하늘에 무지개는 몇 개까지 뜰까 — 동시에 뜨는 무지개

탐구 주제

IYPT 1989 문제 6 ‘Rainbow’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1989 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「빛과 파동」(빛의 반사·굴절·분산) / 고등학교 과학탐구실험1(측정과 분석) · 물리학 「빛과 물질」(빛의 굴절·전반사·굴절률) · 진로선택 「전자기와 양자」(빛의 굴절·반사, 레이저) — 대기 중 물방울의 광학 현상이라는 점에서 지구과학의 대기 단원과도 맞닿는다 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

빛의 굴절, 반사, 분산, 굴절률, 스넬 법칙, 충격 변수, 편향각(산란각), 최소 편향각, 데카르트 광선, 내부 반사 차수, 무지개 각(약 42°), 반태양점, 알렉산더 암대, 2차 무지개, 고차 무지개(3차·4차·5차), 반사 무지개, 과잉 무지개, 안개 무지개, 쌍둥이 무지개, 편광, 미 산란

원리 살펴보기

무지개 두 개까지는 비 갠 하늘에서 종종 보는데, 세 개는 왜 그토록 어려울까? 햇빛이 빗방울에 들어가 안쪽 벽에서 한 번 반사되고 다시 나올 때, 광선이 꺾이는 각도는 빛이 방울의 어느 지점으로 들어갔는지(충격 변수)에 따라 달라진다. 그런데 그 편향각에는 더 커지지도 작아지지도 않는 극값이 있어, 그 부근의 광선들이 한 방향으로 몰린다(데카르트 광선). 그래서 무지개는 방울이 어디 있느냐가 아니라 각도로 정해진다 — 관측자의 그림자 끝인 반태양점에서 약 42° 떨어진 원이 1차 무지개다. 내부 반사가 한 번 더 일어난 빛은 약 50°에 몰려 2차 무지개가 되고, 이때 색 순서는 뒤집혀 빨강이 안쪽으로 온다. 두 무지개 사이 약 42.7°~50° 구간에는 어느 쪽도 빛을 되돌려 주지 않아 하늘이 눈에 띄게 어둡다 — 알렉산더 암대다.

그렇다면 세 번째는? 내부 반사를 세 번 한 빛은 뜻밖에도 반대쪽 하늘로 나간다. 3차·4차 무지개는 반태양점이 아니라 태양 쪽 하늘에, 태양을 중심으로 반지름 42~43°인 빨강 테를 서로 맞대고 선다(3차는 빨강이 바깥, 4차는 색이 뒤집혀 빨강이 안쪽이다). 밝기는 1차의 24 %·15 %로 남지만, 하필 태양 옆인 데다 폭까지 넓어 눈부신 빛에 묻혀 버린다. 5차는 다시 반태양점 쪽으로 돌아와 2차와 겹치고 그 초록–보라 부분만 알렉산더 암대에 걸친다. 실험실에서는 1976년에 물방울 하나에서 13차까지 세었지만, 하늘에서 3·4차가 처음 사진에 잡힌 것은 2011년, 5차는 2015년이다 — 문제가 나온 1989년에는 아무도 찍지 못했다. 그래서 ‘세 개 이상’으로 가는 현실적인 길은 차수를 올리는 쪽이 아니라 태양을 하나 더 만드는 쪽이다. 잔잔한 호수는 햇빛을 위로 되쏘아 빗방울에게 물 밑의 두 번째 태양이 되어 준다. 그 빛이 만든 반사 무지개는 반태양점과 지평선을 사이에 두고 대칭인 점을 중심으로 더 가파르게 서므로, 직사광의 1·2차와 반사광의 1·2차가 한 하늘에 넷까지 함께 설 수 있다.

같은 산란 기하는 오늘날 계측 기술로 일한다. 분무·연소 진단(산란각이 액적의 굴절률에 예민해, 각도로 액적의 크기·온도를 비접촉 측정하는 레인보우 굴절 측정법), 기상 원격탐사(빗방울은 커질수록 납작해지고 그 모양이 무지개 형태와 레이더 편파 신호를 함께 바꾼다), 카메라·렌즈 설계(렌즈 면에서 여러 번 되튄 빛의 고스트·플레어는 높은 차수 무지개와 같은 계산으로 예측해 코팅으로 지운다), 재귀반사 안전 표지(표지판·안전조끼의 미세 유리구슬은 구 안의 굴절–반사로 빛을 헤드라이트 쪽으로 되돌린다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

둥근바닥 유리 플라스크(500 mL 안팎)나 지름 20~50 mm 유리구슬, 스탠드와 클램프, 2등급(1 mW 이하) 빨강 레이저 포인터(가능하면 초록·파랑도), 각도 눈금을 인쇄한 큰 종이와 자, 흰 스크린 판, 검은 마분지 차광판, 백색 LED 손전등, 작은 평면거울, 편광 필터, 스마트폰 카메라와 삼각대, 증류수.

변인

독립변인은 레이저 빔이 구의 중심선에서 옆으로 벗어난 거리를 구의 반지름으로 나눈 값, 곧 충격 변수이다(빔을 평행하게 옮기며 이 값만 바꾼다). 종속변인은 각 내부 반사 차수의 출사 광선이 입사 방향과 이루는 편향각(산란각)이며, 차수마다 나타나는 그 극값이 곧 무지개 각이다. 통제변인은 구의 지름과 재질, 채운 액체와 온도, 레이저 파장·빔 지름, 구의 중심과 눈금 중심의 일치, 실내 조도이다.

실험 순서

1. 각도 눈금을 그린 큰 종이를 탁자에 고정하고 그 중심에 물을 채운 둥근 플라스크(또는 물을 머금은 흡수성 젤리 구슬)를 세운다. 레이저를 구의 중심을 정확히 지나게 쏘아 되돌아오는 광선으로 0°–180° 기준선을 맞춘다.

2. 레이저를 평행하게 조금씩(반지름의 0.05배씩) 옮겨 충격 변수를 키우며, 구를 빠져나온 광선이 흰 스크린에 찍히는 위치를 표시하고 편향각을 읽는다.

3. 유리벽 때문에 한 차수가 여러 갈래로 갈라진다(1차는 두 갈래, 2차는 세 갈래). 밝기만으로 가르지 말고 충격 변수를 촘촘히 훑어 편향각이 되돌아서는 지점을 찾는다 — 1차 무리는 반지름의 0.87배, 2차는 0.95배 부근에서 돌아서므로 거기서 차수가 갈리고 그 각이 무지개 각이다.

4. 같은 방법으로 3차 광선을 추적해, 그것이 1·2차와 반대쪽(레이저가 나아가던 방향, 하늘에서라면 태양 쪽)으로 빠져나오는지 확인하고 각도를 기록한다. 밝은 1차와 2차 사이의 알렉산더 암대는 유리벽 때문에 8°에서 4° 안팎으로 좁아지고 그 안에 어두운 갈래가 들어앉는다 — 눈금 위에서 확인할 것은 ‘완전한 암흑’이 아니라 그 폭이 얼마나 줄었는가다.

5. 레이저를 빨강·초록·파랑으로 바꿔 같은 차수의 무지개 각이 얼마나 옮겨 가는지 재고(분산), 백색 LED 손전등으로 바꿔 1차와 2차의 색 순서가 서로 뒤집히는지 스크린에서 확인한다.

6. 눈금 종이 위에 평면거울을 호수처럼 눕히고 레이저를 거울에 먼저 반사시킨 뒤 구에 넣는다. 같은 차수의 광선이 다른 기준선을 중심으로 한 벌 더 생기는 것을 각도로 확인한다 — 반사 무지개가 왜 다른 중심을 갖는지를 탁자 위에 재현한 배치다.

안전 안내

레이저는 2등급(1 mW 이하) 가시광 포인터만 쓰고, 3R급 이상이나 불가시(적외선) 레이저는 쓰지 않는다. 이 실험은 구와 거울이 빛을 사방으로 되돌리는 배치이므로 빔과 되돌아오는 광선을 모두 눈높이보다 낮게 두고 탁자 위에서 수평으로만 다루며, 구 안이나 거울을 빔이 오는 방향에서 절대 들여다보지 않는다. 반지·시계처럼 반짝이는 물건은 미리 치우고, 빔이 실험 구역 밖으로 새 나가지 않게 검은 마분지 차광판을 세운다. 물을 채운 둥근 플라스크는 볼록렌즈처럼 햇빛을 모아 종이를 태울 수 있으니 창가 직사광선에 두지 않는다. 야외에서 인공 비로 무지개를 볼 때는 반드시 해를 등지고 서며 태양을 직접 보지 않는다. 엎질러진 물은 바로 닦고, 저학년은 교사 지도 아래 수행한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

물방울 모형 하나에 레이저를 쏘면 몇 차까지 눈에 잡힐까? 차수가 하나 오를 때마다 밝기는 얼마나 줄어들까? 그리고 유리 플라스크로 잰 무지개 각은 진짜 빗방울의 값과 같게 나올까, 어긋날까?

자료 정리

가로축 충격 변수·세로축 편향각 그래프에 차수별 곡선을 겹쳐 그린다 — 극값이 그 차수의 무지개 각이고, 극값 근처가 평평한 정도가 밝기와 두께를 설명한다. 여기에 스넬 법칙으로 계산한 이론 곡선을 겹쳐 놓고, 파장별 무지개 각은 표로 정리해 색 순서가 차수마다 뒤집히는지 확인한다. 거울을 넣은 배치는 기준선이 둘인 각도 지도로 따로 그린다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

편향각–충격 변수 곡선은 차수마다 극값을 하나씩 갖고, 그 극값이 각각 42° 부근(1차)과 50° 부근(2차)에 오리라 예상된다. 무지개가 하늘의 특정 각도에 서는 까닭은 “그 각도에 빛이 몰리기 때문”이라는 사실이 곡선의 평평한 구간에서 눈으로 확인된다. 3차 광선이 입사 방향 쪽으로 빠져나오는 것을 보면, 3차 무지개가 왜 태양 쪽 하늘에 있고 왜 그토록 사진 찍기 어려웠는지가 함께 설명된다. 거울을 넣었을 때 광선 한 벌이 통째로 다른 기준선 둘레에 복제되는 것은 곧 반사 무지개의 기하다 — “세 개 이상”은 차수를 올려서가 아니라 광원을 하나 더 만들어서 훨씬 쉽게 이루어진다는 것이 이 탐구의 답이다. 다만 플라스크의 유리벽은 차수마다 광선을 여러 갈래로 갈라 1차와 2차를 헷갈리게 만들고 암대를 좁혀 그 안을 어두운 갈래로 채우므로, 측정값과 이론값의 차이는 그 벽 효과까지 넣어 해석해야 한다.

더 탐구하기

1. 소금물·설탕물·글리세린처럼 굴절률이 다른 액체를 채워 무지개 각이 어디로 옮겨 가는지 재 보자 — 바닷물 물보라의 무지개가 약 0.8° 작다는 보고와 견줄 수 있다.

2. 호스 분무나 초음파 가습기로 인공 비를 만들어 해를 등지고 1·2차 무지개를 찍은 뒤, 발밑에 잔잔한 물그릇을 놓아 반사 무지개가 더해지는지 확인해 보자.

3. 1차 무지개 안쪽에 붙는 과잉 무지개를 노려 보자 — 물방울이 작고 크기가 고를수록 뚜렷하므로, 분무 입자의 크기를 바꿔 가며 줄무늬 개수를 세면 빛의 파동성이 드러난다.

4. 편광 필터를 돌려 가며 차수별 밝기가 어떻게 변하는지 재 보자. 무지개 빛은 강하게 편광돼 있어 필터로 배경 하늘빛을 누르면 약한 차수가 드러난다.

연결 주제

IYPT 1999 문제 15 ‘이슬방울의 밝은 점’ — 같은 구형 물방울 안의 굴절과 내부 반사 차수를 다루고 무지개 각(약 42°)과 이슬무지개까지 짚으므로, 이 원고의 레이저–구 각도 측정 배치와 데카르트 광선 개념을 그대로 이어 쓸 수 있다(그쪽은 방울 하나를 여러 각도에서 보며 밝은 점의 개수를 세고, 이쪽은 같은 방울에서 나오는 광선의 각도를 잰다). IYPT 2016 문제 10 ‘물줄기 빛의 고리’는 구가 원기둥으로 바뀐 사촌으로, 최소 편향각에 빛이 몰려 생긴 코스틱이 고리로 나타난다.

참고문헌

[학생] 대기광학 사이트 Atmospheric Optics(atoptics.co.uk)의 ‘3rd & 4th Order Rainbows’·‘Reflection Rainbow’ 항목(고차 무지개의 반지름·밝기와 2011년 첫 촬영 경위) / R. Stull, 『Practical Meteorology』 22장 Atmospheric Optics(무료 공개 교재 — 차수별 시야각과 반사 무지개 기하 그림) / 세계기상기구 국제 구름 도감(cloudatlas.wmo.int) ‘reflection rainbow’ / 영상 검색어 “rainbow flask laser experiment”, “reflection rainbow” / [심화] J. D. Walker, “Multiple rainbows from single drops of water and other liquids,” American Journal of Physics 44(5), 421–433, 1976, DOI 10.1119/1.10172 (물방울 하나에서 13차까지 무지개 각을 재어 이론과 대조 — 이 실험의 원형) · M. Selmke, S. Selmke, “Revisiting the round bottom flask rainbow experiment,” American Journal of Physics 86(1), 14–21, 2018, DOI 10.1119/1.5008745 (유리벽이 차수마다 광선을 갈라 “쉽게 오인될 수 있다”고 못박고, 암대를 좁혀 250 mL 플라스크에서도 스크린을 1.3 m 넘게 떼어야 함을 보임) · M. Großmann, E. Schmidt, A. Haußmann, Applied Optics 50(28), F134–F141, 2011, DOI 10.1364/AO.50.00F134 및 M. Theusner, 같은 호 F129–F133, DOI 10.1364/AO.50.00F129 (3차·4차의 첫 자연 사진) · H. E. Edens, Applied Optics 54(4), B26–B34, 2015, DOI 10.1364/AO.54.000B26 (5차의 초록–보라 띠를 알렉산더 암대에서 검출) · A. Haußmann, European Journal of Physics 37(6), 063001, 2016, DOI 10.1088/0143-0807/37/6/063001. ※ 고차 무지개의 각도와 반사 무지개의 기하는 문헌이 충실하지만, ‘한 하늘에 동시에 몇 개까지 서는가’를 태양 고도·수면 상태·비의 폭의 함수로 정리한 정량 연구는 찾기 어렵다 — 거울을 넣은 모형으로 동시 출현 조건을 각도 지도로 그려 보는 것이 이 탐구의 개방 지점이다.