창밖을 보지 않고 속력을 잰다 — 지하철 속도계

탐구 주제

IYPT 1989 문제 8 ‘Metro’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1989 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「운동과 에너지」(물체의 운동 — 속력과 가속도) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템 — 중력과 운동) · 과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」(측정과 오차, 데이터 처리) / 물리학 「힘과 에너지」(등가속도 운동·관성) · 진로선택 「역학과 에너지」(시공간과 운동 — 관성 좌표계와 가속 좌표계) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

고유가속도(비력), 관성 좌표계, 등가 원리, 좌표 변환, 영점 편향(바이어스), 드리프트, 시간 적분, 영속도 갱신, 관성 항법, MEMS 가속도계, 자이로스코프, 각속도, 구심 가속도, 상호상관, 시간 지연, 스펙트로그램, 푸리에 변환(FFT), 계통 오차·무작위 오차, 표본 주기, 오차 예산

원리 살펴보기

창밖이 캄캄한 터널뿐이고 거리 표지도 없다면, 지금 이 열차가 얼마나 빠른지 알아낼 방법이 있을까? 있다. 속도가 변할 때 몸이 뒤로 밀리는 그 느낌이 곧 자료다. 가속도를 시간으로 적분하면 속도가 되므로, 출발 순간부터 가속도를 빠짐없이 더해 가면 바깥을 보지 않고도 속력을 얻는다 — 잠수함과 항공기의 관성 항법이 이 원리다. 다만 가속도계가 재는 것은 순수한 운동 가속도가 아니라 중력까지 포함한 고유가속도(비력)다. 책상에 놓인 스마트폰의 연직축이 9.8 m/s²을 가리키는 것이 그 증거다. 진행 축의 읽음값은 실제 가속도 a에 기울기가 만드는 g sinθ가 더해진 값이라, 오르막을 지나는 것과 앞으로 가속하는 것은 가속도계 하나로는 구별되지 않는다(등가 원리).

이 구별 불가능이 곧 이 문제의 최대 난점이다. 진행 축에 남은 영점 편향 b는 적분되며 b·t의 속도 오차로 자란다 — 손으로 놓을 때 흔한 1° 기울기만으로도 g sin 1° = 0.17 m/s²가 새어 들어 90초 뒤 15 m/s, 곧 최고 속력에 맞먹는 오차가 된다. 0.05°까지 맞춰도 0.0086 m/s²가 남아 위치 오차가 30초에 4 m다.그래서 처방은 두 갈래다 — 두 역에서 속력이 0임을 알고 있으니 도착 시점의 잔차를 시간에 비례해 되돌려 빼는 영속도 갱신, 그리고 거리 기준이 탈것 안에 들어 있는 독립 측정. 실제 지하철에서 스마트폰만으로 잰 연구는 단순 적분이 9.5 % 오차를 냈고, 두 대의 시간 지연을 함께 쓰자 1.6 %까지 줄었다고 보고한다.

가속도를 적분해 속도를 얻는 이 얼개는 이미 우리 주변에서 일하고 있다. 관성 항법(위성 신호가 닿지 않는 잠수함·터널에서 가속도계와 자이로만으로 위치를 이어 간다), 걸음 수·활동 기록(가속도 파형의 주기적 봉우리를 세어 걸음과 이동 거리를 추정한다), 자동차 에어백(급격한 감속을 밀리초 안에 판정해 점화 신호를 낸다), 열차 자동 방호 장치(ATP — 속력을 감시하다 제한을 넘으면 스스로 제동을 건다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

스마트폰 2대(가속도계·자이로스코프 내장, 가능하면 기압계도), phyphox 같은 센서 기록 앱, 미끄럼 방지 패드와 평평한 받침판(클립보드나 두꺼운 책), 줄자, 표 계산 프로그램이나 파이썬 등 분석 도구, 버스 측정용 GPS 기록 앱.

변인

독립변인은 속력을 구하는 측정 방법이다(적분법·두 대 시간 지연법·스펙트럼법을 같은 주행에 나란히 적용한다). 종속변인은 각 방법이 내놓은 속력의 시간 변화 v(t)와 그로부터 읽은 중간 지점 속력·최고 속력, 그리고 기준값 대비 상대 오차이다. 통제변인은 같은 주행 구간과 같은 차량·같은 좌석 위치, 스마트폰의 놓인 자세와 표본 주기, 기록의 시작·끝 기준(문 닫힘부터 다음 문 열림까지)이다.

실험 순서

1. 정차 중 두 폰을 나란히 놓고 동시에 두드려 시각을 맞춘 뒤, 기록을 유지한 채 각자 자리로 옮겨 진행 방향과 나란히 둔다. 원시 가속도 3축·자이로·소리를 100 Hz 이상으로 10초 넘게 기록한다 — 이 구간의 평균 벡터가 곧 ‘중력 + 영점 편향’이며 폰 좌표계에서 연직 방향을 정해 준다.

2. 기록을 끊지 않고 출발부터 다음 역 정차까지 달린다. 첫 가속 구간에서 수평면에 남는 성분의 방향이 진행 축이므로, 이를 써서 폰 좌표계를 열차 좌표계로 회전시킨다.

3. ①에서 함께 기록한 자이로로 주행 중 자세가 변한 구간을 먼저 가려내 버린다. 진행 축 성분에서 ①의 평균을 뺀 뒤 시간 적분해 v(t)를 얻는다. 도착 시각에 v가 0이 아니면 그 잔차 Δv를 주행 시간 T로 나눈 값을 남은 편향으로 보고 v(t) − (Δv/T)·t로 되돌린다(영속도 갱신). 보정 전후를 겹쳐 그려 드리프트의 크기를 눈으로 확인한다.

4. 두 폰의 상하 가속도 파형을 상호상관해 시간 지연 τ를 구하고, 두 폰 사이 거리 d로 v = d/τ를 계산한다. 두 폰은 반드시 다른 객차에 둔다 — 같은 차체 위 두 점은 한 덩어리로 흔들려 지연이 대차 간격에 걸리기 때문이다. d는 두 객차의 대응 지점 사이 거리이며 차량 제원으로 확인한다. d가 20 m, 속력 20 m/s면 τ = 1 s이므로 100 Hz 기록으로도 1 %대까지 가른다.

5. 소리와 상하 가속도의 스펙트로그램을 그려, 속력을 따라 오르내리는 저주파 성분이 있는지 살핀다(선로의 반복 구조가 만드는 성분). 보이면 ④의 v로 그 성분의 파장 L = v/f을 정하고, 이후에는 f(t)·L로 속력을 촘촘히 이어 본다.

6. 같은 절차를 버스에서 반복하되 GPS 속력을 함께 기록한다. 버스는 정답이 있는 시험지이므로, 세 방법의 오차를 기준값과 견주어 표로 정리한 뒤 검증된 방법을 정답 없는 지하철로 옮긴다.

안전 안내

대중교통 안에서 하는 측정이므로 다른 승객과 승무원에게 폐를 끼치지 않는 것이 첫째 조건이다. 통로·출입문 앞·좌석에 기기나 가방을 두지 말고, 줄자를 펴는 일은 한산한 시간대에 짧게 하며 혼잡 시간대에는 하지 않는다. 주행 중에는 자리를 옮기지 말고, 서 있다면 반드시 손잡이를 잡는다 — 기록은 앱이 알아서 하므로 화면을 들여다볼 필요가 없다. 승하차할 때는 기기를 주머니에 넣고 발밑과 문을 먼저 본다. 다른 승객이 찍히는 사진·영상은 찍지 않고, 소리는 스펙트럼 분석에만 쓰고 분석 뒤 지운다. 차량 설비와 승무원 업무 구역에는 손대지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

두 역 사이 1 km를 90초에 달렸다면 평균 속력은 40 km/h 남짓이다. 그렇다면 중간 지점의 순간 속력은 그보다 얼마나 클까? 그리고 가속도만 적분해 얻은 속력은 도착 순간 0으로 떨어질까, 아니면 얼마쯤 어긋난 채 남을까?

자료 정리

가로축을 시간으로 놓고 진행 축의 원시 가속도, 보정 전후의 적분 속도, 두 대 시간 지연법의 점 추정, 스펙트럼법 곡선을 층지어 겹쳐 그린다. 보정한 속도 곡선 아래 넓이(= 이동 거리)가 알려진 역간 거리와 몇 % 안에서 맞는지 따로 계산해 적는다. 방법별 최고 속력과 중간 지점 속력은 표로 모으고, 기준(버스는 GPS, 지하철은 시간 지연법) 대비 상대 오차를 %로 적어 오차 예산을 만든다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

보정하지 않은 적분 속도는 도착 순간에 0으로 떨어지지 않고 몇 m/s쯤 어긋난 채 남을 것으로 예상된다. 그 어긋남의 크기가 곧 드리프트이며, 두 역에서 속력이 0이라는 사실 하나만으로 그것을 상당 부분 되돌릴 수 있다는 점이 이 탐구의 핵심이다. 다만 종점에서 0이 되는 것은 필요조건일 뿐이다 — 선로가 역 앞뒤로 오르내리면 잔차가 0인데도 중간 구간의 속력이 수 m/s 어긋날 수 있으니, 곡선 아래 넓이와 두 대 시간 지연법으로 반드시 교차 확인한다. 보정한 속도 곡선은 가속 — 타행 — 제동의 사다리꼴에 가까운 모양이 될 것이고, 그 아래 넓이가 역간 거리와 몇 % 안에서 맞는지가 신뢰의 근거가 된다. 반면 두 대 시간 지연법은 적분을 아예 쓰지 않으므로 시간이 흘러도 오차가 자라지 않는다. 드리프트가 쌓이는 방법과 쌓이지 않는 방법을 같은 주행에서 나란히 재어 서로의 답을 견주는 것 — 그것이 “방법들을 제안하라”는 이 문제의 진짜 요구다.

더 탐구하기

1. 정차 중에 기준을 잡은 뒤 출발 직후에 폰을 1°, 2°씩 기울여 같은 구간을 달려, 도중에 생긴 g sinθ가 적분 속도를 얼마나 밀어 올리는지 재어 보자(정차 때부터 기울여 두면 평균 빼기에 상쇄돼 아무 일도 일어나지 않는다) — 등가 원리가 치르게 하는 대가를 수치로 확인할 수 있다.

2. 표본 주기를 100 Hz에서 50 Hz, 10 Hz로 낮춰 가며 두 대 시간 지연법의 속력 분해능이 어떻게 나빠지는지 확인하고, 두 폰의 간격 d를 (출발 전 정차 중에 자리를 잡아) 이웃한 객차 ↔ 두 칸 떨어진 객차로 바꿔 가며 분해능과 파형 닮음 사이의 맞바꿈을 조사해 보자.

3. 기압계가 있는 폰이라면 같은 구간의 기압도 함께 기록해 보자. 공기 기둥의 무게로 보면 높이 1 m가 약 12 Pa인데, 지하철에서는 문이 여닫히거나 터널을 드나들 때 그보다 훨씬 큰 압력 변동이 겹치므로 고도 신호만 골라내기가 쉽지 않다 — 그 겹침을 분리하는 것 자체가 과제다.

4. 버스에서 선회 구간을 골라 가로 가속도 a와 요 각속도 ω를 함께 재고, 정상 선회에서 a = v·ω인 점을 이용해 적분 없이 순간 속력 v = a/ω를 구해 GPS와 비교해 보자. 도로의 편경사가 있으면 중력이 다시 가로축으로 새어 든다는 점도 함께 확인해 보자.

연결 주제

IYPT 2010 문제 15 ‘종이 풍속계’(물리_2010_15) — 소리·진동의 주기를 FFT와 자기상관으로 뽑아 흐름의 속도를 역산하는 절차가 이 원고 ⑤단계의 스펙트로그램 분석과 그대로 겹친다. IYPT 2018 문제 1 ‘자작 지진계’(물리_2018_01)와도 이어지지만, 공유되는 것은 관성으로 가속도를 읽는 센서와 신호 처리이지 물리량이 아니다 — 그쪽은 진동의 응답 곡선을, 이쪽은 그 신호의 적분을 다룬다.

참고문헌

[학생] phyphox(RWTH 아헨대에서 만든 무료 센서 기록 앱 — 가속도·자이로·기압·소리 스펙트럼을 표본 주기까지 정해 기록하고 csv로 내보낼 수 있다) / 검색어 “phyphox acceleration train”, “관성 항법 원리”, “영속도 갱신” / [심화] Y. Wang 외, “A data-fusion approach for speed estimation and location calibration of a metro train based on low-cost sensors in smartphones,” IEEE Sensors Journal 19(22), 10744–10752, 2019, DOI 10.1109/JSEN.2019.2933638 (지하철에서 스마트폰 가속도계만으로 속도 추정 — 단순 적분은 역간 거리 대비 9.5 % 오차, 떨어진 두 대의 시간 지연을 융합하니 1.6 %) · I. Ustun, M. Cetin, “Speed estimation using smartphone accelerometer data,” Transportation Research Record 2673(3), 65–73, 2019, DOI 10.1177/0361198119836977 (정차 시점을 찾아 보정해도 자동차에서 추정 속력이 평균적으로 실제 속력의 10 mph 이내에 머물렀다고 보고) · O. J. Woodman, “An introduction to inertial navigation,” University of Cambridge Technical Report UCAM-CL-TR-696, 2007 (작은 기울기 오차가 중력 성분을 수평축에 흘려 넣고, 그 겉보기 편향이 두 번 적분되며 위치 오차를 시간의 제곱으로 키운다는 관성 항법의 핵심 오차 경로. 0.05°→0.0086 m/s²까지는 이 보고서를 따르되, 30초 뒤 오차는 ½bt²로 직접 계산했다) · S. Staacks 외, “Advanced tools for smartphone-based experiments: phyphox,” Physics Education 53(4), 045009, 2018, DOI 10.1088/1361-6552/aac05e · M. Urbaniak 외, Sensors 25(15), 4635, 2025, DOI 10.3390/s25154635 (트램에서 보급형 스마트폰 가속도계의 실측 적용성 평가). ※ 세 방법을 같은 주행에서 동시에 재어 학교 수준의 오차 예산으로 견준 자료는 찾기 어렵다 — 그 비교표가 이 탐구의 개방 지점이다.