책상 끝에서 울리는 한 음 — 노래하는 자

탐구 주제

IYPT 2026 문제 13 ‘The singing ruler’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2026 공식 문제 보기

이 원고는 개정 후 재검증 대기 상태입니다. 문헌에 바탕을 둔 탐구 설계이며, 직접 수행한 실험 결과가 아닙니다.

교육과정 연결

중학교 과학 「파동과 소리」·「힘과 운동」 / 고등학교 통합과학1 「역학과 에너지」 / 물리학 「파동」(진동·소리·공명) — 외팔보 진동식과 배음의 비정수 구조는 교육과정 밖 심화 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

진동, 복원력, 굽힘 강성, 탄성 계수(영률), 관성, 고유 진동수, 진동 모드, 외팔보(cantilever), 오일러–베르누이 보, 마디와 배, 배음(overtone)·비정수 배음, 음높이(피치), 음색(timbre), 소리의 방사, 감쇠

원리 살펴보기

책상 끝에 자를 눌러 놓고 튕기면, 왜 자마다 정해진 한 음이 ‘팅’ 하고 울릴까? 한쪽이 눌린 자는 자유로운 끝을 아래로 밀었다 놓으면 원래 모양으로 돌아가려는 굽힘 복원력을 받는다. 이 힘이 자를 지나쳐 반대쪽으로 휘게 하고, 다시 되돌리기를 반복하면서 자는 위아래로 떨린다. 마치 눈에 보이지 않는 용수철이 자를 붙잡고 흔드는 것과 같다.

이때 자가 떨리는 빠르기(고유 진동수)는 아무 값이나 되지 않고, 책상 밖으로 나온 길이·자의 두께·재질이 정한다. 오일러–베르누이 외팔보 이론에 따르면 고유 진동수는 돌출 길이의 제곱에 반비례한다(진동수 ∝ 1/L²) — 그래서 자를 책상 안쪽으로 조금씩 밀어 넣어 짧게 만들면 음이 계단처럼 높아진다. 자가 두껍거나 단단한(영률이 큰) 재질일수록 더 빨리 떨려 음이 높고, 무겁고 무른 재질일수록 음이 낮다. 이렇게 떠는 자가 옆의 공기를 밀고 당기면 그 압력의 물결이 소리가 되어 귀에 닿는다.

같은 원리가 곳곳에 숨어 있다. 칼림바·오르골의 금속 혀는 길이를 달리한 외팔보로 음계를 만들고(실로폰 막대는 외팔보가 아니라 마디 근처를 받친 자유–자유 보라서 배음 구조가 다르다), 원자힘현미경(AFM)의 미세 외팔보는 진동수 변화로 원자 크기의 힘을 잰다. 진동수로 무게·점도를 재는 센서(물질이 붙으면 진동수가 낮아진다), 건물·다리·날개의 고유 진동 회피 설계까지 — 모두 ‘고정된 막대가 정해진 진동수로 떤다’는 이 실험의 물리에 뿌리를 둔다.

실험 설계

준비물

두께·재질이 다른 여러 자(30 cm 플라스틱·강철·나무·알루미늄), 튼튼한 책상이나 만능 클램프, 돌출 길이를 재는 자와 표시용 테이프, 스마트폰(녹음·고속 촬영), 무료 소리 분석 프로그램(Audacity·Phyphox의 주파수 분석), 자 끝에 붙일 작은 추(질량 효과용).

변인

독립변인은 책상 밖으로 나온 돌출 길이 L, 자의 두께, 그리고 자의 재질(영률·밀도)이다. 종속변인은 소리의 기본 진동수(음높이)와, 함께 실리는 배음의 세기(음색)·소리 크기·울림이 지속되는 시간이다. 통제변인은 튕기는 세기와 방향, 자를 누르는(고정하는) 힘과 위치, 녹음 거리와 주변 소음, 같은 자 안에서 비교할 때의 나머지 조건이다.

실험 순서

1. 자를 책상 끝에 대고 클램프(또는 무거운 책+단단한 판)로 일정한 깊이·힘으로 고정해, 정해진 돌출 길이(예: 5~15 cm)만큼만 밖으로 나오게 한다. 손으로 누르면 고정 강성이 매번 달라져 진동수가 흔들리고, 20 cm처럼 길게 빼면 기본 진동수가 수십 Hz 아래로 내려가 스마트폰 마이크가 거의 담지 못한다.

2. 자유로운 끝을 정한 변위만큼 눌렀다 놓는 방식(자·스토퍼로 누름 깊이를 맞춤)으로 튕기고, 스마트폰을 같은 거리·같은 이득으로 두고 소리를 녹음한다(조건마다 3회 이상 반복).

3. 돌출 길이를 몇 cm씩 줄여 가며 같은 방식으로 튕기고 녹음해, 길이가 짧아질 때 음이 어떻게 변하는지 모은다.

4. 녹음 파일의 주파수 스펙트럼에서 봉우리들의 위치·세기를 읽되, 어느 봉우리가 기본 모드인지는 고속 촬영(슬로모션)에서 잰 자 끝의 흔들림 진동수와 맞춰 확정한다 — 긴 돌출에서는 기본 모드가 마이크·가청 범위 아래라, ‘가장 낮고 강한 봉우리’가 2차 모드나 잡음(전원 험, 책상 충격)일 수 있다. 이어 두께·재질이 다른 자로 바꿔 같은 측정을 반복한다.

안전 안내

세게 튕긴 자, 특히 얇은 금속 자는 부러지거나 튀어 눈·손을 다치게 할 수 있으니 보안경을 쓰고 튕기는 방향에 사람을 두지 않는다. 고정을 손으로 할 때는 손가락이 진동하는 부분에 끼이지 않게 한다. 아주 짧은 돌출 길이에서는 진동수가 사람이 불편함을 느끼는 높은 음(또는 큰 소리)이 될 수 있으므로 귀에 자를 가까이 대지 않고, 오래 반복할 때는 소리 크기를 낮춘다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

돌출 길이를 절반으로 줄이면 음높이는 어떻게 될까 — 두 배 높아질까, 아니면 그보다 더(약 네 배) 높아질까? 같은 길이라면 강철 자와 플라스틱 자 중 어느 쪽이 더 높은 음을 낼까?

자료 정리

먼저 돌출 길이 L을 가로축, 기본 진동수를 세로축으로 찍어 곡선의 모양(짧아질수록 가파르게 오르는지)을 본다. 이론(∝ 1/L²)은 가로축을 1/L²로 바꿔 직선이 되는지, 또는 log f–log L 그래프의 기울기가 약 −2에 가까운지로 확인한다. 재질·두께별로는 같은 L에서의 진동수와 스펙트럼(배음의 개수·상대 세기)을 표로 모아 비교한다.

결과의 의미

돌출 길이가 짧아질수록 기본 진동수는 1/L²을 따라 가파르게 높아지고(길이를 절반으로 줄이면 약 네 배), 같은 길이에서는 더 두껍거나 단단한 자가 더 높은 음을 낼 것으로 예상된다. ‘짧으면 높은 소리’로 알던 현상이 사실은 진동수 ∝ 1/L²이라는 규칙을 따른다는 것을 스펙트럼으로 확인하면, 소리의 높낮이가 눈에 보이는 길이·두께로 계산되는 양임을 알게 된다. 다만 문헌은 배음이 정수배가 아닌 비정수 구조임은 잘 설명하지만, 그 배음 중 실제로 공기 중으로 잘 방사되어 귀에 들리는 것이 무엇이고 그것이 음색을 어떻게 정하는지, 짧고 좁은 자가 낮은 음을 얼마나 약하게 내보내는지는 이 탐구의 개방 지점이다. 진동수(떠는 빠르기)와 실제로 들리는 소리(방사된 음)의 차이를 파고드는 데 이 문제의 핵심이 있다.

더 탐구하기

1. 자 끝에 작은 추를 붙이면, 같은 돌출 길이에서도 진동수가 낮아지는지(끝 질량 효과) 관찰해 보자.

2. 고속 촬영으로 자가 떠는 모습에서 직접 진동수를 재고, 녹음에서 얻은 기본 진동수와 같은지 맞춰 보자.

3. 스펙트럼에서 배음들이 기본음의 몇 배 위치에 있는지 읽어, 정수배(2·3·4배)가 아니라 비정수 간격으로 벌어졌는지 확인해 보자.

4. 길이를 조금씩 다르게 자른 자(또는 금속 막대) 여러 개로 음계를 맞춰 ‘자 실로폰’을 만들어 보자.

연결 주제

문제 5 ‘고무줄 정상파’(정상파의 마디·배와 고유 진동수), 문제 15 ‘자석 뉴턴 진자’(진동의 주기와 감쇠) — 같은 녹음·고속 촬영·주파수 분석 기법과 고유 진동수 개념을 그대로 활용할 수 있다.

참고문헌

[학생] Exploratorium ‘Pluck a Ruler’(exo.net/~pauld/activities/sound) 및 Science Buddies ‘Ask an Expert: twanging a ruler’(돌출을 절반으로 줄이면 진동수 네 배) / [심화] Tom Irvine, “Bernoulli-Euler Beams” (enDAQ Handbook, endaq.com/pages/bernoulli-euler-beams) — 외팔보(고정–자유)의 기본 진동수 공식·비정수 배음. Daniel A. Russell, “Flexural Vibration of a Rectangular Bar” (acs.psu.edu/drussell/Demos/Flexural-Bar) — 배음이 정수배가 아님을 보이는 애니메이션. R. Born, “Vibrating Meter Sticks and Music Boxes” (PocketLab) — 주기가 길이의 약 1.82제곱에 비례함을 실측. ※ 진동수–길이(∝ 1/L²)와 배음 구조는 문헌이 다루지만, 방사되는 소리의 음색·가청 배음·크기는 이 탐구의 개방 지점.