지점이다.

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