2026년 9월 30일 · 용티IYPT 1989 · 문제 10 · 열·상전이

증발로 사라지지 않으려면 — 물로만 이루어진 행성

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 1989 문제 10 ‘Aqueous planet’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1989 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「물질의 상태 변화」(증발·승화) · 「태양계」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(지구 시스템) / 물리학 「힘과 에너지」(중력·탈출 속도·기체 분자 운동) / 진로선택 「역학과 에너지」(시공간과 운동 · 열과 에너지) 및 「행성우주과학」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

평형 온도, 알베도, 태양 상수, 슈테판–볼츠만 법칙, 포화 증기압, 증발, 승화, 삼중점, 클라우지우스–클라페롱 식, 맥스웰–볼츠만 분포, 열속도, 탈출 속도, 탈출 파라미터, 진스 탈출(Jeans escape), 유체역학적 탈출, 외기권 바닥, 광해리, 중수소/수소 비, 정역학 평형, 설선(snow line), 페르미 추정

원리 살펴보기

접시에 담긴 물은 끓이지 않아도 마른다. 표면의 물 분자 가운데 유난히 빠른 것들이 끊임없이 튀어나가기 때문이다. 우주에 물덩어리 하나를 놓아도 똑같은 일이 벌어진다. 다만 이번에는 방의 벽이 없어서, 튀어나간 분자를 되돌릴 수 있는 것은 그 덩어리 자신의 중력뿐이다. 분자가 붙들리면 수증기 대기가 되어 다시 표면으로 돌아오고, 붙들리지 못하면 영영 우주로 사라진다. 그래서 “질량이 일정한 행성”이라는 조건은 사실 중력과 열운동의 힘겨루기를 묻는 문제다.

힘겨루기의 승패는 숫자 하나로 판정된다. 분자 하나를 떼어 놓는 데 드는 중력 에너지 GMm/R와 그 분자가 가진 열에너지 kT의 비, 탈출 파라미터 λ = GMm/(kTR)이다. λ가 크면 대기가 붙들려 있고, 작으면 맥스웰–볼츠만 분포의 빠른 꼬리가 새어 나간다(진스 탈출). 여기서 방향을 헷갈리지 말자 — 온도가 높을수록, 천체가 가벼울수록, 분자가 가벼울수록 λ가 작아져 탈출이 쉬워진다. 온도는 태양이 정한다. 복사 평형에서 평형 온도는 태양 거리의 −1/2제곱에 비례하므로 멀수록 차갑다. 그 온도가 물의 상태와 포화 증기압을 정하니, a와 b는 같은 식에 다른 온도를 넣는 문제인 셈이다. 한 가지 함정이 더 있다 — 자외선이 물 분자를 쪼개면 가벼운 수소 원자가 나오고, 같은 온도에서 수소는 물보다 λ가 18배 작다.

이 계산은 지금 행성과학의 최전선에서 쓰인다. 외계행성 대기 관측(탈출 속도와 받는 빛의 양을 두 축으로 천체를 늘어놓아 어느 행성이 대기를 가질지 미리 가려내고, 그 예측으로 우주망원경 관측 대상을 고른다), 화성의 물 손실 연구(궤도 탐사선이 화성에서 지금도 빠져나가는 입자의 양을 재어 과거의 바다를 역산한다), 얼음 위성 탐사와 생명 가능성(에우로파·엔셀라두스의 얼음 껍질이 왜 46억 년을 버텼는지가 곧 그 아래 바다의 존재 조건이다), 행성 형성의 설선(원시 원반에서 물이 얼음으로 뭉치기 시작하는 거리가 암석 행성과 거대 행성을 갈랐다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

스프레드시트 또는 파이썬 등 계산 도구, NASA 행성·위성 물리량 공개 자료표, 물리 상수표와 얼음·물의 포화 증기압 표. 실물 측정용으로는 0.01 g 분해능 전자저울, 같은 크기의 넓적한 접시 3개, 온도계, 미지근한 물을 담을 수조(또는 실온·냉장실·냉동실 세 곳), 스톱워치.

변인

계산 탐구의 독립변인은 태양으로부터의 거리(또는 그것이 정하는 평형 온도)와 물덩어리의 반지름이고, 종속변인은 탈출 파라미터 λ와 그로부터 정해지는 최소 질량이다. 통제변인은 물의 밀도(액체 1,000 kg/m³·얼음 917 kg/m³), 분자 질량 18 u, 선별 문턱으로 삼은 λ 값이다(46억 년은 ④의 승화 계산에만 쓴다). 여기서 쓴 T는 지표 평형 온도이고 실제 외기권 바닥은 더 뜨거우며, 광해리로 생긴 수소는 λ가 18분의 1이라 훨씬 쉽게 달아난다 — 그러니 이 값은 46억 년 보존 조건이 아니라 하한 선별값이다. 실물 측정에서는 독립변인이 물의 온도, 종속변인이 단위 시간·넓이당 질량 감소율이며, 접시 표면적·수심·습도·공기 흐름을 통제한다.

실험 순서

  1. 평형 온도를 구한다. 태양 상수 1,361 W/m²와 슈테판–볼츠만 법칙에서 T = 278 K × (d/1 AU)^(−1/2) × (1−A)^(1/4)이다. b는 d = 1 AU에 알베도 A = 0.1(어두운 바다)과 0.6(얼음)을 각각 넣고, a는 d = 30~100 AU를 넣어 온도의 범위를 얻는다.

  2. 그 온도에서 물 분자(m = 18 u)의 가장 빈도 높은 열속도 v₀ = √(2kT/m)를 구하고, 밀도 ρ인 물덩어리의 탈출 속도가 반지름에 비례한다는 관계 v_esc = R√(8πGρ/3)를 세운다.

  3. λ = v_esc²/v₀² = GMm/(kTR)에 M = (4/3)πρR³을 넣어 λ를 R의 함수로 정리하고, 열탈출 선별에 흔히 쓰는 문턱 λ = 25와 30이 되는 R을 푼 뒤 질량으로 환산한다(이 문턱은 외기권 바닥 온도에 적용하는 값이다). a와 b에 대해 선별 반지름·선별 질량을 표로 만든다.

  4. 중력과 무관한 손실도 따진다. 클라우지우스–클라페롱 식으로 얼음의 승화 압력 P(T)를 구하고, 헤르츠–크누센 식 Φ = P√(m/2πkT)로 진공에서 자유 승화할 때 46억 년 동안 깎이는 두께 Φt/ρ를 T = 30 K·100 K·150 K에서 계산해, 어느 온도부터 ③의 중력 판정이 의미를 갖는지 확인한다.

  5. 공개 자료표에서 행성·위성·왜행성 20개 이상의 질량·반지름·표면 온도·대기 유무를 모아 각각의 λ(물 분자 기준)를 계산하고, 가로축 λ(로그)·세로축 받는 일사량으로 그래프를 그려 대기를 가진 무리와 갖지 못한 무리의 경계를 ③의 문턱과 견준다.

  6. 실물로 증발을 잰다. 같은 접시에 같은 양의 물을 담아 세 온도(예: 10 °C·25 °C·40 °C)에 두고 30분마다 질량을 재어 증발 속도를 구한 뒤, 같은 온도의 포화 증기압과 나란히 그려 둘이 함께 커지는지 확인한다.

안전 안내

⚠ 안전

물의 온도는 40 °C를 넘기지 않는다 — 이 탐구는 끓이거나 가열 증발시킬 필요가 전혀 없고, 뜨거운 물은 화상 위험만 늘린다. 온수는 교사가 준비해 미리 40 °C 이하로 식힌 것만 쓰고, 온도계로 확인한 뒤 옮긴다. 전자저울 위에서 물을 쏟지 않도록 접시를 옮길 때는 저울 밖에서 채우고, 젖은 손으로 전원 장치를 만지지 않는다. 냉동실을 쓰는 확장 실험에서는 맨손으로 금속 선반을 잡지 않는다. 계산·자료 분석 부분은 위험이 없으나, 공개 자료의 출처와 갱신 날짜를 반드시 기록한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

a와 b의 최소 질량은 몇 배쯤 차이 날까 — 두세 배일까, 자릿수가 달라질까? 그리고 b에서 얻는 최소 질량은 달의 질량(약 7.3×10²² kg)보다 클까, 작을까?

자료 정리

반지름을 가로축(로그), λ를 세로축(로그)에 놓고 온도별로 곡선을 여러 개 그리면 λ = 25 수평선과 만나는 지점이 곧 각 온도의 최소 반지름이 된다. 이것을 “거리–최소 질량” 그래프로 옮겨 ④의 승화 두께를 색으로 겹치면, 중력이 판정하는 구간과 승화가 아예 일어나지 않는 구간이 갈라져 보인다. ⑤의 천체는 대기 있음·없음을 다른 기호로 찍고, 두 무리를 가르는 선의 위치를 계산 문턱과 비교해 적는다. 증발 실험은 단위 넓이당 질량 감소율을 세로축·온도를 가로축으로 그리고 포화 증기압 곡선을 보조축으로 얹는다. (수치는 실제 계산과 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

b에서는 T ≈ 270~280 K이 나오고, λ = 25~30을 요구하면 최소 반지름 약 3,400~3,700 km, 최소 질량 약 (1.6~2.1)×10²³ kg이 나올 것으로 예상된다. 반지름은 화성만 한데 질량은 화성의 4분의 1뿐이다 — 물이 암석보다 가볍기 때문이며, 이 자릿수 대조가 계산이 어긋나지 않았음을 확인해 준다. 실제로 가니메데 정도의 몸집인데, 유체역학 탈출까지 46억 년 적분한 연구가 문턱을 같은 자리에 놓는 것은 다른 물리로 얻은 우연한 일치다. a는 사정이 전혀 다르다. 온도가 100 K 아래로 내려가면 얼음의 승화 압력이 무너져, 중력이 0이어도 46억 년 동안 깎이는 두께가 밀리미터 수준에 그친다. 즉 먼 곳에서는 탈출이 한계를 정하지 못한다 — 몇 km짜리 혜성핵이 태양계 나이만큼 얼음을 지켜 온 것이 그 증거다. 그러면 한계를 정하는 것은 물리가 아니라 “행성”이라는 말이 된다. 자체 중력으로 둥근 모양을 갖추는 최소 크기(얼음은 반지름 약 200 km, 질량 약 3×10¹⁹ kg)가 답이 되는 것이다. 한 문제의 두 항목이 서로 다른 물리에 지배된다는 것, 그것이 이 문제의 진짜 교훈이다.

더 탐구하기

  1. 얼음 알베도 되먹임을 넣어 보자. 1 AU에서 표면이 다 얼면 알베도가 0.6까지 올라 평형 온도가 220 K로 떨어지고 증기압도 무너진다 — 같은 거리에서 “언 물 행성”과 “바다 행성”이 둘 다 안정한지 따져 보자.

  2. 물 대신 이산화 탄소·질소·메테인·수소로 같은 계산을 반복해 분자 질량과 승화 압력이 선별 질량을 어떻게 바꾸는지 표로 모으고, 카이퍼대 천체에서 큰 것만 메테인을 남긴 관측과 견줘 보자.

  3. 광해리를 넣어 보자. 물이 쪼개져 나온 수소 원자는 λ가 18분의 1이므로 훨씬 잘 샌다. 산소만 남는 이 과정을 넣으면 b의 최소 질량이 몇 배로 커지는지 어림하고, 금성 대기의 중수소/수소 비가 왜 지구보다 크게 높은지 설명해 보자.

  4. 승화도 직접 재 보자. 뚜껑 없는 용기의 얼음 질량을 냉동실에서 며칠에 걸쳐 재면, 녹지 않고 줄어드는 양에서 저온 승화가 얼마나 느린지 확인할 수 있다(장갑을 끼고 다룬다).

연결 주제

IYPT 1990 문제 5 ‘정육면체 행성’ — 자체 중력이 천체를 둥글게 만드는 최소 크기(감자 반지름)를 다루므로, 이 원고 a항의 답을 그대로 넘겨받아 “행성이라 부를 수 있는 최소 얼음덩어리”를 완성할 수 있다. IYPT 1988 문제 15 ‘구리 동전 인공행성’ — 천체 규모의 수명을 가정을 밝히고 자릿수로 답하는 같은 페르미 추정 계열로, 그쪽은 궤도가 무너지는 시간을, 이쪽은 질량이 새는 시간을 센다.

참고문헌

[학생] NASA NSSDC ‘Planetary Fact Sheet’(nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet) — 행성·위성의 질량·반지름·평형 온도·대기 공개 표(⑤의 자료원) / NASA JPL ‘Planetary Satellite Physical Parameters’(ssd.jpl.nasa.gov/sats/phys_par) / 위키백과 ‘Atmospheric escape(대기 탈출)’ · ‘Jeans escape’ / 검색어 “왜 달에는 대기가 없을까”, “cosmic shoreline”. [심화] K. J. Zahnle, D. C. Catling, “The Cosmic Shoreline,” ApJ 843(2), 122 (2017), doi:10.3847/1538-4357/aa7846 — 태양계 천체를 탈출 속도와 누적 일사량 두 축에 늘어놓아 대기 유무의 경계를 경험적으로 그은 논문(⑤의 원형) · O. R. Lehmer, D. C. Catling, K. J. Zahnle, ApJ 839(1), 32 (2017), doi:10.3847/1538-4357/aa67ea — 0.74~1.49 AU로 옮겨진 얼음 위성의 물 수명 계산: 가니메데 크기는 무기한 유지, 에우로파 크기는 10억 년대 수명 · D. M. Murphy, T. Koop, Q. J. R. Meteorol. Soc. 131(608), 1539–1565 (2005), doi:10.1256/qj.04.94 — 얼음·과냉각수 포화 증기압의 표준식(④의 근거, 110~273 K 검증) · E. L. Schaller, M. E. Brown, ApJ 659(1), L61–L64 (2007), doi:10.1086/516709 — 카이퍼대 천체의 메테인·질소 보유 여부를 크기와 온도에 따른 탈출로 설명 · C. Goldblatt, Astrobiology 15(5), 362–370 (2015), doi:10.1089/ast.2014.1268 — 폭주 온실 문턱을 행성 크기의 함수로 다시 계산(화성 크기에서는 약 35 W/m² 높아진다) · A. Léger 외, Icarus 169(2), 499–504 (2004), doi:10.1016/j.icarus.2004.01.001 — 물이 주성분인 ‘바다 행성’ 개념의 제안. ※ 문헌은 대체로 지구 질량급 행성이나 특정 위성을 다루며, 순수한 물덩어리의 최소 질량을 태양 거리의 함수로 한 곡선으로 제시한 자료는 찾기 어렵다 — 그 곡선을 직접 그려 보는 것이 이 탐구의 개방 지점이다.

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